Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Definitionsabfrage

Definition:(In)homogene lineare Gleichung

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$. Dann nennt man

${}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\,$

eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ zu den Koeffizienten ${}a_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n$. Ein Tupel ${}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung der linearen Gleichung, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\xi _{j}=0$ ist.

Wenn ${}c\in K$ ein weiteres Element ist, so heißt

${}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=c\,$

eine inhomogene lineare Gleichung und ein Tupel ${}(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung der inhomogenen linearen Gleichung, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\zeta _{j}=c$ ist.

Definition:Lineares Gleichungssystem

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a_{ij}\in K$ für ${}1\leq i\leq m$ und ${}1\leq j\leq n$. Dann nennt man

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$. Ein Tupel ${}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\xi _{j}=0$ für alle ${}i=1,\ldots ,m$ ist.

Wenn ${}(c_{1},\ldots ,c_{m})\in K^{m}$ beliebig ist, so heißt

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel ${}(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\zeta _{j}=c_{i}$ für alle ${}i$ ist.

Definition:Äquivalente lineare Gleichungssysteme

Es sei ${}K$ ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.

Definition:Linearkombination

Zu Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ im ${}K^{m}$ und Skalaren ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ nennt man

$\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}$

eine Linearkombination dieser Vektoren.

Definition:Erzeugendensystem

Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ im ${}K^{m}$ heißen ein Erzeugendensystem des ${}K^{m}$, wenn man jeden Vektor ${}w\in K^{m}$ als eine Linearkombination mit den Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann, wenn es also Skalare ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ mit

${}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$

gibt.

Definition:Basis

Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ im ${}K^{m}$ heißen eine Basis des ${}K^{m}$, wenn man jeden Vektor ${}w\in K^{m}$ eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann, wenn es also eindeutig bestimmte Skalare ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ mit

${}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$

gibt.

Definition:Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m,n\in \mathbb {N} _{+}$. Unter einer ${}m\times n$-Matrix über ${}K$ versteht man ein Schema der Form

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$

wobei ${}a_{ij}\in K$ für ${}1\leq i\leq m$ und ${}1\leq j\leq n$ ist.

Definition:Matrizenmultiplikation

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix über ${}K$. Dann ist das Matrixprodukt

$AB$

diejenige ${}m\times p$-Matrix, deren Einträge durch

${}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$

gegeben sind.

Definition:Einheitsmatrix

Die ${}n\times n$- Matrix

${}E_{n}:={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,$

nennt man die Einheitsmatrix.

Definition:Diagonalmatrix

Eine ${}n\times n$- Matrix der Form

${\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}$

nennt man Diagonalmatrix.

Definition:Untervektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Eine Teilmenge ${}U\subseteq K^{n}$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

1. Es ist ${}0\in U$.
2. Mit ${}u,v\in U$ ist auch ${}u+v\in U$.
3. Mit ${}u\in U$ und ${}s\in K$ ist auch ${}su\in U$.

Definition:Affiner Unterraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Eine Teilmenge ${}S\subseteq K^{n}$ heißt affiner Unterraum, wenn (${}S$ leer ist oder) es einen Untervektorraum ${}U\subseteq K^{n}$ und einen Punkt ${}P\in K^{n}$ mit

${}S=P+U={\left\{P+v\mid v\in U\right\}}\,$

gibt.

Definition:Gerade

Unter einer Geraden (in Punktvektorform) versteht man einen affinen Unterraum ${}G\subseteq K^{n}$ der Form

${}G=P+Kv={\left\{P+sv\mid s\in K\right\}}\,$

mit einem von ${}0$ verschiedenen Vektor ${}v\in K^{n}$ und einem Aufpunkt ${}P\in K^{n}$.

