Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Definitionsabfrage
Es sei ein
Körper und
.
Dann nennt man
eine
(homogene)
lineare Gleichung in den Variablen zu den Koeffizienten
,
.
Ein Tupel
heißt Lösung der linearen Gleichung, wenn
ist.
Wenn
ein weiteres Element ist, so heißt
eine inhomogene lineare Gleichung und ein Tupel heißt Lösung der inhomogenen linearen Gleichung, wenn
ist.
Es sei ein
Körper und
für
und
.
Dann nennt man
ein
(homogenes)
lineares Gleichungssystem in den Variablen . Ein Tupel
heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn
für alle
ist.
Wenn
beliebig
ist, so heißt
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel
heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn
für alle
ist.
Es sei ein
Körper und seien zwei
(inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
Zu Vektoren im
und Skalaren
nennt man
eine Linearkombination dieser Vektoren.
Die Vektoren im
heißen ein
Erzeugendensystem
des
, wenn man jeden Vektor
als eine
Linearkombination
mit den Vektoren
schreiben kann, wenn es also Skalare
mit
gibt.
Die Vektoren im
heißen eine
Basis
des
, wenn man jeden Vektor
eindeutig als eine
Linearkombination
mit den Vektoren
schreiben kann, wenn es also eindeutig bestimmte Skalare
mit
gibt.
Es sei ein
Körper und
.
Unter einer
-Matrix
über
versteht man ein Schema der Form
wobei
für
und
ist.
Es sei ein
Körper und es sei
eine
-
Matrix
und
eine
-Matrix über
. Dann ist das Matrixprodukt
diejenige -Matrix, deren Einträge durch
gegeben sind.
Die
-
Matrix
nennt man die Einheitsmatrix.
Eine
-
Matrix
der Form
nennt man Diagonalmatrix.
Es sei ein
Körper und
.
Eine Teilmenge
heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
- Es ist
.
- Mit
ist auch
.
- Mit
und
ist auch
.
Es sei ein
Körper und
.
Eine Teilmenge
heißt
affiner Unterraum, wenn
(
leer ist oder)
es einen
Untervektorraum
und einen Punkt
mit
gibt.
Unter einer
Geraden (in Punktvektorform)
versteht man einen
affinen Unterraum
der Form
mit einem von verschiedenen Vektor
und einem Aufpunkt
.
Unter einer
Ebene
(in Punktvektorform oder Parameterform)
versteht man einen
affinen Unterraum
der Form
mit zwei Vektoren
,
die kein Vielfaches voneinander
sind, und einem Aufpunkt
.