Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Definitionsabfrage
Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt. Sie wird mit
bezeichnet.
Es seien
und
Mengen. Man sagt, dass
eine Teilmenge von
ist, wenn jedes Element von
auch ein Element von
ist.
Zu Mengen
und
heißt
der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) der beiden Mengen.
Zu zwei Mengen
und
heißt
die Vereinigung der beiden Mengen.
Zu Mengen nennt man
die Differenzmenge „ ohne
“.
Zu einer
Teilmenge
in einer Menge
heißt
das Komplement von
(in
).
Zwei Mengen
und
heißen disjunkt, wenn ihr
Durchschnitt
ist.
Zu einer Implikation heißt die Implikation
die zugehörige
Kontraposition.
Es seien
und
Mengen. Eine Abbildung
von
nach
ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge
genau ein Element der Menge
zugeordnet wird. Das zu
eindeutig bestimmte Element wird mit
bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch
aus.
Es seien
und
Mengen und es sei
eine
Abbildung.
Dann heißt surjektiv, wenn es für jedes
mindestens ein Element
mit
gibt.
Es seien und
Mengen und es sei
eine
Abbildung.
Dann heißt injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente
auch
und
verschieden sind.
Es seien und
Mengen und es sei
eine
Abbildung.
Dann heißt bijektiv, wenn
sowohl
injektiv
als auch
surjektiv
ist.
Es seien
und
Mengen und
und
Abbildungen. Dann heißt die Abbildung
die Hintereinanderschaltung der Abbildungen
und
.
Es sei eine Menge. Dann heißt die
Abbildung
die also jedes Element
auf sich selbst schickt, die identische Abbildung oder Identität auf
. Sie wird mit
oder
bezeichnet.
Es sei
eine
bijektive Abbildung.
Dann heißt die Abbildung
die jedes Element
auf das eindeutig bestimmte Element
mit
abbildet, die Umkehrabbildung zu
.
Es seien
und
Mengen und es sei
ein Element. Dann heißt die
Abbildung
die also jedes Element
auf
abbildet, die konstante Abbildung zum Wert
.
Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element
(die Null)
und einer
(Nachfolger)-Abbildung
heißt natürliche Zahlen (oder Dedekind-Peano-Modell für die natürlichen Zahlen), wenn die folgenden Dedekind-Peano-Axiome erfüllt sind.
- Das Element
ist kein Nachfolger (die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung).
- Jedes
ist Nachfolger höchstens eines Elementes (d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv).
- Für jede Teilmenge
gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
,
- mit jedem Element
ist auch
,
gelten, so ist
.
Es seien zwei Mengen
und
gegeben. Dann nennt man die Menge
die Produktmenge der beiden Mengen.
Es seien
und
Mengen und es sei
eine Abbildung. Dann nennt man
den Graphen der Abbildung .
Eine Verknüpfung auf einer Menge
ist eine
Abbildung
Eine Verknüpfung
auf einer Menge heißt assoziativ, wenn für alle
die Gleichheit
gilt.
Eine Verknüpfung
auf einer Menge heißt kommutativ, wenn für alle
die Gleichheit
gilt.
Es sei eine Menge mit einer
Verknüpfung
gegeben. Dann heißt ein Element
neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle
die Gleichheit
gilt.
Die
Summe
zweier
natürlicher Zahlen
und
ist diejenige natürliche Zahl, die man erhält, wenn man von
ausgehend
-fach den Nachfolger nimmt.
Das
Produkt
zweier
natürlicher Zahlen
ist definiert als die
-fache Summe der Zahl
mit sich selbst.
Zu einer natürlichen Zahl und einer natürlichen Zahl
nennt man die
-fache Multiplikation von
mit sich selbst
( Faktoren)
die
-te
Potenz
von
. Sie wird mit
bezeichnet.
Eine Zahl der Form mit
heißt
Quadratzahl.
Eine Relation auf einer Menge
ist eine Teilmenge der Produktmenge
, also
.
Eine
Relation
auf einer Menge
heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist
für alle
.
- Aus
und
folgt stets
.
- Aus
und
folgt
.
Eine
Ordnungsrelation
auf einer Menge
heißt lineare Ordnung
(oder totale Ordnung),
wenn zu je zwei Elementen
die Beziehung
oder
gilt.
Man sagt, dass eine natürliche Zahl
größergleich
einer natürlichen Zahl
ist, geschrieben
wenn man von aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu
gelangt.
Zu einer endlichen nichtleeren Teilmenge
heißt
das
Maximum
von
, wenn
ist und wenn
für alle
gilt.
Zu einer nichtleeren Teilmenge
heißt
das
Minimum
von
, wenn
ist und wenn
für alle
gilt.
Für natürliche Zahlen
ist diejenige natürliche Zahl
für die
gilt. Sie heißt die
Differenz
zwischen und
.
Ein kommutativer Halbring ist eine Menge mit
Verknüpfungen
und
(genannt Addition und Multiplikation)
und mit zwei ausgezeichneten Elementen
und
derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:
- Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die
das neutrale Element ist.
- Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die
das neutrale Element ist.
- Es gilt das Distributivgesetz, also
für alle
.
-
Zu einer Menge nennt man die Menge aller Teilmengen von
die Potenzmenge von
. Sie wird mit
bezeichnet.
Man sagt, dass die
natürliche Zahl
die natürliche Zahl
teilt
(oder dass
von
geteilt wird, oder dass
ein Vielfaches von
ist),
wenn es eine natürliche Zahl
derart gibt, dass
ist. Man schreibt dafür auch
.
Es seien
natürliche Zahlen.
Dann heißt eine natürliche Zahl
gemeinsamer Teiler der
, wenn
jedes
teilt
für
.
Es seien
natürliche Zahlen.
Eine natürliche Zahl
heißt größter gemeinsamer Teiler der
, wenn
ein gemeinsamer Teiler ist und wenn
unter allen gemeinsamen Teilern der
der
(bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen)
Größte ist.
Zwei natürliche Zahlen heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen
Teiler
besitzen.
Zu einer Menge von natürlichen Zahlen
heißt eine natürliche Zahl ein gemeinsames Vielfaches, wenn
ein
Vielfaches
von jedem
ist, also von jedem
geteilt
wird.
Zu einer Menge von natürlichen Zahlen
heißt die Zahl das kleinste gemeinsame Vielfache der
, wenn
ein
gemeinsames Vielfaches
ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen
der
das Kleinste ist.
Eine
natürliche Zahl
heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen
Teiler
von ihr
und
sind.
Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus
und
,
wobei diese beiden Zahlen
Primzahlen
sind.
Zu einer natürlichen Zahl nennt man die Zahl
die Fakultät von
(sprich
Fakultät).
Es seien
und
natürliche Zahlen mit
.
Dann nennt man
den Binomialkoeffizienten „ über
“.
Die Menge der
ganzen Zahlen
besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen
, der
und der Menge
, deren Elemente die negativen ganzen Zahlen heißen.
Unter dem
Nachfolger
einer ganzen Zahl
versteht man die Zahl
Unter der
Negation
auf der Menge der ganzen Zahl versteht man die
Abbildung
,
die durch
gegeben ist.
Auf den
ganzen Zahlen
wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt
Addition,
eingeführt
(dabei bezeichnen natürliche Zahlen).
Es ist
Auf den
ganzen Zahlen
wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt
Multiplikation,
eingeführt
(dabei bezeichnen natürliche Zahlen).
Es ist
Unter dem
Betrag
einer
ganzen Zahl
versteht man die Zahl selbst, falls diese positiv ist, oder aber die Zahl
, falls
negativ
(und
positiv)
ist.
Eine Menge heißt ein Ring, wenn es zwei
Verknüpfungen
(genannt Addition und Multiplikation)
und
(nicht notwendigerweise verschiedene)
Elemente
gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Axiome der Addition
- Assoziativgesetz: Für alle
gilt
.
- Kommutativgesetz: Für alle
gilt
.
ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle
ist
.
- Existenz des Negativen: Zu jedem
gibt es ein Element
mit
.
- Assoziativgesetz: Für alle
- Axiome der Multiplikation
- Assoziativgesetz: Für alle
gilt
.
ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle
ist
.
- Assoziativgesetz: Für alle
- Distributivgesetz:
Für alle
gilt
und
.
Ein
Ring
heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.
Eine Menge mit einem ausgezeichneten Element
und mit einer
Verknüpfung
heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.
- Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle
gilt
-
- Das Element
ist ein neutrales Element, d.h. für alle
gilt
-
- Zu jedem
gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein
mit
-
Eine
Gruppe
heißt kommutativ
(oder abelsch),
wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also
für alle
gilt.
Auf den
ganzen Zahlen
definieren wir folgendermaßen die
Größergleichrelation
. Wir sagen
wenn es eine
natürliche Zahl
mit
gibt.
Ein
kommutativer Ring
heißt angeordnet, wenn es eine
totale Ordnung
auf
gibt, die die beiden Eigenschaften
- Aus
folgt
für beliebige
,
- Aus
und
folgt
für beliebige
,
erfüllt.
Man sagt, dass die ganze Zahl die ganze Zahl
teilt
(oder dass
von
geteilt wird, oder dass
ein Vielfaches von
ist),
wenn es eine ganze Zahl
derart gibt, dass
ist. Man schreibt dafür auch
.
Es sei eine
Gruppe.
Eine Teilmenge
heißt Untergruppe von
wenn folgendes gilt.
.
- Mit
ist auch
.
- Mit
ist auch
.
Es seien zwei ganze Zahlen
(mit
)
gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen
und
und die mittels
der Division mit Rest
rekursiv bestimmte Folge die Folge der euklidischen Reste.
Zwei Strecken
und
heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke
mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von
sind.
Zu einer ganzen Zahl
und einer
Primzahl
nennt man den Exponenten, mit dem
in der Primfaktorzerlegung von
vorkommt, den
-Exponenten
von
. Er wird mit
bezeichnet.
Wenn zwischen zwei Größen
und
(die in
, in
, in
, in
oder einem beliebigen
kommutativen Ring
variieren),
ein Zusammenhang der Form
mit einer festen Zahl besteht, so spricht man von einem
proportionalen Zusammenhang
zwischen den beiden Größen und man sagt, dass
proportional
zu
ist. Die Zahl
, die den Umrechnungsfaktor zwischen den beiden Größen darstellt, heißt
Proportionalitätskonstante.
Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form
wobei
und
sind, und wobei zwei Ausdrücke
und
genau dann als gleich betrachtet werden, wenn
(in
)
gilt. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit
bezeichnet.
Ein Bruch heißt
gekürzt,
wenn
und
teilerfremd
sind.
Eine
rationale Zahl
der Form ,
, heißt
Stammbruch.
Die
Addition
der
rationalen Zahlen
und
ist durch
definiert.
Die
Multiplikation
von
rationalen Zahlen
und
ist durch
definiert.
Eine Menge heißt ein Körper, wenn es zwei
Verknüpfungen
(genannt Addition und Multiplikation)
und zwei verschiedene Elemente
gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.
- Axiome der Addition
- Assoziativgesetz: Für alle
gilt:
.
- Kommutativgesetz: Für alle
gilt
.
ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle
ist
.
- Existenz des Negativen: Zu jedem
gibt es ein Element
mit
.
- Assoziativgesetz: Für alle
- Axiome der Multiplikation
- Assoziativgesetz: Für alle
gilt:
.
- Kommutativgesetz: Für alle
gilt
.
ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle
ist
.
- Existenz des Inversen: Zu jedem
mit
gibt es ein Element
mit
.
- Assoziativgesetz: Für alle
- Distributivgesetz:
Für alle
gilt
.
Ein
kommutativer Ring
heißt Körper, wenn
ist und wenn jedes von
verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.
Auf den
rationalen Zahlen
wird die
Größergleichrelation
durch
(bei positiven Nennern
),
falls
in
gilt, definiert.
Ein
Körper
heißt angeordnet, wenn es eine
totale Ordnung
auf
gibt, die die beiden Eigenschaften
- Aus
folgt
(für beliebige
),
- Aus
und
folgt
(für beliebige
),
erfüllt.
In einem
angeordneten Körper
ist der Betrag eines Elementes
folgendermaßen definiert.
Zu Zahlen
in einem
angeordneten Körper
nennt man
das arithmetische Mittel der Zahlen.
Es sei ein angeordneter Körper. Dann heißt
archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem
eine natürliche Zahl
mit
gibt.
Es sei ein
angeordneter Körper.
Zu
,
,
nennt man
das abgeschlossene Intervall.
das offene Intervall.
das linksseitig offene Intervall.
das rechtsseitig offene Intervall.
Zu einer rationalen Zahl ist die Gaußklammer
durch
definiert.
Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form
mit einer natürlichen Zahl und einer rationalen Zahl
mit
und
.
Der Wert eines gemischten Bruches ist
Es sei ein
angeordneter Körper
und
eine Teilmenge. Eine
Abbildung
heißt
wachsend,
wenn für je zwei Elemente
mit
auch
gilt.
Es sei ein
angeordneter Körper
und
eine Teilmenge. Eine
Abbildung
heißt
streng wachsend,
wenn für je zwei Elemente
mit
auch
gilt.
Es sei ein
angeordneter Körper
und
eine Teilmenge. Eine
Abbildung
heißt
fallend,
wenn für je zwei Elemente
mit
die Abschätzung
gilt.
Es sei ein
angeordneter Körper
und
eine Teilmenge. Eine
Abbildung
heißt
streng fallend,
wenn für je zwei Elemente
mit
die Abschätzung
gilt.
Es sei ein
Körper.
Eine
Funktion
der Form
mit einem festen
heißt
lineare Funktion.
Eine rationale Zahl, die man mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann, heißt Dezimalbruch.
Es sei ein Dezimalbruch
mit
,
,
und
gegeben, und es sei
die Dezimaldarstellung von . Dann nennt man
die Darstellung des Dezimalbruches im Dezimalsystem.
Ein
Prozent
ist .
Ein
Promille
ist .
Es sei ein
angeordneter Körper
und
ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung
die
(ganzzahlige)
Exponentialfunktion
zur Basis .
Es sei eine Menge. Eine
Abbildung
nennt man auch eine Folge in . Eine Folge wird häufig in der Form
geschrieben.
Es sei ein
angeordneter Körper.
Eine Folge der Form
mit
und
heißt Dezimalbruchfolge.
Es sei eine
Folge
in einem
angeordneten Körper
und es sei
.
Man sagt, dass die Folge gegen
konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
,
,
gibt es ein
derart, dass für alle
die Beziehung
gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.