Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil I/Definitionsliste

Definition:Leere Menge

Unter der leeren Menge versteht man diejenige Menge, die kein Element besitzt. Sie wird mit

$\mathrm{\varnothing }$

bezeichnet.

Definition:Teilmenge

Es seien $T$ und $M$ Mengen. Man sagt, dass $T$ eine Teilmenge von $M$ ist, wenn jedes Element von $T$ auch ein Element von $M$ ist.

Definition:Durchschnitt

Zu Mengen $L$ und $M$ heißt

$L\cap M=\{x\mid x\in L\text{ und }x\in M\}$

der Durchschnitt (oder die Schnittmenge) der beiden Mengen.

Definition:Vereinigung

Zu zwei Mengen $L$ und $M$ heißt

$L\cup M=\{x\mid x\in L\text{ oder }x\in M\}$

die Vereinigung der beiden Mengen.

Definition:Differenzmenge

Zu Mengen $A,B$ nennt man

$A\setminus B:=\{x\mid x\in A\text{ und }x\in ̸B\}$

die Differenzmenge „ $A$ ohne $B$ “.

Definition:Komplement

Zu einer Teilmenge  $T\subseteq M$  in einer Menge $M$ heißt

$M\setminus T=\{x\in M\mid x\in ̸T\}$

das Komplement von $T$ (in $M$).

Definition:Disjunkte Mengen

Zwei Mengen $L$ und $M$ heißen disjunkt, wenn ihr Durchschnitt  $L\cap M=\mathrm{\varnothing }$  ist.

Definition:Kontraposition

Zu einer Implikation $\alpha \to \beta$ heißt die Implikation $\mathrm{\neg }\beta \to \mathrm{\neg }\alpha$ die zugehörige Kontraposition.

Definition:Abbildung

Es seien $L$ und $M$ Mengen. Eine Abbildung $F$ von $L$ nach $M$ ist dadurch gegeben, dass jedem Element der Menge $L$ genau ein Element der Menge $M$ zugeordnet wird. Das zu  $x\in L$  eindeutig bestimmte Element wird mit $F(x)$ bezeichnet. Die Abbildung drückt man als Ganzes häufig durch

$F:L⟶M,x⟼F(x),$

aus.

Definition:Surjektiv

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei

$F:L⟶M,x⟼F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt $F$ surjektiv, wenn es für jedes  $y\in M$  mindestens ein Element  $x\in L$  mit

$F(x)=y$

gibt.

Definition:Injektiv

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei

$F:L⟶M,x⟼F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt $F$ injektiv, wenn für je zwei verschiedene Elemente  $x,x^{\prime }\in L$  auch $F(x)$ und $F(x^{\prime })$ verschieden sind.

Definition:Bijektiv

Es seien $M$ und $L$ Mengen und es sei

$F:M⟶L,x⟼F(x),$

eine Abbildung. Dann heißt $F$ bijektiv, wenn $F$ sowohl injektiv als auch surjektiv ist.

Definition:Endliche Menge

Eine Menge $M$ heißt endlich mit $n$ Elementen, wenn es eine Bijektion

$\{1,\dots ,n\}⟶M$

gibt.

Definition:Hintereinanderschaltung

Es seien $L,M$ und $N$ Mengen und

$F:L⟶M,x⟼F(x),$

und

$G:M⟶N,y⟼G(y),$

Abbildungen. Dann heißt die Abbildung

$G\circ F:L⟶N,x⟼G(F(x)),$

die Hintereinanderschaltung der Abbildungen $F$ und $G$.

Definition:Identische Abbildung

Es sei $M$ eine Menge. Dann heißt die Abbildung

$M⟶M,x⟼x,$

die also jedes Element  $x\in M$  auf sich selbst schickt, die identische Abbildung oder Identität auf $M$. Sie wird mit $\mathrm{Id}$ oder ${\mathrm{Id}}_M$ bezeichnet.

Definition:Umkehrabbildung

Es sei $F:L\to M$ eine bijektive Abbildung. Dann heißt die Abbildung

$G:M⟶L,$

die jedes Element  $y\in M$  auf das eindeutig bestimmte Element  $x\in L$  mit  $F(x)=y$  abbildet, die Umkehrabbildung zu $F$.

Definition:Konstante Abbildung

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei  $c\in M$  ein Element. Dann heißt die Abbildung

$L⟶M,x⟼c,$

die also jedes Element  $x\in L$  auf $c$ abbildet, die konstante Abbildung zum Wert $c$.

Definition:Dedekind-Peano-Axiome

Eine Menge $N$ mit einem ausgezeichneten Element  $0\in N$  (die Null) und einer (Nachfolger)-Abbildung

${:}^{\prime }N⟶N,n⟼n^{\prime },$

heißt natürliche Zahlen (oder Dedekind-Peano-Modell für die natürlichen Zahlen), wenn die folgenden Dedekind-Peano-Axiome erfüllt sind.

1. Das Element $0$ ist kein Nachfolger (die Null liegt also nicht im Bild der Nachfolgerabbildung).
2. Jedes  $n\in N$  ist Nachfolger höchstens eines Elementes (d.h. die Nachfolgerabbildung ist injektiv).
3. Für jede Teilmenge  $T\subseteq N$  gilt: Wenn die beiden Eigenschaften
   •  $0\in T$, 
   • mit jedem Element
    $n\in T$  ist auch  $n^{\prime }\in T$, 

gelten, so ist  $T=N$. 

Definition:Produktmenge

Es seien zwei Mengen $L$ und $M$ gegeben. Dann nennt man die Menge

$L\times M=\{(x,y)\mid x\in L,y\in M\}$

die Produktmenge der beiden Mengen.

Definition:Graph einer Abbildung

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei

$F:L⟶M$

eine Abbildung. Dann nennt man

$\Gamma ={\Gamma }_F=\{(x,F(x))\mid x\in L\}\subseteq L\times M$

den Graphen der Abbildung $F$.

Definition:Verknüpfung

Eine Verknüpfung $\circ$ auf einer Menge $M$ ist eine Abbildung

$\circ :M\times M⟶M,(x,y)⟼\circ (x,y)=x\circ y.$

Definition:Assoziative Verknüpfung

Eine Verknüpfung

$\circ :M\times M⟶M,(x,y)⟼x\circ y,$

auf einer Menge $M$ heißt assoziativ, wenn für alle  $x,y,z\in M$  die Gleichheit

$(x\circ y)\circ z=x\circ (y\circ z)$

gilt.

Definition:Kommutative Verknüpfung

Eine Verknüpfung

$\circ :M\times M⟶M,(x,y)⟼x\circ y,$

auf einer Menge $M$ heißt kommutativ, wenn für alle  $x,y\in M$  die Gleichheit

$x\circ y=y\circ x$

gilt.

Definition:Neutrales Element

Es sei eine Menge $M$ mit einer Verknüpfung

$\circ :M\times M⟶M,(x,y)⟼x\circ y,$

gegeben. Dann heißt ein Element  $e\in M$  neutrales Element der Verknüpfung, wenn für alle  $x\in M$  die Gleichheit  $x\circ e=x=e\circ x$  gilt.

Definition:Addition

Die Summe $n+k$ zweier natürlicher Zahlen $n$ und $k$ ist diejenige natürliche Zahl, die man erhält, wenn man von $n$ ausgehend $k$-fach den Nachfolger nimmt.

Definition:Multiplikation

Das Produkt $a\cdot b$ zweier natürlicher Zahlen ist definiert als die $a$-fache Summe der Zahl $b$ mit sich selbst.

Definition:Potenz

Zu einer natürlichen Zahl $a$ und einer natürlichen Zahl $n$ nennt man die $n$-fache Multiplikation von $a$ mit sich selbst

$a\cdot a\cdots a\cdot a$

($n$ Faktoren) die $n$-te Potenz von $a$. Sie wird mit $a^n$ bezeichnet.

Definition:Quadratzahl

Eine Zahl der Form $n^2$ mit  $n\in \mathbb{N}$  heißt Quadratzahl.

Definition:Relation auf einer Menge

Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times M$, also  $R\subseteq M\times M$. 

Definition:Ordnungsrelation

Eine Relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist  $i\preccurlyeq i$  für alle  $i\in I$. 
2. Aus  $i\preccurlyeq j$  und  $j\preccurlyeq k$  folgt stets  $i\preccurlyeq k$. 
3. Aus  $i\preccurlyeq j$  und  $j\preccurlyeq i$  folgt  $i=j$. 

Definition:Lineare Ordnung

Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$ heißt lineare Ordnung (oder totale Ordnung), wenn zu je zwei Elementen  $x,y\in I$  die Beziehung $x\preccurlyeq y$ oder $y\preccurlyeq x$ gilt.

Definition:Größergleichrelation auf N

Man sagt, dass eine natürliche Zahl $n$ größergleich einer natürlichen Zahl $k$ ist, geschrieben

$n\ge k,$

wenn man von $k$ aus durch endlichfaches Nachfolgernehmen zu $n$ gelangt.

Definition:Maximum

Zu einer endlichen nichtleeren Teilmenge  $T\subseteq \mathbb{N}$  heißt $a$ das Maximum von $T$, wenn  $a\in T$  ist und wenn  $a\ge x$  für alle  $x\in T$  gilt.

Definition:Minimum

Zu einer nichtleeren Teilmenge  $T\subseteq \mathbb{N}$  heißt $b$ das Minimum von $T$, wenn  $b\in T$  ist und wenn  $b\le x$  für alle  $x\in T$  gilt.

Definition:Differenz natürlicher Zahlen

Für natürliche Zahlen

$a\ge b$

ist $a-b$ diejenige natürliche Zahl $c$ für die

$a=b+c$

gilt. Sie heißt die Differenz zwischen $a$ und $b$.

Definition:Kommutativer Halbring

Ein kommutativer Halbring $R$ ist eine Menge mit Verknüpfungen $+$ und $\cdot$ (genannt Addition und Multiplikation) und mit ausgezeichneten Elementen $0$ und $1$ derart, dass folgende Bedingungen erfüllt sind:

1. Die Addition ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die $0$ das neutrale Element ist.
2. Die Multiplikation ist eine kommutative, assoziative Verknüpfung, für die $1$ das neutrale Element ist.
3. Es gilt das Distributivgesetz, also

   $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$

   für alle

    $a,b,c\in R$. 

Definition:Potenzmenge

Zu einer Menge $M$ nennt man die Menge aller Teilmengen von $M$ die Potenzmenge von $M$. Sie wird mit

$𝔓(M)$

bezeichnet.

Definition:Teilen ($\mathbb{N}$)

Man sagt, dass die natürliche Zahl $a$ die natürliche Zahl $b$ teilt (oder dass $b$ von $a$ geteilt wird, oder dass $b$ ein Vielfaches von $a$ ist), wenn es eine natürliche Zahl $c$ derart gibt, dass  $b=c\cdot a$  ist. Man schreibt dafür auch $a|b$.

Definition:Gemeinsamer Teiler

Es seien $a_1,\dots ,a_k$ natürliche Zahlen. Dann heißt eine natürliche Zahl $t$ gemeinsamer Teiler der $a_1,\dots ,a_k$, wenn $t$ jedes $a_i$ teilt für $i=1,\dots ,k$.

Definition:Größter gemeinsamer Teiler

Es seien $a_1,\dots ,a_k$ natürliche Zahlen. Eine natürliche Zahl $g$ heißt größter gemeinsamer Teiler der $a_1,\dots ,a_k$, wenn $g$ ein gemeinsamer Teiler ist und wenn $g$ unter allen gemeinsamen Teilern der $a_1,\dots ,a_k$ der (bezüglich der Ordnungsrelation auf den natürlichen Zahlen) Größte ist.

Definition:Teilerfremd

Zwei natürliche Zahlen heißen teilerfremd, wenn sie keinen gemeinsamen Teiler $\ge 2$ besitzen.

Definition:Gemeinsames Vielfaches

Zu einer Menge von natürlichen Zahlen

$a_1,\dots ,a_k$

heißt eine natürliche Zahl $b$ ein gemeinsames Vielfaches, wenn $b$ ein Vielfaches von jedem $a_i$ ist, also von jedem $a_i$ geteilt wird.

Definition:Kleinstes gemeinsaes Vielfaches

Zu einer Menge von natürlichen Zahlen

$a_1,\dots ,a_k$

heißt die Zahl $b$ das kleinste gemeinsame Vielfache der $a_1,\dots ,a_k$, wenn $b$ ein gemeinsames Vielfaches ist und unter allen gemeinsamen Vielfachen $\ne 0$ der $a_1,\dots ,a_k$ das Kleinste ist.

Definition:Primzahl

Eine natürliche Zahl  $n\ge 2$  heißt eine Primzahl, wenn die einzigen natürlichen Teiler von ihr $1$ und $n$ sind.

Definition:Primzahlzwilling

Ein Primzahlzwilling ist ein Paar bestehend aus $p$ und $p+2$, wobei diese beiden Zahlen Primzahlen sind.

Definition:Fakultät

Zu einer natürlichen Zahl $n$ nennt man die Zahl

$n!:=n(n-1)(n-2)\cdots 3\cdot 2\cdot 1$

die Fakultät von $n$ (sprich $n$ Fakultät).

Definition:Binomialkoeffizient

Es seien $k$ und $n$ natürliche Zahlen mit  $k\le n$.  Dann nennt man

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}):=\frac{n!}{k!(n-k)!}$

den Binomialkoeffizienten „ $n$ über $k$ “.

Definition:Ganze Zahlen

Die Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ besteht aus der Menge aller positiven natürlichen Zahlen ${\mathbb{N}}_{+}$, der $0$ und der Menge $\{-n\mid n\in {\mathbb{N}}_{+}\}$, deren Elemente die negativen ganzen Zahlen heißen.

Definition:Nachfolgerabbildung ($\mathbb{Z}$)

Unter dem Nachfolger $N(x)$ einer ganzen Zahl  $x\in \mathbb{Z}$  versteht man die Zahl

$N(x):=\{\begin{array}{c}N(a),\text{ falls }x=a\in \mathbb{N},\\ -V(b),\text{ falls }x=-b\text{ mit }b\in {\mathbb{N}}_{+}.\end{array}$

Definition:Negation ($\mathbb{Z}$)

Unter der Negation auf der Menge der ganzen Zahlen $\mathbb{Z}$ versteht man die Abbildung $-:\mathbb{Z}\to \mathbb{Z}$, die durch

$-(x):=\{\begin{array}{c}-a,\text{ falls }x=a\in \mathbb{N},\\ b,\text{ falls }x=-b\text{ mit }b\in {\mathbb{N}}_{+},\end{array}$

gegeben ist.

Definition:Addition ( $\mathbb{Z}$ )

Auf den ganzen Zahlen wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt Addition, eingeführt (dabei bezeichnen $a,b$ natürliche Zahlen). Es ist

$a+b:=a+b,$

$a+(-b):=\{\begin{array}{c}a-b,\text{ falls }a\ge b,\\ -(b-a),\text{ falls }a<b,\end{array}$

$(-a)+b:=\{\begin{array}{c}b-a,\text{ falls }b\ge a,\\ -(a-b),\text{ falls }b<a,\end{array}$

$(-a)+(-b):=-(a+b).$

Definition:Multiplikation ( $\mathbb{Z}$ )

Auf den ganzen Zahlen wird folgendermaßen eine Verknüpfung, genannt Multiplikation, eingeführt (dabei bezeichnen $a,b$ natürliche Zahlen). Es ist

$a\cdot b:=a\cdot b,$

$a\cdot (-b):=-(a\cdot b),$

$(-a)\cdot b:=-(a\cdot b),$

$(-a)\cdot (-b):=a\cdot b.$

Definition:Betrag

Unter dem Betrag $|n|$ einer ganzen Zahl $n$ versteht man die Zahl selbst, falls diese positiv ist, oder aber die Zahl $-n$, falls $n$ negativ (und $-n$ positiv) ist.

Definition:Ring

Eine Menge $R$ heißt ein Ring, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:R\times R⟶R\text{ und }\cdot :R\times R⟶R$

und (nicht notwendigerweise verschiedene) Elemente  $0,1\in R$  gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle  $a,b,c\in R$  gilt  $(a+b)+c=a+(b+c)$. 
   2. Kommutativgesetz: Für alle  $a,b\in R$  gilt  $a+b=b+a$. 
   3. $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle  $a\in R$  ist  $a+0=a$. 
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem  $a\in R$  gibt es ein Element  $b\in R$  mit  $a+b=0$. 
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle  $a,b,c\in R$  gilt  $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$. 
   2. $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle  $a\in R$  ist  $a\cdot 1=1\cdot a=a$. 
3. Distributivgesetz: Für alle  $a,b,c\in R$  gilt  $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$  und  $(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$. 

Definition:Kommutativer Ring

Ein Ring $R$ heißt kommutativ, wenn die Multiplikation kommutativ ist.

Definition:Gruppe

Eine Menge $G$ mit einem ausgezeichneten Element  $e\in G$  und mit einer Verknüpfung

$G\times G⟶G,(g,h)⟼g\circ h,$

heißt Gruppe, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind.

1. Die Verknüpfung ist assoziativ, d.h. für alle  $f,g,h\in G$  gilt

   $(f\circ g)\circ h=f\circ (g\circ h).$

2. Das Element $e$ ist ein neutrales Element, d.h. für alle  $g\in G$  gilt

   $g\circ e=g=e\circ g.$

3. Zu jedem  $g\in G$  gibt es ein inverses Element, d.h. es gibt ein  $h\in G$  mit

   $h\circ g=g\circ h=e.$

Definition:Kommutative Gruppe

Eine Gruppe $(G,e,\circ )$ heißt kommutativ (oder abelsch), wenn die Verknüpfung kommutativ ist, wenn also  $x\circ y=y\circ x$  für alle  $x,y\in G$  gilt.

Definition:Größergleichrelation auf $\mathbb{Z}$

Auf den ganzen Zahlen definieren wir folgendermaßen die Größergleichrelation $\ge$. Wir sagen

$a\ge b,$

wenn es eine natürliche Zahl $n$ mit

$a=b+n$

gibt.

Definition:Angeordneter Ring

Ein kommutativer Ring heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung $\ge$ auf $R$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus  $a\ge b$  folgt  $a+c\ge b+c$  für beliebige  $a,b,c\in R$, 
2. Aus  $a\ge 0$  und  $b\ge 0$  folgt  $ab\ge 0$  für beliebige  $a,b\in R$, 

erfüllt.

Definition:Teilen (Z)

Man sagt, dass die ganze Zahl $a$ die ganze Zahl $b$ teilt (oder dass $b$ von $a$ geteilt wird, oder dass $b$ ein Vielfaches von $a$ ist), wenn es eine ganze Zahl $c$ derart gibt, dass  $b=c\cdot a$  ist. Man schreibt dafür auch $a|b$.

Definition:Untergruppe

Es sei $(G,e,\circ )$ eine Gruppe. Eine Teilmenge  $H\subseteq G$  heißt Untergruppe von $G$, wenn Folgendes gilt.

1.  $e\in H$. 
2. Mit  $g,h\in H$  ist auch  $g\circ h\in H$. 
3. Mit  $g\in H$  ist auch  $g^{-1}\in H$. 

Definition:Euklidische Restfolge

Es seien zwei ganze Zahlen $a,b$ (mit $b\ne 0$) gegeben. Dann nennt man die durch die Anfangsbedingungen $r_0=a$ und $r_1=b$ und die mittels der Division mit Rest

$r_i=q_i{r}_{i+1}+r_{i+2}$

rekursiv bestimmte Folge $r_i$ die Folge der euklidischen Reste.

Definition:Kommensurabel

Zwei Strecken $s$ und $t$ heißen kommensurabel, wenn es eine Strecke $g$ mit der Eigenschaft gibt, dass beide Strecken ganzzahlige Vielfache von $g$ sind.

Definition:p-Exponent

Zu einer ganzen Zahl  $n\ne 0$  und einer Primzahl $p$ nennt man den Exponenten, mit dem $p$ in der Primfaktorzerlegung von $n$ vorkommt, den $p$-Exponenten von $n$. Er wird mit ${\nu }_p(n)$ bezeichnet.

Definition:Proportional

Wenn zwischen zwei Größen $x$ und $y$ (die in $\mathbb{N}$, in $\mathbb{Z}$, in $\mathbb{Q}$, in $ℝ$ oder einem beliebigen kommutativen Ring variieren) ein Zusammenhang der Form

$y=cx$

mit einer festen Zahl $c$ besteht, so spricht man von einem proportionalen Zusammenhang zwischen den beiden Größen und man sagt, dass $y$ proportional zu $x$ ist. Die Zahl $c$, die den Umrechnungsfaktor zwischen den beiden Größen darstellt, heißt Proportionalitätskonstante.

Definition:Rationale Zahl

Unter einer rationalen Zahl versteht man einen Ausdruck der Form

$\frac{a}{b},$

wobei  $a,b\in \mathbb{Z}$  und  $b\ne 0$  sind, und wobei zwei Ausdrücke $\frac{a}{b}$ und $\frac{c}{d}$ genau dann als gleich betrachtet werden, wenn  $ad=bc$  (in $\mathbb{Z}$) gilt. Die Menge aller rationalen Zahlen wird mit $\mathbb{Q}$ bezeichnet.

Definition:Gekürzter Bruch

Ein Bruch $a/b$ heißt gekürzt, wenn $a$ und $b$ teilerfremd sind.

Definition:Stammbruch

Eine rationale Zahl der Form $\frac{1}{n}$, $n\in {\mathbb{N}}_{+}$, heißt Stammbruch.

Definition:Addition auf $\mathbb{Q}$

Die Addition der rationalen Zahlen $x=\frac{a}{b}$ und $y=\frac{c}{d}$ ist durch

$\frac{a}{b}+\frac{c}{d}:=\frac{ad+bc}{bd}$

definiert.

Definition:Multiplikation auf $\mathbb{Q}$

Die Multiplikation von rationalen Zahlen $x=\frac{a}{b}$ und $y=\frac{c}{d}$ ist durch

$\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}:=\frac{a\cdot c}{b\cdot d}$

definiert.

Definition:Körper (ausführlich)

Eine Menge $K$ heißt ein Körper, wenn es zwei Verknüpfungen (genannt Addition und Multiplikation)

$+:K\times K⟶K\text{ und }\cdot :K\times K⟶K$

und zwei verschiedene Elemente  $0,1\in K$  gibt, die die folgenden Eigenschaften erfüllen.

1. Axiome der Addition
   1. Assoziativgesetz: Für alle  $a,b,c\in K$  gilt:  $(a+b)+c=a+(b+c)$. 
   2. Kommutativgesetz: Für alle  $a,b\in K$  gilt  $a+b=b+a$. 
   3. $0$ ist das neutrale Element der Addition, d.h. für alle  $a\in K$  ist  $a+0=a$. 
   4. Existenz des Negativen: Zu jedem  $a\in K$  gibt es ein Element  $b\in K$  mit  $a+b=0$. 
2. Axiome der Multiplikation
   1. Assoziativgesetz: Für alle  $a,b,c\in K$  gilt:  $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$. 
   2. Kommutativgesetz: Für alle  $a,b\in K$  gilt  $a\cdot b=b\cdot a$. 
   3. $1$ ist das neutrale Element der Multiplikation, d.h. für alle  $a\in K$  ist  $a\cdot 1=a$. 
   4. Existenz des Inversen: Zu jedem  $a\in K$  mit  $a\ne 0$  gibt es ein Element  $c\in K$  mit  $a\cdot c=1$. 
3. Distributivgesetz: Für alle  $a,b,c\in K$  gilt  $a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$. 

Definition:Körper

Ein kommutativer Ring $R$ heißt Körper, wenn  $R\ne 0$  ist und wenn jedes von $0$ verschiedene Element ein multiplikatives Inverses besitzt.

Definition:Anordnung auf den rationalen Zahlen

Auf den rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$ wird die Größergleichrelation $\ge$ durch  $\frac{a}{b}\ge \frac{c}{d}$  (bei positiven Nennern $b,d\in {\mathbb{N}}_{+}$), falls  $ad\ge cb$  in $\mathbb{Z}$ gilt, definiert.

Definition:Angeordneter Körper

Ein Körper $K$ heißt angeordnet, wenn es eine totale Ordnung $\ge$ auf $K$ gibt, die die beiden Eigenschaften

1. Aus  $a\ge b$  folgt  $a+c\ge b+c$  (für beliebige $a,b,c\in K$),
2. Aus  $a\ge 0$  und  $b\ge 0$  folgt  $ab\ge 0$  (für beliebige $a,b\in K$),

erfüllt.

Definition:Betrag (angeordneter Körper)

In einem angeordneten Körper $K$ ist der Betrag eines Elementes  $x\in K$  folgendermaßen definiert.

$|x|=\{\begin{array}{c}x,\text{ falls }x\ge 0,\\ -x,\text{ falls }x<0.\end{array}$

Definition:Arithmetisches Mittel

Zu $n$ Zahlen $a_1,\dots ,a_n$ in einem angeordneten Körper $K$ nennt man

$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}$

das arithmetische Mittel der Zahlen.

Definition:Archimedisch angeordnet

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Dann heißt $K$ archimedisch angeordnet, wenn das folgende Archimedische Axiom gilt, d.h. wenn es zu jedem  $x\in K$  eine natürliche Zahl $n$ mit

$n\ge x$

gibt.

Definition:Intervalle

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zu $a,b\in K$, $a\le b$, nennt man

•  $[a,b]=\{x\in K\mid a\le x\text{ und }x\le b\}$ 

das abgeschlossene Intervall.

•  $]a,b[=\{x\in K\mid a<x\text{ und }x<b\}$ 

das offene Intervall.

•  $]a,b]=\{x\in K\mid a<x\text{ und }x\le b\}$ 

das linksseitig offene Intervall.

•  $[a,b[=\{x\in K\mid a\le x\text{ und }x<b\}$ 

das rechtsseitig offene Intervall.

Definition:Gaußklammer

Zu einer rationalen Zahl $x$ ist die Gaußklammer $\lfloor x\rfloor$ durch

$\lfloor x\rfloor =n,\text{ falls }x\in [n,n+1[\text{ und }n\in \mathbb{Z},$

definiert.