Definition:Ebene

Unter einer Ebene (in Punktvektorform oder Parameterform) versteht man einen affinen Unterraum ${}E\subseteq K^{n}$ der Form

${}E=P+Kv+Kw={\left\{P+sv+tw\mid s,t\in K\right\}}\,$

mit zwei Vektoren ${}v,w\in K^{n}$, die kein Vielfaches voneinander sind, und einem Aufpunkt ${}P\in K^{n}$.

Definition:Lineare Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m,n\in \mathbb {N}$. Eine Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1. ${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$ für alle ${}u,v\in K^{n}$.
2. ${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$ für alle ${}s\in K$ und ${}v\in K^{n}$.

Definition:Kern einer linearen Abbildung

Zu einer linearen Abbildung ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ heißt

${}\operatorname {kern} \varphi ={\left\{x\in K^{n}\mid \varphi (x)=0\right\}}\,$

der Kern von ${}\varphi$.

Definition:Matrix zu linearer Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}m,n\in \mathbb {N}$. Zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

heißt die ${}m\times n$- Matrix

${}M=(a_{ij})_{ij}\,,$

wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis ${}e_{i}$ des ${}K^{m}$ ist, die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ (bezüglich der Standardbasen).

Definition:Invertierbare Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Dann heißt ${}M$ invertierbar, wenn es eine weitere Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

gibt.

Definition:Inverse Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ heißt die Matrix ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$ mit

${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

die inverse Matrix von ${}M$. Man schreibt dafür

$M^{-1}.$

Definition:Elementare Zeilenumformungen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix über ${}K$. Dann nennt man die folgenden Manipulationen an ${}M$ elementare Zeilenumformungen.

1. Vertauschung von zwei Zeilen.
2. Multiplikation einer Zeile mit ${}s\neq 0$.
3. Addition des ${}a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Definition:Elementarmatrizen

Es sei ${}K$ ein Körper. Mit ${}B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige ${}n\times n$- Matrix, die an der Stelle ${}(i,j)$ den Wert ${}1$ und sonst überall den Wert ${}0$ hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

1. ${}V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
2. ${}S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$.
3. ${}A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K$.

Definition:Relation

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen. Eine Relation ${}R$ zwischen den Mengen ${}M$ und ${}N$ ist eine Teilmenge der Produktmenge ${}M\times N$, also ${}R\subseteq M\times N$.

Definition:Graph einer Abbildung

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Dann nennt man

${}\Gamma =\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M\,$

den Graphen der Abbildung ${}F$.

Definition:Relation auf einer Menge

Eine Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge ${}M\times M$, also ${}R\subseteq M\times M$.

Definition:Reflexiv

Eine Relation ${}R\subseteq M\times M$ auf einer Menge ${}M$ heißt reflexiv, wenn ${}(x,x)\in R$ für alle ${}x\in M$ gilt.

Definition:Transitiv

Eine Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ heißt transitiv, wenn aus ${}xRy$ und ${}yRz$ stets ${}xRz$ folgt.

Definition:Symmetrisch

Eine Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ heißt symmetrisch, wenn aus ${}xRy$ stets ${}yRx$ folgt.

Definition:Antisymmetrisch

Eine Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ heißt antisymmetrisch, wenn aus ${}xRy$ und ${}yRx$ stets ${}x=y$ folgt.

Definition:Ordnungsrelation

Eine Relation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist ${}i\preccurlyeq i$ für alle ${}i\in I$.
2. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq k$ folgt stets ${}i\preccurlyeq k$.
3. Aus ${}i\preccurlyeq j$ und ${}j\preccurlyeq i$ folgt ${}i=j$.

Definition:Lineare Ordnung

Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ heißt lineare Ordnung (oder totale Ordnung), wenn zu je zwei Elementen ${}x,y\in I$ die Beziehung ${}x\preccurlyeq y$ oder ${}y\preccurlyeq x$ gilt.

Definition:Äquivalenzrelation

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ${}M$ ist eine Relation ${}R\subseteq M\times M$, die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ${}x,y,z\in M$).

