Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil I/29/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	${}\sum$
Punkte	3	3	3	0	0	4	5	0	4	5	2	4	8	4	2	2	0	2	3	0	54

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Der Durchschnitt von Mengen ${}L$ und ${}M$.
2. Der Graph zu einer Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.
3. Die Assoziativität einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

4. Das Minimum zu einer nichtleeren Teilmenge ${}T\subseteq \mathbb {N}$.
5. Zwei teilerfremde natürliche Zahlen ${}a$ und ${}b$.
6. Eine (ganzzahlige) Exponentialfunktion.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Zifferndarstellung natürlicher Zahlen.
2. Der Satz über die Charakterisierung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen und des größten gemeinsamen Teilers von zwei positiven natürlichen Zahlen mit der Hilfe von ${}p$-Exponenten.
3. Der Satz über die Periodizitätseigenschaft bei der Division natürlicher Zahlen.

Aufgabe (3 Punkte)

Nehmen Sie Stellung zur folgenden Aussage: „Das Prinzip „Beweis durch Widerspruch“ ist offenbar absurd. Wenn man alles annehmen darf, so kann man immer einen Widerspruch erzielen und somit alles beweisen“.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine endliche Menge mit ${}n$ Elementen und sei ${}w$ ein Element, das nicht zu ${}M$ gehöre. Zeige, dass dann die Vereinigung ${}M\cup \{w\}$ genau ${}n'$ Elemente besitzt.

Aufgabe * (5 (1+1+3) Punkte)

Der gemeinnützige Verein „Bobbycarbahn für alle Kinder“ errichtet Bobbycarbahnen. Diese werden aus quadratischen Grundplatten (mit einer Seitenlänge von ${}0,7$ Metern) zusammengesetzt, die entweder gegenüberliegende Seitenberandungen (Typ ${}A$; hier fährt man parallel zur Seitenberandung) oder an einer Ecke anliegende Seitenberandungen haben (Typ ${}B$, in der Ecke gegenüber den Seiten gibt es eine kleine Eckberandung; hier fährt man eine Kurve).

1. Es soll eine insgesamt quadratische Bahn aus ${}16$ Grundplatten gebaut werden, wobei eine geschlossene Bahn entstehen soll, die jede Platte einfach durchläuft. Skizziere eine mögliche Anordnung der Grundplatten.
2. Wie viele Platten vom Typ ${}A$ und wie viele vom Typ ${}B$ werden in Ihrer Skizze verwendet?
3. Es soll eine insgesamt quadratische Bahn aus ${}9$ Grundplatten gebaut werden, wobei eine geschlossene Bahn entstehen soll, die jede Platte einfach durchläuft. Begründe, dass dies nicht möglich ist.

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe * (4 Punkte)

Zeige

${}\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}2^{j}=3^{n}\,$

durch Induktion.

Aufgabe * (5 (3+2) Punkte)

Beweise für die Größergleichrelation auf den natürlichen Zahlen

1. die Verträglichkeit mit der Addition,
2. die Verträglichkeit mit der Multiplikation.

Aufgabe * (2 Punkte)

Wir betrachten das kleine Einmaleins als eine Verknüpfungstabelle, in der alle Produkte ${}i\cdot j$ mit ${}1\leq i,j\leq 9$ stehen. Ist die Summe über alle Einträge in der Tabelle gerade oder ungerade?

Aufgabe * (4 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n$-elementige Menge und sei

$B={\left\{F:M\rightarrow M{\text{ Abbildung}}\mid F{\text{ bijektiv}}\right\}}.$

Zeige, dass

${}{\#\left(B\right)}=n!\,$

ist.

Aufgabe * (8 (1+2+3+2) Punkte)

Wir betrachten eine (einfachere, aber langsamere) Variante des euklidischen Algorithmus zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers zu zwei gegebenen natürlichen Zahlen ${}a,b$.

Der Algorithmus geht folgendermaßen. Wenn ${}a\neq b$ ist, so ersetzte das Paar ${}(a,b)$ durch das Paar, das aus der kleineren Zahl und der Differenz zwischen der kleineren und der größeren Zahl besteht. Wiederhole dies rekursiv. Wenn ${}a=b$ ist, so ist man fertig und es wird das Ergebnis ${}a$ ausgegeben.

1. Führe diesen Algorithmus für das Paar ${}(7,3)$ durch.
2. Zeige, dass dieser Algorithmus nach endlich vielen Schritten aufhört.
3. Zeige, dass dieser Algorithmus korrekt ist, also wirklich den größten gemeinsmen Teiler ausgibt.
4. Man gebe für jedes ${}n$ ein Beispiel, wo der euklidische Algorithmus nach einem Schritt fertig ist, wo aber die Variante ${}n$ Schritte benötigt.

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung für natürliche Zahlen.

Aufgabe (2 Punkte)

Begründe, dass bei der Multiplikation einer Zahl ${}m=a_{k}a_{k-1}\ldots a_{2}a_{1}a_{0}$ (im Dezimalsystem) mit ${}4$ die Ziffer ${}c_{i}$ des Produktes nur von den drei Ziffern ${}a_{i},a_{i-1},a_{i-2}$ abhängt, aber im Allgemeinen nicht nur von den zwei Ziffern ${}a_{i},a_{i-1}$.

Aufgabe * (2 Punkte)

Wenn man alles Gold der Welt zusammennimmt, so erhält man einen Würfel, dessen Seitenlänge ${}21,7$ Meter beträgt. Dieser soll auf die Weltbevölkerung (${}8$ Milliarden) gleichmäßig aufgeteilt und als Goldwürfel ausgeteilt werden. Welche Seitenlänge hat der Würfel, den jeder Mensch bekommt?

Aufgabe (0 Punkte)

Aufgabe (2 Punkte)

Lucy Sonnenschein ist in einem Geschäft und interessiert sich für eine blaugrün-karierte Bluse. Sie fragt den Verkäufer nach dem Preis und dieser sagt „ich glaube, die kostet ${}67,40$, ich muss aber noch mal kurz nachschauen“. Als er zurückkommt, sagt er „das war fast genau richtig, ich hab mich nur bei einer Ziffer vertan, der genaue Preis ist “

$67,43{\text{ (Variante A)}},$

$367,40{\text{ (Variante B)}}.$

Beurteile den Fehler in den beiden Varianten.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Am 26.4.2021 schreibt die Tagesschau (tagesschau.de): „In Deutschland sind inzwischen mehr als 25 Millionen Menschen mindestens ein Mal geimpft“. Im ausführlichen Text heißt es dann „In Deutschland sind inzwischen mehr als 25 Millionen Impfdosen verabreicht worden. Wie das Robert Koch-Institut (RKI) mitteilte, sei die Marke am Wochenende überschritten worden [und] liegt nun bei 25,45 Millionen. Laut aktuellen RKI-Zahlen sind bundesweit bislang knapp 19,5 Millionen Menschen erstgeimpft. Das entspricht einem Bevölkerungsanteil von 23,4 Prozent. Knapp sechs Millionen Menschen sind inzwischen bereits zweimal geimpft, dies entspricht 7,2 Prozent der Bevölkerung“.

1. Was fällt auf?
2. Wie groß ist die Bevölkerung von Deutschland?
3. Wie viel Prozent der Erstgeimpften haben auch eine zweite Impfung erhalten?

Aufgabe (0 Punkte)