Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Definitionsabfrage
Es sei ein
Körper und
.
Dann nennt man
eine
(homogene)
lineare Gleichung in den Variablen zu den Koeffizienten
,
.
Ein Tupel
heißt Lösung der linearen Gleichung, wenn
ist.
Wenn
ein weiteres Element ist, so heißt
eine inhomogene lineare Gleichung und ein Tupel heißt Lösung der inhomogenen linearen Gleichung, wenn
ist.
Es sei ein
Körper und
für
und
.
Dann nennt man
ein
(homogenes)
lineares Gleichungssystem in den Variablen . Ein Tupel
heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn
für alle
ist.
Wenn
beliebig
ist, so heißt
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel
heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn
für alle
ist.
Es sei ein
Körper und seien zwei
(inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
Zu Vektoren im
und Skalaren
nennt man
eine Linearkombination dieser Vektoren.
Die Vektoren im
heißen ein
Erzeugendensystem
des
, wenn man jeden Vektor
als eine
Linearkombination
mit den Vektoren
schreiben kann, wenn es also Skalare
mit
gibt.
Die Vektoren im
heißen eine
Basis
des
, wenn man jeden Vektor
eindeutig als eine
Linearkombination
mit den Vektoren
schreiben kann, wenn es also eindeutig bestimmte Skalare
mit
gibt.
Es sei ein
Körper und
.
Unter einer
-Matrix
über
versteht man ein Schema der Form
wobei
für
und
ist.
Es sei ein
Körper und es sei
eine
-
Matrix
und
eine
-Matrix über
. Dann ist das Matrixprodukt
diejenige -Matrix, deren Einträge durch
gegeben sind.
Die
-
Matrix
nennt man die Einheitsmatrix.
Eine
-
Matrix
der Form
nennt man Diagonalmatrix.
Es sei ein
Körper und
.
Eine Teilmenge
heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
- Es ist
.
- Mit
ist auch
.
- Mit
und
ist auch
.
Es sei ein
Körper und
.
Eine Teilmenge
heißt
affiner Unterraum, wenn
(
leer ist oder)
es einen
Untervektorraum
und einen Punkt
mit
gibt.
Unter einer
Geraden (in Punktvektorform)
versteht man einen
affinen Unterraum
der Form
mit einem von verschiedenen Vektor
und einem Aufpunkt
.
Unter einer
Ebene
(in Punktvektorform oder Parameterform)
versteht man einen
affinen Unterraum
der Form
mit zwei Vektoren
,
die kein Vielfaches voneinander
sind, und einem Aufpunkt
.
Es sei ein Körper und
.
Eine
Abbildung
heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.
für alle
.
für alle
und
.
Zu einer
linearen Abbildung
heißt
der
Kern
von .
Es sei ein
Körper und seien
. Zu einer
linearen Abbildung
heißt die
-
Matrix
wobei die
-te
Koordinate
von
bezüglich der Standardbasis
des
ist, die beschreibende Matrix zu
(bezüglich der Standardbasen).
Es sei ein
Körper und sei
eine
-
Matrix
über
. Dann heißt
invertierbar, wenn es eine weitere Matrix
mit
gibt.
Es sei ein
Körper. Zu einer
invertierbaren Matrix
heißt die Matrix
mit
die inverse Matrix von . Man schreibt dafür
Es sei ein
Körper und sei
eine
-
Matrix
über
. Dann nennt man die folgenden Manipulationen an
elementare Zeilenumformungen.
- Vertauschung von zwei Zeilen.
- Multiplikation einer Zeile mit
.
- Addition des
-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.
Es sei ein
Körper. Mit
bezeichnen wir diejenige
-
Matrix,
die an der Stelle
den Wert
und sonst überall den Wert
hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.
.
.
.
Es seien und
Mengen. Eine Relation
zwischen den Mengen
und
ist eine
Teilmenge
der
Produktmenge
, also
.
Es seien
und
Mengen und es sei
eine Abbildung. Dann nennt man
den Graphen der Abbildung .
Eine Relation auf einer Menge
ist eine Teilmenge der Produktmenge
, also
.
Eine
Relation
auf einer Menge
heißt
reflexiv,
wenn
für alle
gilt.
Eine
Relation
auf einer Menge
heißt
transitiv,
wenn aus
und
stets
folgt.
Eine
Relation
auf einer Menge
heißt
symmetrisch,
wenn aus
stets
folgt.
Eine
Relation
auf einer Menge
heißt
antisymmetrisch,
wenn aus
und
stets
folgt.
Eine
Relation
auf einer Menge
heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.
- Es ist
für alle
.
- Aus
und
folgt stets
.