Definition:Gemischter Bruch

Unter einem gemischten Bruch versteht man einen Ausdruck der Form

$n\frac{a}{b}$

mit einer natürlichen Zahl $n$ und einer rationalen Zahl $\frac{a}{b}$ mit  $a,b\in \mathbb{N}$  und  $a<b$.  Der Wert eines gemischten Bruches ist

$n+\frac{a}{b}.$

Definition:Wachsende Funktion

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und  $T\subseteq K$  eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f:T⟶K$

heißt wachsend, wenn für je zwei Elemente  $x,x^{\prime }\in T$  mit  $x\le x^{\prime }$  auch  $f(x)\le f(x^{\prime })$  gilt.

Definition:Streng wachsende Funktion

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und  $T\subseteq K$  eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f:T⟶K$

heißt streng wachsend, wenn für je zwei Elemente  $x,x^{\prime }\in T$  mit  $x<x^{\prime }$  auch  $f(x)<f(x^{\prime })$  gilt.

Definition:Fallende Funktion

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und  $T\subseteq K$  eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f:T⟶K$

heißt fallend, wenn für je zwei Elemente  $x,x^{\prime }\in T$  mit  $x\le x^{\prime }$  die Abschätzung  $f(x)\ge f(x^{\prime })$  gilt.

Definition:Streng fallende Funktion

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und  $T\subseteq K$  eine Teilmenge. Eine Abbildung

$f:T⟶K$

heißt streng fallend, wenn für je zwei Elemente  $x,x^{\prime }\in T$  mit  $x<x^{\prime }$  die Abschätzung  $f(x)>f(x^{\prime })$  gilt.

Definition:Lineare Funktion

Es sei $K$ ein Körper. Eine Funktion der Form

$f:K⟶K,x⟼cx,$

mit einem festen  $c\in K$  heißt lineare Funktion.

Definition:Dezimalbruch

Eine rationale Zahl, die man mit einer Zehnerpotenz als Nenner schreiben kann, heißt Dezimalbruch.

Definition:Darstellung eines Dezimalbruches im Dezimalsystem

Es sei ein Dezimalbruch

$\frac{a}{10^k}$

mit $a=\pm b\in \mathbb{Z}$, $b\in \mathbb{N}$, und  $k\in \mathbb{N}$  gegeben, und es sei

$b=\sum _{i=0}^n{b}_{i}10^i=b_n\cdots b_1{b}_0$

die Dezimaldarstellung von $b$. Dann nennt man

$\pm b_n\cdots b_k,b_{k-1}\cdots b_1{b}_0$

die Darstellung des Dezimalbruches im Dezimalsystem.

Definition:Prozent

Ein Prozent ist $\frac{1}{100}$.

Definition:Promille

Ein Promille ist $\frac{1}{1000}$.

Definition:(Ganzzahlige) Exponentialfunktion

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und  $b\in K_{+}$  ein positives Element. Dann nennt man die Abbildung

$\mathbb{Z}⟶K,n⟼b^n,$

die (ganzzahlige) Exponentialfunktion zur Basis $b$.

Definition:Folge

Es sei $M$ eine Menge. Eine Abbildung

$\mathbb{N}⟶M,n⟼x_n,$

nennt man auch eine Folge in $M$. Eine Folge wird häufig in der Form

${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

geschrieben.

Definition:Dezimalbruchfolge

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge der Form

$x_n=\frac{a_n}{10^n}$

mit  $a_n\in \mathbb{Z}$  und

$\frac{a_n}{10^n}\le \frac{a_{n+1}}{10^{n+1}}<\frac{a_n+1}{10^n}$

heißt Dezimalbruchfolge.

Definition:Konvergenz einer Folge

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei  $x\in K$.  Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem $ϵ\in K$, $ϵ>0$, gibt es ein  $n_0\in \mathbb{N}$  derart, dass für alle  $n\ge n_0$  die Beziehung

$|x_n-x|\le ϵ$

gilt. In diesem Fall heißt $x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.