1. Es ist ${}x\sim x$ (reflexiv).
2. Aus ${}x\sim y$ folgt ${}y\sim x$ (symmetrisch).
3. Aus ${}x\sim y$ und ${}y\sim z$ folgt ${}x\sim z$ (transitiv).

Dabei bedeutet ${}x\sim y$, dass das Paar ${}(x,y)$ zu ${}R$ gehört.

Definition:Äquivalenzklasse

Es sei ${}R\subseteq M\times M$ eine Äquivalenzrelation und ${}x\in M$. Dann ist

${}[x]:={\left\{y\in M\mid (x,y)\in R\right\}}\,$

die Äquivalenzklasse von ${}x$ bezüglich ${}R$.

Definition:Repräsentantensystem

Es sei ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ${}M$. Eine Teilmenge ${}T\subseteq M$ heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element in ${}T$ aus dieser Klasse gibt.

Definition:Quotientenmenge

Es sei ${}R\subseteq M\times M$ eine Äquivalenzrelation. Dann heißt

${}M/R:={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,$

die Quotientenmenge von ${}R$.

Definition:Kanonische Projektion

Es sei ${}R\subseteq M\times M$ eine Äquivalenzrelation und ${}M/R$ die Quotientenmenge. Die Abbildung

$q_{R}\colon M\longrightarrow M/R,\,x\longmapsto [x],$

heißt kanonische Projektion von ${}R$.

Definition:Gruppenhomomorphismus

Es seien ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$ Gruppen. Eine Abbildung

$\psi \colon G\longrightarrow H$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

${}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$

für alle ${}g,g'\in G$ gilt.

Definition:Ringhomomorphismus

Es seien ${}R$ und ${}S$ Ringe. Eine Abbildung

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

heißt Ringhomomorphismus , wenn folgende Eigenschaften gelten:

1. ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$.
2. ${}\varphi (1)=1$.
3. ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$.

Definition:Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe

Es sei ${}(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Für Elemente ${}x,y\in G$ setzen wir ${}x\sim _{H}y$ (und sagen, dass ${}x$ und ${}y$ äquivalent sind), wenn ${}x-y\in H$.

Definition:Restklassengruppe

Es sei ${}(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe und ${}H\subseteq G$ eine Untergruppe. Die Quotientenmenge

$G/H$

mit der aufgrund von Satz 41.5 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von ${}G$ modulo ${}H$. Die Elemente ${}[g]\in G/H$ heißen Restklassen. Für eine Restklasse ${}[g]$ heißt jedes Element ${}g'\in G$ mit ${}[g']=[g]$ ein Repräsentant von ${}[g]$.

Definition:Ideal

Eine Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1. ${}0\in {\mathfrak {a}}$.
2. Für alle ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$ ist auch ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$.
3. Für alle ${}a\in {\mathfrak {a}}$ und ${}r\in R$ ist auch ${}ra\in {\mathfrak {a}}$.

Definition:Wurzel

In einem kommutativen Halbring ${}R$ nennt man zu ${}k\in \mathbb {N} _{\geq 1}$ und einem Element ${}r\in R$ ein Element ${}x\in R$ mit

${}x^{k}=r\,$

eine ${}k$-te Wurzel von ${}r$.

Definition:Intervalle

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zu ${}a,b\in K$, ${}a\leq b$, nennt man

• ${}[a,b]={\left\{x\in K\mid a\leq x{\text{ und }}x\leq b\right\}}$

das abgeschlossene Intervall.

• ${}]a,b[={\left\{x\in K\mid a<x{\text{ und }}x<b\right\}}$

das offene Intervall.

• ${}]a,b]={\left\{x\in K\mid a<x{\text{ und }}x\leq b\right\}}$

das linksseitig offene Intervall.

• ${}[a,b[={\left\{x\in K\mid a\leq x{\text{ und }}x<b\right\}}$

das rechtsseitig offene Intervall.

Definition:Folge

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung

$\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n},$

nennt man auch eine Folge in ${}M$. Eine Folge wird häufig in der Form

${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

geschrieben.

Definition:Konvergenz einer Folge

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei ${}x\in K$. Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n\geq n_{0}$ die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.

Definition:Nullfolge

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper, die gegen ${}0$ konvergiert, heißt Nullfolge.

Definition:Beschränkte Folge

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$. Die Folge ${}x_{n}$ heißt beschränkt, wenn es ein Element ${}B\in K$ mit

$\vert {x_{n}}\vert \leq B{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$

gibt.

Definition:Cauchy-Folge

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein ${}n_{0}\in \mathbb {N}$ derart, dass für alle ${}n,m\geq n_{0}$ die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

Definition:Teilfolge

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$. Zu jeder streng wachsenden Abbildung ${}\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, ${}i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge

$i\mapsto x_{n_{i}}$

eine Teilfolge der Folge.

Definition:Vollständig angeordneter Körper

Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in ${}K$ konvergiert (also in ${}K$ einen Grenzwert besitzt).

Definition:Reelle Zahlen (Cauchy-Folgen-Modell)

Der Restklassenring ${}C/N$ des Ringes ${}C$ der rationalen Cauchy-Folgen modulo des Ideals ${}N$ der Nullfolgen heißt Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen.

Definition:Irrationale Zahl

Eine Zahl ${}x\in \mathbb {R}$ mit ${}x\notin \mathbb {Q}$ heißt eine irrationale Zahl.

Definition:Intervallschachtelung

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

$I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$

in ${}K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$ für alle ${}n\in \mathbb {N}$ ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

gegen ${}0$ konvergiert.

Definition:Dedekindscher Schnitt

Unter einem Dedekindschen Schnitt versteht man ein Paar ${}(A,B)$ bestehend aus Teilmengen der rationalen Zahlen, die folgende Eigenschaften erfüllen.

1. ${}A$ und ${}B$ sind nicht leer.

2. ${}A\uplus B=\mathbb {Q} \,,$

   d.h. es liegt eine Zerlegung der Menge aller rationalen Zahlen in zwei Teilmengen vor.

3. Für jedes ${}x\in A$ und jedes ${}y\in B$ ist ${}x<y$.
4. Zu ${}x\in A$ gibt es ein ${}x'\in A$ mit ${}x'>x$.

Definition:Geometrisches Mittel

Zu zwei nichtnegativen reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ heißt

${\sqrt {x\cdot y}}$

das geometrische Mittel.

Definition:Eulersche Zahl

Die reelle Zahl

${}e:=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$

heißt Eulersche Zahl.

Definition:Polynomring

Der Polynomring über einem Körper ${}K$ besteht aus allen Polynomen

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

mit ${}a_{i}\in K$, ${}n\in \mathbb {N}$, und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

definiert ist.

Definition:Grad eines Polynoms

Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

mit ${}a_{n}\neq 0$ ist ${}n$.

Definition:Leitkoeffizient

Zu einem von ${}0$ verschiedenen Polynom

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

mit ${}a_{n}\neq 0$ heißt ${}a_{n}$ der Leitkoeffizient von ${}P$.

Definition:Normiertes Polynom

Ein Polynom

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

über einem Körper ${}K$ heißt normiert, wenn ${}a_{n}=1$ ist.

Definition:Teilt (Polynomring)

Es sei ${}K$ ein Körper. Man sagt, dass ein Polynom ${}T\in K[X]$ ein Polynom ${}P\in K[X]$ teilt, wenn es ein Polynom ${}Q\in K[X]$ mit

${}P=TQ\,$

gibt.

Definition:Rationale Funktion

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu Polynomen ${}P,Q\in K[X]$, ${}Q\neq 0$, heißt die Funktion

$D\longrightarrow K,\,x\longmapsto {\frac {P(x)}{Q(x)}},$

wobei ${}D\subseteq K$ das Komplement der Nullstellen von ${}Q$ ist, eine rationale Funktion.

Definition:Stetige Funktion

Es sei ${}D\subseteq \mathbb {R}$ eine Teilmenge,

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion und ${}x\in D$. Man sagt, dass ${}f$ stetig im Punkt ${}x$ ist, wenn es zu jedem ${}\epsilon >0$ ein ${}\delta >0$ derart gibt, dass für alle ${}x'\in D$ mit ${}\vert {x-x'}\vert \leq \delta$ die Abschätzung ${}\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$ gilt. Man sagt, dass ${}f$ stetig ist, wenn sie in jedem Punkt ${}x\in D$ stetig ist.

Definition:Rationale Exponentschreibweise

Zu ${}b\in \mathbb {R} _{+}$ und ${}q\in \mathbb {Q}$ mit ${}q={\frac {r}{s}}$ (${}s>0$) setzt man

${}b^{q}=b^{\frac {r}{s}}:={\sqrt[{s}]{b^{r}}}\,.$

Definition:Reelle Exponentialfunktion zu einer Basis

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

heißt Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.

Definition:Logarithmus zu einer Basis

Zu einer positiven reellen Zahl ${}b>0$, ${}b\neq 1$, wird der Logarithmus zur Basis ${}b$ als Umkehrfunktion zur reellen Exponentialfunktion zur Basis ${}b$ definiert. Der Wert dieser Funktion an der Stelle ${}x\in \mathbb {R} _{+}$ wird mit

$\log _{b}x$

bezeichnet.

Definition:Kreis

Es sei ${}M=(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$ und ${}r\in \mathbb {R} _{+}$. Dann nennt man die Menge

${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\right\}}$

den Kreis (oder die Kreislinie oder die ${}1$-Sphäre) mit dem Mittelpunkt ${}M$ und dem Radius ${}r$.

Definition:Der Einheitskreis

Die Menge

${}E:={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$

heißt der Einheitskreis.

Definition:${}\pi$

Unter der Zahl ${}\pi$ versteht man die Hälfte des Kreisumfanges des Einheitskreises.

Definition:Winkel im Bogenmaß

Der durch einen Kreisbogen der Länge ${}\alpha \in [0,2\pi ]$ definierte Winkel heißt Winkel im Bogenmaß.

Definition:Trigonometrischer Punkt

Zu einem Winkel ${}\alpha$ (im Bogenmaß) nennt man denjenigen Punkt auf dem Einheitskreis, den man erreicht, wenn man sich auf dem Kreis in ${}(1,0)$ startend gegen der Uhrzeigersinn auf dem Kreisbogen ${}\alpha$ lange bewegt, den trigonometrischen Punkt ${}P(\alpha )$ zu diesem Winkel.

Definition:Kosinus

Zu einem Winkel ${}\alpha$ versteht man unter ${}\cos \alpha$ die erste Koordinate des trigonometrischen Punktes ${}P(\alpha )$.

Definition:Sinus

Zu einem Winkel ${}\alpha$ versteht man unter ${}\sin \alpha$ die zweite Koordinate des trigonometrischen Punktes ${}P(\alpha )$.

Definition:Ebene Drehung

Eine lineare Abbildung

$D(\alpha )\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

die durch eine Drehmatrix ${}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ (mit einem ${}\alpha \in \mathbb {R}$) gegeben ist, heißt Drehung.

Definition:Kosinusreihe

Für ${}x\in \mathbb {R}$ heißt

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$

die Kosinusreihe zu ${}x$.

Definition:Sinusreihe

Für ${}x\in \mathbb {R}$ heißt

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

die Sinusreihe zu ${}x$.

Definition:Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte

Zu einer endlichen Menge ${}M$ nennt man eine Abbildung

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto f(x),$

mit

${}\sum _{x\in M}f(x)=1\,$

eine (diskrete) Wahrscheinlichkeitsdichte auf ${}M$.

Definition:Ereignis (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)

Auf einer endlichen Menge ${}M$ sei eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq }$ gegeben. Dann nennt man jede Teilmenge ${}E\subseteq M$ ein Ereignis und man nennt

${}\mu _{f}(E):=\sum _{x\in E}f(x)\,$

die Wahrscheinlichkeit von ${}E$.

Definition:Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum

Eine endliche Menge ${}M$ zusammen mit einer fixierten diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ und mit der Potenzmenge aller Ereignisse nennt man einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum.

Definition:Endliches Wahrscheinlichkeitsmaß

Auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ${}(M,f)$ heißt die Abbildung

$\mu _{f}\colon {\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,E\longmapsto \mu _{f}(E)=\sum _{x\in E}f(x),$

ein endliches Wahrscheinlichkeitsmaß.

Definition:Bernoulli-Verteilung

Es sei ${}p\in [0,1]$. Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte ${}f_{p}$ auf ${}M=\{0,1\}$ mit

${}f_{p}(1)=p\,$

und

${}f_{p}(0)=1-p\,$

heißt Bernoulli-Verteilung.

Definition:Laplace-Raum

Es sei ${}M$ eine endliche Menge. Dann nennt man die Wahrscheinlichkeitsdichte

$\lambda \colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$

die jedem Element ${}x\in M$ den konstanten Wert ${}{\frac {1}{\#\left(M\right)}}$ zuweist, die Laplace-Dichte auf ${}M$. Die Menge ${}M$ versehen mit dieser Dichte heißt Laplace-Raum.

Definition:Produkt von Wahrscheinlichkeitsräumen

Es seien ${}(M_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},\mu _{n})$ endliche Wahrscheinlichkeitsräume mit zugehörigen Dichten ${}f_{i}$. Dann nennt man die Produktmenge ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ zusammen mit der durch

${}f(x_{1},\ldots ,x_{n}):=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n})\,$

gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichte den Produktraum der Wahrscheinlichkeitsräume.

Definition:Binomialverteilung

Es sei ${}p\in [0,1]$ und ${}n\in \mathbb {N}$. Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte ${}B_{p,n}$ auf ${}M=\{0,1,\ldots ,n\}$ mit

${}B_{p,n}(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\,$

heißt Binomialverteilung zur Stichprobenlänge ${}n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit ${}p$.

Definition:Unabhängige Ereignisse

Zwei Ereignisse ${}E$ und ${}F$ in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ${}(M,P)$ heißen unabhängig, wenn

${}P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)\,$

ist.

Definition:Paarweise unabhängige Ereignisse

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum ${}(M,P)$ gegeben. Die Ereignisse

${}E_{1},\ldots ,E_{k}\subseteq M\,$

heißen paarweise unabhängig, wenn

${}P(E_{i}\cap E_{j})=P(E_{i})\cdot P(E_{j})\,$

für alle ${}i\neq j$ ist.

Definition:Vollständig unabhängige Ereignisse

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum ${}(M,P)$ gegeben. Die Ereignisse ${}E_{1},\ldots ,E_{k}\subseteq M$ heißen vollständig unabhängig, wenn für jedes ${}r$, ${}2\leq r\leq k$, und jede ${}r$-elementige Teilmenge ${}I\subseteq \{1,\ldots ,k\}$ die Gleichheit

${}P{\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)}=\prod _{i\in I}P(E_{i})\,$

gilt.

Definition:Bedingte Wahrscheinlichkeit

Es sei ${}(M,P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und ${}B\subseteq M$ eine Teilmenge mit positiver Wahrscheinlichkeit. Dann nennt man zu jedem Ereignis ${}E\subseteq M$ die Zahl

${}P(E{|}B)={\frac {P(E\cap B)}{P(B)}}\,$

die bedingte Wahrscheinlichkeit von ${}E$ unter der Bedingung ${}B$.