Kurs:Grundkurs Mathematik/Teil II/T3/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 5 }
\renewcommand{\avier}{ 1 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 2 }
\renewcommand{\asieben}{ 3 }
\renewcommand{\aacht}{ 4 }
\renewcommand{\aneun}{ 3 }
\renewcommand{\azehn}{ 3 }
\renewcommand{\aelf}{ 2 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 3 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 3 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 4 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 3 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 3 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 2 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ 2 }
\renewcommand{\azwanzig}{ 3 }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ 3 }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ 2 }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ 64 }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellezweiundzwanzig
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Eine \stichwort {Basis} {} im $K^m$.
}{Eine \stichwort {lineare} {} Abbildung \maabb {\varphi} {K^n} { K^m } {,} wobei $K$ einen \definitionsverweis {Körper}{}{} bezeichnet.
}{Eine \stichwort {Äquivalenzrelation} {} $\sim$ auf einer Menge $M$.
}{Ein \stichwort {Repräsentantensystem} {} zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
}{Die \stichwort {Quotientenmenge} {} zu einer Äquivalenzrelation $\sim$ auf einer Menge $M$.
}{Eine \stichwort {Cauchy-Folge} {} ${ \left( x_n \right) }_{n \in \N }$ in einem angeordneten Körper $K$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze.
\aufzaehlungdrei{Der Satz über die mathematische Struktur der Lösungsmenge eines homogenen linearen Gleichungssystems.}{Der Satz über die algebraische Struktur der Quotientenmenge zu einer Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in einer kommutativen Gruppe $G$.}{Der
\stichwort {Satz über die Intervallschachtelung} {.}}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5 (3+1+1)}
{
In der großen Pause fährt das Süßwarenmobil von Raul Zucchero auf den Schulhof. Gabi kauft einen Schokoriegel, zwei Packungen Brausepulver und drei saure Zungen und zahlt dafür $1,30$ \euro . Lucy kauft zwei Schokoriegel, eine Packung Brausepulver und zwei saure Zungen und zahlt dafür $1,60$ \euro . Veronika kauft drei Packungen Brausepulver und vier saure Zungen und zahlt dafür einen Euro. \aufzaehlungdrei{Kann man daraus die Preise rekonstruieren? }{Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise volle positive Centbeträge sind? }{Wie sieht es aus, wenn man weiß, dass die Preise positive Vielfache von Zehn-Cent-Beträgen sind? }
}
{} {}
\inputaufgabe
{1}
{
Inwiefern hat das Eliminationsverfahren für lineare Gleichungssysteme mit dem Induktionsprinzip zu tun?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
\aufzaehlungvier{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden. }{Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
von
\mathdisp {\begin{pmatrix} 3 { \frac{ 1 }{ 4 } } & 0 & 0 & 0 \\ 0 & { \frac{ 1 }{ 5 } } & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 { \frac{ 2 }{ 7 } } & 0 \\ 0 & 0 & 0 & { \frac{ 3 }{ 11 } } \end{pmatrix}} { , }
die Angaben sind dabei als gemischte Brüche zu verstehen und das Ergebnis soll ebenso angegeben werden.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei $B$ eine
$n \times p$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
und $A$ eine $m\times n$-Matrix und es seien
\mathdisp {K^p \stackrel{B}{\longrightarrow} K^n \stackrel{A}{\longrightarrow} K^m} { }
die zugehörigen
\definitionsverweis {linearen Abbildungen}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Matrixprodukt}{}{}
\mathl{A \circ B}{} die Hintereinanderschaltung der beiden linearen Abbildungen beschreibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4 (0.5+0.5+1+1+1)}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Arctic food web.svg} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Arctic food web.svg } {} {Offnfopt} {Commons} {CC-by-sa 3.0} {}
Wir betrachten die Relation im nebenstehenden Diagramm, wobei eine Pfeil
\mathl{x \rightarrow y}{} bedeutet, dass $x$ von $y$ gefressen wird.
\aufzaehlungfuenf{Was frisst ein Polarbear?
}{Von wem wird ein Capelin gefressen?
}{Welche Tiere stehen an der Spitze der Nahrungskette?
}{Ist die Relation transitiv?
}{Ist die Relation antisymmetrisch?
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{\{a,b\}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine zweielementige Menge. Beschreibe vollständig
\zusatzklammer {durch Auflistung aller zugehörigen Paare} {} {}
die Relation auf der
\definitionsverweis {Potenzmenge}{}{}
\mathl{\mathfrak {P} \, (M )}{,} die durch die Teilmengenbeziehung gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Seien
\mathkor {} {M} {und} {N} {}
Mengen und sei
\maabb {f} {M} {N
} {}
eine Abbildung. Zeige, dass durch die Festlegung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{x
}
{ \sim} {y
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} {f(y)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
auf $M$ definiert wird.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Zeige, dass die auf $\Z \times \N_+$ durch
\mathdisp {(a,b) \sim (c,d), \text{ falls } ad=bc} { , }
festgelegte
\definitionsverweis {Relation}{}{}
eine
\definitionsverweis {Äquivalenzrelation}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Bestimme das inverse Element zu
\mathl{\overline{55}}{} in
\mathl{\Z/(93)}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Vergleiche
\mathdisp {\sqrt{3} + \sqrt{10} \text{ und } \sqrt{5} + \sqrt{7}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Berechne von Hand die Approximationen $x_1,x_2,x_3$ im Heron-Verfahren für die Quadratwurzel von $5$ zum Startwert $x_0=2$.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Beweise den Satz, dass der \definitionsverweis {Limes}{}{} einer \definitionsverweis {konvergenten Folge}{}{} in einem \definitionsverweis {angeordneten Körper}{}{} eindeutig bestimmt ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ =} {\frac{3n^3-n^2-7}{2n^3+n+8}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\Q$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{T
}
{ \subseteq }{\R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Teilmenge aller reellen Zahlen, bei denen die $17.$ Nachkommastelle in der
\zusatzklammer {kanonischen} {} {}
Dezimalentwicklung eine $0$ ist. Welche Eigenschaften eines
\definitionsverweis {Ideals}{}{}
erfüllt diese Menge, welche nicht?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Setze in das Polynom
\mathl{-5 X^3 - X^2 + \sqrt{2} X + \sqrt{5}}{} die Zahl $\sqrt{2}+\sqrt{3}$ ein.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Führe in $\Z/(5)[X]$ die \definitionsverweis {Division mit Rest}{}{} \anfuehrung{$P$ durch $T$}{} für die beiden \definitionsverweis {Polynome}{}{} \mathkor {} {P=X^3+4X^2+3X+4} {und} {T=3X^2+2X+1} {} durch.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Man finde ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ f
}
{ =} { a+bX+cX^2
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b,c
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass die folgenden Bedingungen erfüllt werden.
\mathdisp {f(-1) =2,\, f(1) = 0,\, f(3) = 5} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { 2x^3-4x+5
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass für alle
\mathl{x \in \R}{} die folgende Beziehung gilt: Wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { x-3 }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 800 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \betrag { f(x)-f(3) }
}
{ \leq} { { \frac{ 1 }{ 10 } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Gibt es eine reelle Zahl, die in ihrer dritten Potenz, vermindert um das Vierfache ihrer zweiten Potenz, gleich der Quadratwurzel von $42$ ist?
}
{} {}