Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Arbeitsblatt 1/kontrolle

Die Pausenaufgabe

Aufgabe Referenznummer erstellen

Zeige, dass man das Multiplizieren von natürlichen Zahlen durch das Quadrieren, Addieren, Subtrahieren und durch das Halbieren ausdrücken kann.

Übungsaufgaben

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne ${}1001^{2}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne

$a(a-x)^{2}+(xa^{2}+a^{3})-a(x-a)(a+x).$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Welches mathematische Wissen geht ein, um das Bild rechts als eine einleuchtende Begründung für die erste binomische Formel akzeptieren zu können?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Gelten die binomischen Formeln für Polynome? Gelten sie für beliebige Terme? Kann man für ${}a,b$ auch komplexere Ausdrücke wie ${}r^{2}-stu$ oder ${}7t^{5}-4rs^{3}$ einsetzen?

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne ${}(a-b)(b-a)$ in ${}\mathbb {Z}$.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Veranschauliche das Distributivgesetz für reelle Zahlen mit der Hilfe von Rechtecken.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man leite die dritte binomische Formel aus der ersten binomischen Formel her, indem man

$(a+b)(a+b)+(a+b)(a-b)$

distributiv ausrechnet.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne

$(a+b+c)^{2}$

mit Hilfe der ersten binomischen Formel.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Berechne

$(a+b)^{3}$

mit Hilfe der ersten binomischen Formel und des Distributivgesetzes.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Berechne

${\left(a-b\right)}{\left(a^{2}+ab+b^{2}\right)}.$

Aufgabe Referenznummer erstellen

Man begründe anschaulich und mit der ersten binomischen Formel, dass die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen stets ungerade ist.

Aufgabe Referenznummer erstellen

Welche Rechengesetze für Brüche wurden in der Vorlesung verwendet, um die erste binomische Formel für rationale Zahlen auf die binomische Formel für ganze Zahlen zurückzuführen?

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Führe die zweite binomische Formel für rationale Zahlen auf die zweite binomische Formel für ganze Zahlen zurück.

Die Addition und die Multiplikation von ${}2\times 2$-Matrizen kennen Sie aus der Schule.

Aufgabe * Referenznummer erstellen

Gilt für quadratische Matrizen die erste binomische Formel?

Aufgabe Referenznummer erstellen

In welcher Reihenfolge haben Sie die verschiedenen Zugänge zur Addition und zur Multiplikation der natürlichen Zahlen (kennen)gelernt? In welcher Reihenfolge würden Sie sie lehren?

Aufgaben zum Abgeben

Aufgabe * (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne

$100000000000001000000000^{2}$

mit Hilfe der ersten binomischen Formel.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne

$(r+s-t)^{2}-(r+t)^{2}-s(t^{2}-r)(r+t^{2}).$

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Berechne

$(a-1)(a+1){\left(a^{2}-a+1\right)}{\left(a^{2}+a+1\right)}.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige

${}{\sqrt {10+{\sqrt {24}}+{\sqrt {40}}+{\sqrt {60}}}}={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {5}}\,.$

Aufgabe (3 Punkte)Referenznummer erstellen

Führe die dritte binomische Formel für rationale Zahlen auf die dritte binomische Formel für ganze Zahlen zurück.

Aufgabe (2 Punkte)Referenznummer erstellen

Zeige, dass man das Multiplizieren von natürlichen Zahlen durch das maximal zweifache Quadrieren, das Addieren, Subtrahieren und durch das Halbieren ausdrücken kann.

Die Aufgabe zum Aufgeben

Lösungen zu der folgenden Aufgabe direkt an den Dozenten (Postkasten). Bis Weihnachten. Die Konzepte Tupel, Betrag, Abbildung, Iteration werden bald eingeführt, sind aber vermutlich schon bekannt.

Aufgabe (8 Punkte)Referenznummer erstellen

Wir betrachten die Abbildung

$\Psi \colon \mathbb {N} ^{4}\longrightarrow \mathbb {N} ^{4},$

die einem Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ das Vierertupel

$(\vert {b-a}\vert ,\vert {c-b}\vert ,\vert {d-c}\vert ,\vert {a-d}\vert )$

zuordnet. Man gebe ein Beispiel für ein Vierertupel ${}(a,b,c,d)$ mit der Eigenschaft an, dass sämliche Iterationen ${}\Psi ^{n}(a,b,c,d)$ für ${}n\leq 25$ nicht das Nulltupel liefern. Überprüfe das Ergebnis auf http://www.vier-zahlen.bplaced.net/raetsel.php .