Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2016-2017)/Teil II/Definitionsliste

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Definition:(In)homogene lineare Gleichung

Es sei ein Körper und . Dann nennt man

eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen zu den Koeffizienten , . Ein Tupel heißt Lösung der linearen Gleichung, wenn ist.

Wenn ein weiteres Element ist, so heißt

eine inhomogene lineare Gleichung und ein Tupel heißt Lösung der inhomogenen linearen Gleichung, wenn ist.



Definition:Lineares Gleichungssystem

Es sei ein Körper und für und . Dann nennt man

ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen . Ein Tupel heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn für alle ist.

Wenn beliebig ist, so heißt

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn für alle ist.



Definition:Äquivalente lineare Gleichungssysteme

Es sei ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.



Definition:Linearkombination

Zu Vektoren im und Skalaren nennt man

eine Linearkombination dieser Vektoren.



Definition:Erzeugendensystem

Die Vektoren im heißen ein Erzeugendensystem des , wenn man jeden Vektor als eine Linearkombination mit den Vektoren schreiben kann, wenn es also Skalare mit

gibt.



Definition:Basis

Die Vektoren im heißen eine Basis des , wenn man jeden Vektor eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren schreiben kann, wenn es also eindeutig bestimmte Skalare mit

gibt.



Definition:Matrix

Es sei ein Körper und . Unter einer -Matrix über versteht man ein Schema der Form

wobei für und ist.



Definition:Matrizenmultiplikation

Es sei ein Körper und es sei eine - Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt

diejenige -Matrix, deren Einträge durch

gegeben sind.



Definition:Einheitsmatrix

Die - Matrix

nennt man die Einheitsmatrix.



Definition:Diagonalmatrix

Eine - Matrix der Form

nennt man Diagonalmatrix.



Definition:Untervektorraum

Es sei ein Körper und . Eine Teilmenge heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

  1. Es ist .
  2. Mit ist auch .
  3. Mit und ist auch .


Definition:Affiner Unterraum

Es sei ein Körper und . Eine Teilmenge heißt affiner Unterraum, wenn ( leer ist oder) es einen Untervektorraum und einen Punkt mit

gibt.



Definition:Gerade

Unter einer Geraden (in Punktvektorform) versteht man einen affinen Unterraum der Form

mit einem von verschiedenen Vektor und einem Aufpunkt .



Definition:Ebene

Unter einer Ebene (in Punktvektorform oder Parameterform) versteht man einen affinen Unterraum der Form

mit zwei Vektoren , die kein Vielfaches voneinander sind, und einem Aufpunkt .



Definition:Lineare Abbildung

Es sei ein Körper und . Eine Abbildung

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

  1. für alle .
  2. für alle und .


Definition:Kern einer linearen Abbildung

Zu einer linearen Abbildung heißt

der Kern von .



Definition:Matrix zu linearer Abbildung

Es sei ein Körper und seien . Zu einer linearen Abbildung

heißt die - Matrix

wobei die -te Koordinate von bezüglich der Standardbasis des ist, die beschreibende Matrix zu (bezüglich der Standardbasen).



Definition:Invertierbare Matrix

Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann heißt invertierbar, wenn es eine weitere Matrix mit

gibt.



Definition:Inverse Matrix

Es sei ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix heißt die Matrix mit

die inverse Matrix von . Man schreibt dafür



Definition:Elementare Zeilenumformungen

Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann nennt man die folgenden Manipulationen an elementare Zeilenumformungen.

  1. Vertauschung von zwei Zeilen.
  2. Multiplikation einer Zeile mit .
  3. Addition des -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.


Definition:Elementarmatrizen

Es sei ein Körper. Mit bezeichnen wir diejenige - Matrix, die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

  1. .
  2. .
  3. .


Definition:Relation

Es seien und Mengen. Eine Relation zwischen den Mengen und ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .



Definition:Graph einer Abbildung

Es seien und Mengen und es sei

eine Abbildung. Dann nennt man

den Graphen der Abbildung .



Definition:Relation auf einer Menge

Eine Relation auf einer Menge ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .



Definition:Reflexiv

Eine Relation auf einer Menge heißt reflexiv, wenn für alle gilt.



Definition:Transitiv

Eine Relation auf einer Menge heißt transitiv, wenn aus und stets folgt.



Definition:Symmetrisch

Eine Relation auf einer Menge heißt symmetrisch, wenn aus stets folgt.



Definition:Antisymmetrisch

Eine Relation auf einer Menge heißt antisymmetrisch, wenn aus und stets folgt.



Definition:Ordnungsrelation

Eine Relation auf einer Menge heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

  1. Es ist für alle .
  2. Aus und folgt stets .
  3. Aus und folgt .


Definition:Lineare Ordnung

Eine Ordnungsrelation auf einer Menge heißt lineare Ordnung (oder totale Ordnung), wenn zu je zwei Elementen die Beziehung oder gilt.