- Aus
und
folgt
.
Eine
Ordnungsrelation
auf einer Menge
heißt lineare Ordnung
(oder totale Ordnung),
wenn zu je zwei Elementen
die Beziehung
oder
gilt.
Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ist eine
Relation
,
die die folgenden drei Eigenschaften besitzt
(für beliebige
).
- Es ist
(reflexiv).
- Aus
folgt
(symmetrisch).
- Aus
und
folgt
(transitiv).
Dabei bedeutet
,
dass das Paar
zu
gehört.
Es sei
eine
Äquivalenzrelation
und
.
Dann ist
die Äquivalenzklasse von bezüglich
.
Es sei eine
Äquivalenzrelation
auf einer Menge
. Eine Teilmenge
heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede
Äquivalenzklasse
genau ein Element in
aus dieser Klasse gibt.
Es sei
eine
Äquivalenzrelation.
Dann heißt
die Quotientenmenge von .
Es sei
eine
Äquivalenzrelation
und
die
Quotientenmenge.
Die Abbildung
heißt kanonische Projektion von .
Es seien
und
Gruppen.
Eine
Abbildung
heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit
für alle
gilt.
Es seien
und
Ringe.
Eine
Abbildung
heißt Ringhomomorphismus , wenn folgende Eigenschaften gelten:
.
-
.
.
Es sei eine
kommutative Gruppe
und
eine
Untergruppe.
Für Elemente
setzen wir
(und sagen, dass
und
äquivalent sind),
wenn
.
Es sei eine
kommutative Gruppe
und
eine
Untergruppe.
Die
Quotientenmenge
mit der aufgrund von
Satz 41.5
eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von modulo
. Die Elemente
heißen Restklassen. Für eine Restklasse
heißt jedes Element
mit
ein Repräsentant von
.
Eine Teilmenge eines
kommutativen Ringes
heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:
-
.
- Für alle
ist auch
.
- Für alle
und
ist auch
.
In einem
kommutativen Halbring
nennt man zu
und einem Element
ein Element
mit
eine -te
Wurzel
von
.
Es sei ein
angeordneter Körper.
Zu
,
,
nennt man
das abgeschlossene Intervall.
das offene Intervall.
das linksseitig offene Intervall.
das rechtsseitig offene Intervall.
Es sei eine Menge. Eine
Abbildung
nennt man auch eine Folge in . Eine Folge wird häufig in der Form
geschrieben.
Es sei eine
Folge
in einem
angeordneten Körper
und es sei
.
Man sagt, dass die Folge gegen
konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.
Zu jedem
,
,
gibt es ein
derart, dass für alle
die Beziehung
gilt. In diesem Fall heißt der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch
Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.
Eine
Folge
in einem
angeordneten Körper,
die gegen
konvergiert,
heißt Nullfolge.
Es sei ein
angeordneter Körper
und sei
eine
Folge
in
. Die Folge
heißt beschränkt, wenn es ein Element
mit
gibt.
Es sei ein
angeordneter Körper.
Eine
Folge
in
heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.
Zu jedem
,
,
gibt es ein
derart, dass für alle
die Abschätzung
gilt.
Es sei ein
angeordneter Körper
und sei
eine
Folge
in
. Zu jeder
streng wachsenden
Abbildung
,
,
heißt die Folge
eine Teilfolge der Folge.
Ein
angeordneter Körper
heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede
Cauchy-Folge
in
konvergiert
(also in
einen Grenzwert besitzt).
Der
Restklassenring
des Ringes
der rationalen
Cauchy-Folgen
modulo des Ideals
der Nullfolgen heißt
Cauchy-Folgen-Modell
der reellen Zahlen.
Eine Zahl
mit
heißt eine irrationale Zahl.
Es sei ein angeordneter Körper. Eine Folge von abgeschlossenen
Intervallen
in heißt eine Intervallschachtelung, wenn
für alle
ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also
gegen
konvergiert.
Unter einem
Dedekindschen Schnitt
versteht man ein Paar bestehend aus Teilmengen der rationalen Zahlen, die folgende Eigenschaften erfüllen.
und
sind nicht leer.
d.h. es liegt eine Zerlegung der Menge aller rationalen Zahlen in zwei Teilmengen vor.
-
- Für jedes
und jedes
ist
.
- Zu
gibt es ein
mit
.
Zu zwei nichtnegativen
reellen Zahlen
und
heißt
das geometrische Mittel.
Die reelle Zahl
heißt Eulersche Zahl.
Der Polynomring über einem
Körper
besteht aus allen Polynomen
mit
,
,
und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel
definiert ist.
Der Grad eines von verschiedenen Polynoms
mit
ist
.
Ein Polynom
über einem
Körper
heißt normiert, wenn
ist.
Es sei ein
Körper. Man sagt, dass ein Polynom
ein Polynom
teilt,
wenn es ein Polynom
mit
gibt.
Es sei ein
Körper.
Zu
Polynomen
,
,
heißt die
Funktion
wobei
das
Komplement
der
Nullstellen
von
ist, eine rationale Funktion.
Es sei
eine Teilmenge,
eine
Funktion
und
. Man sagt, dass
stetig
im Punkt
ist, wenn es zu jedem
ein
derart gibt, dass für alle
mit
die Abschätzung
gilt. Man sagt, dass
stetig
ist, wenn sie in jedem Punkt
stetig ist.
Zu
und
mit
(
)
setzt man
Es sei eine positive
reelle Zahl.
Die
Funktion
heißt Exponentialfunktion zur Basis .
Zu einer positiven reellen Zahl
,
,
wird der
Logarithmus zur Basis
als
Umkehrfunktion
zur
reellen Exponentialfunktion
zur Basis
definiert. Der Wert dieser Funktion an der Stelle
wird mit
bezeichnet.
Es sei
und
.
Dann nennt man die Menge
den Kreis
(oder die Kreislinie oder die -Sphäre)
mit dem Mittelpunkt
und dem Radius
.
Die Menge
heißt der Einheitskreis.
Unter der Zahl versteht man die Hälfte des Kreisumfanges des
Einheitskreises.
Der durch einen Kreisbogen der Länge
definierte Winkel heißt
Winkel im Bogenmaß.
Zu einem Winkel
(im Bogenmaß)
nennt man denjenigen Punkt auf dem
Einheitskreis,
den man erreicht, wenn man sich auf dem Kreis in
startend gegen der Uhrzeigersinn auf dem Kreisbogen
lange bewegt, den trigonometrischen Punkt
zu diesem Winkel.
Zu einem Winkel versteht man unter
die erste Koordinate des
trigonometrischen Punktes
.
Zu einem Winkel versteht man unter
die zweite Koordinate des
trigonometrischen Punktes
.
Eine lineare Abbildung
die durch eine
Drehmatrix
(mit einem
) gegeben ist, heißt
Drehung.
Für
heißt
die Kosinusreihe zu .
Für
heißt
die Sinusreihe zu .
Zu einer
endlichen Menge
nennt man eine Abbildung
mit
eine
(diskrete)
Wahrscheinlichkeitsdichte
auf .
Auf einer endlichen Menge sei eine
diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte
gegeben. Dann nennt man jede Teilmenge
ein
Ereignis
und man nennt
die
Wahrscheinlichkeit
von .
Eine endliche Menge zusammen mit einer fixierten
diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte
und mit der
Potenzmenge
aller Ereignisse nennt man einen
endlichen Wahrscheinlichkeitsraum.
Auf einem
endlichen Wahrscheinlichkeitsraum
heißt die Abbildung
ein endliches Wahrscheinlichkeitsmaß.
Es sei
.
Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte
auf
mit
und
heißt Bernoulli-Verteilung.
Es sei eine
endliche Menge.
Dann nennt man die
Wahrscheinlichkeitsdichte
die jedem Element
den konstanten Wert
zuweist, die
Laplace-Dichte
auf
. Die Menge
versehen mit dieser Dichte heißt
Laplace-Raum.
Es seien
endliche Wahrscheinlichkeitsräume
mit zugehörigen Dichten
.
Dann nennt man die
Produktmenge
zusammen mit der durch
gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichte den Produktraum der Wahrscheinlichkeitsräume.
Es sei
und
.
Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte
auf
mit
heißt
Binomialverteilung
zur Stichprobenlänge und zur Erfolgswahrscheinlichkeit
.
Zwei Ereignisse
und
in einem
endlichen Wahrscheinlichkeitsraum
heißen
unabhängig,
wenn
ist.
Es sei ein
endlicher Wahrscheinlichkeitsraum
gegeben. Die Ereignisse
heißen paarweise unabhängig, wenn
für alle
ist.
Es sei ein
endlicher Wahrscheinlichkeitsraum
gegeben. Die Ereignisse
heißen
vollständig unabhängig,
wenn für jedes
,
,
und jede
-elementige Teilmenge
die Gleichheit
gilt.
Es sei ein
endlicher Wahrscheinlichkeitsraum
und
eine Teilmenge mit positiver Wahrscheinlichkeit. Dann nennt man zu jedem Ereignis
die Zahl
die
bedingte Wahrscheinlichkeit
von unter der Bedingung
.