Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2018-2019)/Teil II/Definitionsabfrage
Es sei ein Körper und . Dann nennt man
eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen zu den Koeffizienten , . Ein Tupel heißt Lösung der linearen Gleichung, wenn ist.
Wenn ein weiteres Element ist, so heißt
eine inhomogene lineare Gleichung und ein Tupel heißt Lösung der inhomogenen linearen Gleichung, wenn ist.
Es sei ein Körper und für und . Dann nennt man
ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen . Ein Tupel heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn für alle ist.
Wenn beliebig ist, so heißt
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn für alle ist.
Es sei ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
Zu Vektoren im und Skalaren nennt man
eine Linearkombination dieser Vektoren.
Die Vektoren im heißen ein Erzeugendensystem des , wenn man jeden Vektor als eine Linearkombination mit den Vektoren schreiben kann, wenn es also Skalare mit
gibt.
Die Vektoren im heißen eine Basis des , wenn man jeden Vektor eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren schreiben kann, wenn es also eindeutig bestimmte Skalare mit
gibt.
Es sei ein Körper und . Unter einer -Matrix über versteht man ein Schema der Form
wobei für und ist.
Es sei ein Körper und es sei eine - Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt
diejenige -Matrix, deren Einträge durch
gegeben sind.
Die - Matrix
nennt man die Einheitsmatrix.
Eine - Matrix der Form
nennt man Diagonalmatrix.
Es sei ein Körper und . Eine Teilmenge heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
- Es ist .
- Mit ist auch .
- Mit und ist auch .
Es sei ein Körper und . Eine Teilmenge heißt affiner Unterraum, wenn ( leer ist oder) es einen Untervektorraum und einen Punkt mit
gibt.
Unter einer Geraden (in Punktvektorform) versteht man einen affinen Unterraum der Form
mit einem von verschiedenen Vektor und einem Aufpunkt .
Unter einer Ebene (in Punktvektorform oder Parameterform) versteht man einen affinen Unterraum der Form
mit zwei Vektoren , die kein Vielfaches voneinander sind, und einem Aufpunkt .
Es sei ein Körper und . Eine Abbildung
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
- für alle .
- für alle und .
Zu einer linearen Abbildung heißt
der Kern von .
Es sei ein Körper und seien . Zu einer linearen Abbildung
heißt die - Matrix
wobei die -te Koordinate von bezüglich der Standardbasis des ist, die beschreibende Matrix zu (bezüglich der Standardbasen).
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann heißt invertierbar, wenn es eine weitere Matrix mit
gibt.
Es sei ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix heißt die Matrix mit
die inverse Matrix von . Man schreibt dafür
Es sei ein Körper und sei eine - Matrix über . Dann nennt man die folgenden Manipulationen an elementare Zeilenumformungen.
- Vertauschung von zwei Zeilen.
- Multiplikation einer Zeile mit .
- Addition des -fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
Es sei ein Körper. Mit bezeichnen wir diejenige - Matrix, die an der Stelle den Wert und sonst überall den Wert hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
- .
- .
- .
Es seien und Mengen. Eine Relation zwischen den Mengen und ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .
Es seien und Mengen und es sei
eine Abbildung. Dann nennt man
den Graphen der Abbildung .
Eine Relation auf einer Menge ist eine Teilmenge der Produktmenge , also .
Eine Relation auf einer Menge heißt reflexiv, wenn für alle gilt.
Eine Relation auf einer Menge heißt transitiv, wenn aus und stets folgt.
Eine Relation auf einer Menge heißt symmetrisch, wenn aus stets folgt.
Eine Relation auf einer Menge heißt antisymmetrisch, wenn aus und stets folgt.
Eine Relation auf einer Menge heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist für alle .
- Aus und folgt stets .
- Aus und folgt .
Eine Ordnungsrelation auf einer Menge heißt lineare Ordnung (oder totale Ordnung), wenn zu je zwei Elementen die Beziehung oder gilt.
Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine Relation , die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ).
- Es ist (reflexiv).
- Aus folgt (symmetrisch).
- Aus und folgt (transitiv).
Dabei bedeutet , dass das Paar zu gehört.
Es sei eine Äquivalenzrelation und . Dann ist
die Äquivalenzklasse von bezüglich .
Es sei eine Äquivalenzrelation auf einer Menge . Eine Teilmenge heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element in aus dieser Klasse gibt.
Sei eine Äquivalenzrelation. Dann heißt
die Quotientenmenge von .
Es sei eine Äquivalenzrelation und die Quotientenmenge. Die Abbildung
heißt kanonische Projektion von .
Es seien und Gruppen. Eine Abbildung
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
für alle gilt.
Es seien und Ringe. Eine Abbildung
heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:
- .
- .
- .
Es sei eine kommutative Gruppe und eine Untergruppe. Für Elemente setzen wir (und sagen, dass und äquivalent sind), wenn .
Es sei eine kommutative Gruppe und eine Untergruppe. Die Quotientenmenge
mit der aufgrund von Satz 41.5 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von modulo . Die Elemente heißen Restklassen. Für eine Restklasse heißt jedes Element mit ein Repräsentant von .
Eine Teilmenge eines kommutativen Ringes heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
- .
- Für alle ist auch .
- Für alle und ist auch .
In einem kommutativen Halbring nennt man zu und einem Element ein Element mit
eine -te Wurzel von .
Es sei ein angeordneter Körper. Zu , , nennt man
das abgeschlossene Intervall.
das offene Intervall.
das linksseitig offene Intervall.
das rechtsseitig offene Intervall.
Es sei eine Menge. Eine Abbildung
nennt man auch eine Folge in . Eine Folge wird häufig in der Form
geschrieben.
Es sei eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei . Man sagt, dass die Folge gegen konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Beziehung
gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.
Eine Folge in einem angeordneten Körper, die gegen konvergiert, heißt Nullfolge.
Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in . Die Folge heißt beschränkt, wenn es ein Element mit
gibt.
Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge in heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem , , gibt es ein derart, dass für alle die Abschätzung
gilt.
Es sei ein angeordneter Körper und sei eine Folge in . Zu jeder streng wachsenden Abbildung , , heißt die Folge
eine Teilfolge der Folge.
Ein angeordneter Körper heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in konvergiert (also in einen Grenzwert besitzt).
Der Restklassenring des Ringes der rationalen Cauchy-Folgen modulo des Ideals der Nullfolgen heißt Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen.
Eine Zahl mit heißt eine irrationale Zahl.
Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen
in heißt eine Intervallschachtelung, wenn für alle ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
gegen konvergiert.
Unter einem Dedekindschen Schnitt versteht man ein Paar bestehend aus Teilmengen der rationalen Zahlen, die folgende Eigenschaften erfüllen.
- und sind nicht leer.
d.h. es liegt eine Zerlegung der Menge aller rationalen Zahlen in zwei Teilmengen vor.
- Für jedes und jedes ist .
- Zu gibt es ein mit .
Zu zwei nichtnegativen reellen Zahlen und heißt
das geometrische Mittel.
Die reelle Zahl
heißt Eulersche Zahl.
Der Polynomring über einem Körper besteht aus allen Polynomen
mit , , und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
definiert ist.
Der Grad eines von verschiedenen Polynoms
mit ist .
Ein Polynom
über einem Körper heißt normiert, wenn ist.
Es sei ein Körper. Man sagt, dass ein Polynom ein Polynom teilt, wenn es ein Polynom mit
gibt.
Es sei ein Körper. Zu Polynomen , , heißt die Funktion
wobei das Komplement der Nullstellen von ist, eine rationale Funktion.
Es sei eine Teilmenge,
eine Funktion und . Man sagt, dass stetig im Punkt ist, wenn es zu jedem ein derart gibt, dass für alle mit die Abschätzung gilt. Man sagt, dass stetig ist, wenn sie in jedem Punkt stetig ist.
Zu und mit () setzt man
Es sei eine positive reelle Zahl. Die Funktion
heißt Exponentialfunktion zur Basis .
Zu einer positiven reellen Zahl , , wird der Logarithmus zur Basis als Umkehrfunktion zur reellen Exponentialfunktion zur Basis definiert. Der Wert dieser Funktion an der Stelle wird mit
bezeichnet.
Es sei und . Dann nennt man die Menge
den Kreis (oder die Kreislinie oder die -Sphäre) mit dem Mittelpunkt und dem Radius .
Die Menge
heißt der Einheitskreis.
Unter der Zahl versteht man die Hälfte des Kreisumfanges des Einheitskreises.
Der durch einen Kreisbogen der Länge definierte Winkel heißt Winkel im Bogenmaß.
Zu einem Winkel (im Bogenmaß) nennt man denjenigen Punkt auf dem Einheitskreis, den man erreicht, wenn man sich auf dem Kreis in startend gegen der Uhrzeigersinn auf dem Kreisbogen lange bewegt, den trigonometrischen Punkt zu diesem Winkel.
Zu einem Winkel versteht man unter die erste Koordinate des trigonometrischen Punktes .
Zu einem Winkel versteht man unter die zweite Koordinate des trigonometrischen Punktes .
Eine lineare Abbildung
die durch eine Drehmatrix (mit einem ) gegeben ist, heißt Drehung.
Für heißt
die Kosinusreihe zu .
Für heißt
die Sinusreihe zu .
Zu einer endlichen Menge nennt man eine Abbildung
mit
eine (diskrete) Wahrscheinlichkeitsdichte auf .
Auf einer endlichen Menge sei eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte gegeben. Dann nennt man jede Teilmenge ein Ereignis und man nennt
die Wahrscheinlichkeit von .
Eine endliche Menge zusammen mit einer fixierten diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte und mit der Potenzmenge aller Ereignisse nennt man einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum.
Auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum heißt die Abbildung
ein endliches Wahrscheinlichkeitsmaß.
Es sei . Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte auf mit
und
heißt Bernoulli-Verteilung.
Es sei eine endliche Menge. Dann nennt man die Wahrscheinlichkeitsdichte
die jedem Element den konstanten Wert zuweist, die Laplace-Dichte auf . Die Menge versehen mit dieser Dichte heißt Laplace-Raum.
Es seien endliche Wahrscheinlichkeitsräume mit zugehörigen Dichten . Dann nennt man die Produktmenge zusammen mit der durch
gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichte den Produktraum der Wahrscheinlichkeitsräume.
Es sei und . Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte auf mit
heißt Binomialverteilung zur Stichprobenlänge und zur Erfolgswahrscheinlichkeit .
Zwei Ereignisse und in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum heißen unabhängig, wenn
ist.
Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum gegeben. Die Ereignisse
heißen paarweise unabhängig, wenn
für alle ist.
Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum gegeben. Die Ereignisse heißen vollständig unabhängig, wenn für jedes , , und jede -elementige Teilmenge die Gleichheit
gilt.
Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und eine Teilmenge mit positiver Wahrscheinlichkeit. Dann nennt man zu jedem Ereignis die Zahl
die bedingte Wahrscheinlichkeit von unter der Bedingung .