Definition:Äquivalenzrelation

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation , die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ).

  1. Es ist (reflexiv).
  2. Aus folgt (symmetrisch).
  3. Aus und folgt (transitiv).

Dabei bedeutet , dass das Paar zu gehört.



Definition:Äquivalenzklasse

Es sei eine Äquivalenzrelation und . Dann ist

die Äquivalenzklasse von bezüglich .



Definition:Repräsentantensystem

Es sei eine Äquivalenzrelation auf einer Menge . Eine Teilmenge heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element in aus dieser Klasse gibt.



Definition:Quotientenmenge

Sei eine Äquivalenzrelation. Dann heißt

die Quotientenmenge von .



Definition:Kanonische Projektion

Es sei eine Äquivalenzrelation und die Quotientenmenge. Die Abbildung

heißt kanonische Projektion von .



Definition:Gruppenhomomorphismus

Seien und Gruppen. Eine Abbildung

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

für alle gilt.



Definition:Ringhomomorphismus

Es seien und Ringe. Eine Abbildung

heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

  1. .
  2. .
  3. .


Definition:Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe

Es sei eine kommutative Gruppe und eine Untergruppe. Für Elemente setzen wir (und sagen, dass und äquivalent sind), wenn .



Definition:Restklassengruppe

Es sei eine kommutative Gruppe und eine Untergruppe. Die Quotientenmenge

mit der aufgrund von Satz 41.5 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von modulo . Die Elemente heißen Restklassen. Für eine Restklasse heißt jedes Element mit ein Repräsentant von .



Definition:Ideal

Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

  1. .
  2. Für alle ist auch .
  3. Für alle und ist auch .


Definition:Wurzel

In einem kommutativen Halbring nennt man zu und einem Element ein Element mit

eine -te Wurzel von .



Definition:Intervalle

Es sei ein angeordneter Körper. Zu , , nennt man

    das abgeschlossene Intervall.

    das offene Intervall.

    das linksseitig offene Intervall.

    das rechtsseitig offene Intervall.



    Definition:Folge

    Es sei eine Menge. Eine Abbildung

    nennt man auch eine Folge in . Eine Folge wird häufig in der Form

    geschrieben.



    Definition:Konvergenz einer Folge

    Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

    Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung

    gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

    Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.



    Definition:Nullfolge

    Eine Folge in einem angeordneten Körper, die gegen konvergiert, heißt Nullfolge.



    Definition:Beschränkte Folge

    Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in . Die Folge heißt beschränkt, wenn es ein Element mit

    gibt.



    Definition:Cauchy-Folge

    Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge in heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

    Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung

    gilt.



    Definition:Teilfolge

    Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in . Zu jeder streng wachsenden Abbildung , , heißt die Folge

    eine Teilfolge der Folge.



    Definition:Vollständig angeordneter Körper

    Ein angeordneter Körper heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert (also in einen Grenzwert besitzt).



    Definition:Reelle Zahlen (Cauchy-Folgen-Modell)

    Der Restklassenring des Ringes der rationalen Cauchy-Folgen modulo des Ideals der Nullfolgen heißt Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen.



    Definition:Irrationale Zahl

    Eine Zahl mit heißt eine irrationale Zahl.



    Definition:Intervallschachtelung

    Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

    in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

    gegen konvergiert.



    Definition:Dedekindscher Schnitt

    Unter einem Dedekindschen Schnitt versteht man ein Paar bestehend aus Teilmengen der rationalen Zahlen, die folgende Eigenschaften erfüllen.

    1. und sind nicht leer.
    2. d.h. es liegt eine Zerlegung der Menge aller rationalen Zahlen in zwei Teilmengen vor.

    3. Für jedes und jedes ist .
    4. Zu gibt es ein mit .


    Definition:Geometrisches Mittel

    Zu zwei nichtnegativen reellen Zahlen und heißt

    das geometrische Mittel.



    Definition:Eulersche Zahl

    Die reelle Zahl

    heißt Eulersche Zahl.



    Definition:Polynomring

    Der Polynomring über einem Körper besteht aus allen Polynomen

    mit , , und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

    definiert ist.



    Definition:Grad eines Polynoms

    Der Grad eines von verschiedenen Polynoms

    mit ist .



    Definition:Leitkoeffizient

    Zu einem von verschiedenen Polynom

    mit heißt der Leitkoeffizient von .



    Definition:Normiertes Polynom

    Ein Polynom

    über einem Körper heißt normiert, wenn ist.



    Definition:Teilt (Polynomring)

    Es sei ein Körper. Man sagt, dass ein Polynom ein Polynom teilt, wenn es ein Polynom mit

    gibt.



    Definition:Rationale Funktion

    Zu Polynomen , , heißt die Funktion

    wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.



    Definition:Stetige Funktion

    Es sei eine Teilmenge,

    eine Funktion und . Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt. Man sagt, dass stetig ist, wenn sie in jedem Punkt stetig ist.



    Definition:Rationale Exponentschreibweise

    Zu und mit () setzt man



    Definition:Reelle Exponentialfunktion zu einer Basis

    Es sei eine positive reelle Zahl. Die Funktion

    heißt Exponentialfunktion zur Basis .



    Definition:Logarithmus zu einer Basis

    Zu einer positiven reellen Zahl , , wird der Logarithmus zur Basis als Umkehrfunktion zur reellen Exponentialfunktion zur Basis definiert. Der Wert dieser Funktion an der Stelle wird mit

    bezeichnet.



    Definition:Kreis

    Es sei und . Dann nennt man die Menge

    den Kreis (oder die Kreislinie oder die -Sphäre) mit dem Mittelpunkt und dem Radius .



    Definition:Der Einheitskreis

    Die Menge

    heißt der Einheitskreis.



    Definition:

    Unter der Zahl versteht man die Hälfte des Kreisumfanges des Einheitskreises.



    Definition:Winkel im Bogenmaß

    Der durch einen Kreisbogen der Länge definierte Winkel heißt Winkel im Bogenmaß.



    Definition:Trigonometrischer Punkt

    Zu einem Winkel (im Bogenmaß) nennt man denjenigen Punkt auf dem Einheitskreis, den man erreicht, wenn man sich auf dem Kreis in startend gegen der Uhrzeigersinn auf dem Kreisbogen lange bewegt, den trigonometrischen Punkt zu diesem Winkel.



    Definition:Kosinus

    Zu einem Winkel versteht man unter die erste Koordinate des trigonometrischen Punktes .



    Definition:Sinus

    Zu einem Winkel versteht man unter die zweite Koordinate des trigonometrischen Punktes .



    Definition:Ebene Drehung

    Eine lineare Abbildung

    die durch eine Drehmatrix (mit einem ) gegeben ist, heißt Drehung.



    Definition:Kosinusreihe

    Für heißt

    die Kosinusreihe zu .



    Definition:Sinusreihe

    Für heißt

    die Sinusreihe zu .



    Definition:Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte

    Zu einer endlichen Menge nennt man eine Abbildung

    mit

    eine (diskrete) Wahrscheinlichkeitsdichte auf .



    Definition:Ereignis (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)

    Auf einer endlichen Menge sei eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte gegeben. Dann nennt man jede Teilmenge ein Ereignis und man nennt

    die Wahrscheinlichkeit von .



    Definition:Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum

    Eine endliche Menge zusammen mit einer fixierten diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte und mit der Potenzmenge aller Ereignisse nennt man einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum.



    Definition:Endliches Wahrscheinlichkeitsmaß

    Auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum heißt die Abbildung

    ein endliches Wahrscheinlichkeitsmaß.



    Definition:Bernoulli-Verteilung

    Es sei . Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte auf mit

    und

    heißt Bernoulli-Verteilung.



    Definition:Laplace-Raum

    Es sei eine endliche Menge. Dann nennt man die Wahrscheinlichkeitsdichte

    die jedem Element den konstanten Wert zuweist, die Laplace-Dichte auf . Die Menge versehen mit dieser Dichte heißt Laplace-Raum.



    Definition:Produkt von Wahrscheinlichkeitsräumen

    Es seien endliche Wahrscheinlichkeitsräume mit zugehörigen Dichten . Dann nennt man die Produktmenge zusammen mit der durch

    gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichte den Produktraum der Wahrscheinlichkeitsräume.



    Definition:Binomialverteilung

    Es sei und . Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte auf mit

    heißt Binomialverteilung zur Stichprobenlänge und zur Erfolgswahrscheinlichkeit .



    Definition:Unabhängige Ereignisse

    Zwei Ereignisse und in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum heißen unabhängig, wenn

    ist.



    Definition:Paarweise unabhängige Ereignisse

    Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum gegeben. Die Ereignisse

    heißen paarweise unabhängig, wenn

    für alle ist.



    Definition:Vollständig unabhängige Ereignisse

    Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum gegeben. Die Ereignisse heißen vollständig unabhängig, wenn für jedes , , und jede -elementige Teilmenge die Gleichheit

    gilt.



    Definition:Bedingte Wahrscheinlichkeit

    Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und eine Teilmenge mit positiver Wahrscheinlichkeit. Dann nennt man zu jedem Ereignis die Zahl

    die bedingte Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung .