Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Definitionsliste

Definition:(In)homogene lineare Gleichung

Es sei $K$ ein Körper und  $a_1,\dots ,a_n\in K$.  Dann nennt man

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=0$

eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen $x_1,\dots ,x_n$ zu den Koeffizienten $a_j$, $j=1,\dots ,n$. Ein Tupel $({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\in K^n$ heißt Lösung der linearen Gleichung, wenn  $\sum _{j=1}^n{a}_j{\xi }_j=0$  ist.

Wenn  $c\in K$  ein weiteres Element ist, so heißt

$a_1{x}_1+a_2{x}_2+\cdots +a_n{x}_n=c$

eine inhomogene lineare Gleichung und ein Tupel $({\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n)\in K^n$ heißt Lösung der inhomogenen linearen Gleichung, wenn  $\sum _{j=1}^n{a}_j{\zeta }_j=c$  ist.

Definition:Lineares Gleichungssystem

Es sei $K$ ein Körper und  $a_{ij}\in K$  für $1\le i\le m$ und $1\le j\le n$. Dann nennt man

$\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =& 0\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =& 0\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =& 0\end{array}$

ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen $x_1,\dots ,x_n$. Ein Tupel  $({\xi }_1,\dots ,{\xi }_n)\in K^n$  heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn  $\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\xi }_j=0$  für alle  $i=1,\dots ,m$  ist.

Wenn  $(c_1,\dots ,c_m)\in K^m$  beliebig ist, so heißt

$\begin{array}{ccc}{a}_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n& =& c_1\\ a_{21}{x}_1+a_{22}{x}_2+\cdots +a_{2n}{x}_n& =& c_2\\ ⋮& ⋮& ⋮\\ a_{m1}{x}_1+a_{m2}{x}_2+\cdots +a_{mn}{x}_n& =& c_m\end{array}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel  $({\zeta }_1,\dots ,{\zeta }_n)\in K^n$  heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn  $\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{\zeta }_j=c_i$  für alle $i$ ist.

Definition:Äquivalente lineare Gleichungssysteme

Es sei $K$ ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.

Definition:Linearkombination

Zu Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ im $K^m$ und Skalaren  $s_1,\dots ,s_n\in K$  nennt man

$\sum _{i=1}^n{s}_i{v}_i$

eine Linearkombination dieser Vektoren.

Definition:Erzeugendensystem

Die Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ im $K^m$ heißen ein Erzeugendensystem des $K^m$, wenn man jeden Vektor  $w\in K^m$  als eine Linearkombination mit den Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ schreiben kann, wenn es also Skalare  $s_1,\dots ,s_n\in K$  mit

$w=\sum _{i=1}^n{s}_i{v}_i$

gibt.

Definition:Basis

Die Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ im $K^m$ heißen eine Basis des $K^m$, wenn man jeden Vektor  $w\in K^m$  eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren $v_1,\dots ,v_n$ schreiben kann, wenn es also eindeutig bestimmte Skalare  $s_1,\dots ,s_n\in K$  mit

$w=\sum _{i=1}^n{s}_i{v}_i$

gibt.

Definition:Matrix

Es sei $K$ ein Körper und  $m,n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Unter einer $m\times n$-Matrix über $K$ versteht man ein Schema der Form

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \dots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \dots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \dots & a_{mn}\end{array}\right),$

wobei  $a_{ij}\in K$  für  $1\le i\le m$  und  $1\le j\le n$  ist.

Definition:Matrizenmultiplikation

Es sei $K$ ein Körper und es sei $A$ eine $m\times n$-Matrix und $B$ eine $n\times p$-Matrix über $K$. Dann ist das Matrixprodukt

$AB$

diejenige $m\times p$-Matrix, deren Einträge durch

$c_{ik}=\sum _{j=1}^n{a}_{ij}{b}_{jk}$

gegeben sind.

Definition:Einheitsmatrix

Die $n\times n$-Matrix

$E_n:=\left(\begin{array}{ccccc}1& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& 1& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& 1& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& 1\end{array}\right)$

nennt man die Einheitsmatrix.

Definition:Diagonalmatrix

Eine $n\times n$-Matrix der Form

$\left(\begin{array}{ccccc}{d}_{11}& 0& \cdots & \cdots & 0\\ 0& d_{22}& 0& \cdots & 0\\ ⋮& \ddots & \ddots & \ddots & ⋮\\ 0& \cdots & 0& d_{n-1n-1}& 0\\ 0& \cdots & \cdots & 0& d_{nn}\end{array}\right)$

nennt man Diagonalmatrix.

Definition:Untervektorraum

Es sei $K$ ein Körper und  $n\in \mathbb{N}$.  Eine Teilmenge  $U\subseteq K^n$  heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

1. Es ist  $0\in U$. 
2. Mit  $u,v\in U$  ist auch  $u+v\in U$. 
3. Mit  $u\in U$  und  $s\in K$  ist auch  $su\in U$. 

Definition:Affiner Unterraum

Es sei $K$ ein Körper und  $n\in {\mathbb{N}}_{+}$.  Eine Teilmenge  $S\subseteq K^n$  heißt affiner Unterraum, wenn ($S$ leer ist oder) es einen Untervektorraum  $U\subseteq K^n$  und einen Punkt  $P\in K^n$  mit

$S=P+U=\{P+v\mid v\in U\}$

gibt.

Definition:Gerade

Unter einer Geraden (in Punktvektorform) versteht man einen affinen Unterraum  $G\subseteq K^n$  der Form

$G=P+Kv=\{P+sv\mid s\in K\}$

mit einem von $0$ verschiedenen Vektor  $v\in K^n$  und einem Aufpunkt  $P\in K^n$. 

Definition:Ebene

Unter einer Ebene (in Punktvektorform oder Parameterform) versteht man einen affinen Unterraum  $E\subseteq K^n$  der Form

$E=P+Kv+Kw=\{P+sv+tw\mid s,t\in K\}$

mit zwei Vektoren  $v,w\in K^n$,  die keine Vielfachen voneinander sind, und einem Aufpunkt  $P\in K^n$. 

Definition:Lineare Abbildung

Es sei $K$ ein Körper und  $m,n\in \mathbb{N}$.  Eine Abbildung

$\phi :K^n⟶K^m$

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1.  $\phi (u+v)=\phi (u)+\phi (v)$  für alle  $u,v\in K^n$. 
2.  $\phi (sv)=s\phi (v)$  für alle $s\in K$ und $v\in K^n$.

Definition:Kern einer linearen Abbildung

Zu einer linearen Abbildung $\phi :K^n\to K^m$ heißt

$\mathrm{kern}\phi =\{x\in K^n\mid \phi (x)=0\}$

der Kern von $\phi$.

Definition:Matrix zu linearer Abbildung

Es sei $K$ ein Körper und seien $m,n\in \mathbb{N}$. Zu einer linearen Abbildung

$\phi :K^n⟶K^m$

heißt die $m\times n$-Matrix

$M=(a_{ij}{)}_{ij},$

wobei $a_{ij}$ die $i$-te Koordinate von $\phi (e_j)$ bezüglich der Standardbasis $e_i$ des $K^m$ ist, die beschreibende Matrix zu $\phi$ (bezüglich der Standardbasen).

Definition:Invertierbare Matrix

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $n\times n$-Matrix über $K$. Dann heißt $M$ invertierbar, wenn es eine weitere Matrix  $A\in {\mathrm{Mat}}_n(K)$  mit

$A\circ M=E_n=M\circ A$

gibt.

Definition:Inverse Matrix

Es sei $K$ ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix  $M\in {\mathrm{Mat}}_n(K)$  heißt die Matrix  $A\in {\mathrm{Mat}}_n(K)$  mit

$A\circ M=E_n=M\circ A$

die inverse Matrix von $M$. Man schreibt dafür

$M^{-1}.$

Definition:Elementare Zeilenumformungen

Es sei $K$ ein Körper und sei $M$ eine $m\times n$-Matrix über $K$. Dann nennt man die folgenden Manipulationen an $M$ elementare Zeilenumformungen.

1. Vertauschung von zwei Zeilen.
2. Multiplikation einer Zeile mit  $s\ne 0$. 
3. Addition des $a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Definition:Elementarmatrizen

Es sei $K$ ein Körper. Mit $B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige $n\times n$-Matrix, die an der Stelle $(i,j)$ den Wert $1$ und sonst überall den Wert $0$ hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

1. $V_{ij}:=E_n-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
2. $S_k(s):=E_n+(s-1)B_{kk}\text{ für }s\ne 0$.
3. $A_{ij}(a):=E_n+a{B}_{ij}\text{ für }i\ne j\text{ und }a\in K$.

Definition:Relation

Es seien $M$ und $N$ Mengen. Eine Relation $R$ zwischen den Mengen $M$ und $N$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times N$, also  $R\subseteq M\times N$. 

Definition:Graph einer Abbildung

Es seien $L$ und $M$ Mengen und es sei

$F:L⟶M$

eine Abbildung. Dann nennt man

$\mathrm{\Gamma }={\mathrm{\Gamma }}_F=\{(x,F(x))\mid x\in L\}\subseteq L\times M$

den Graphen der Abbildung $F$.

Definition:Relation auf einer Menge

Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge $M\times M$, also  $R\subseteq M\times M$. 

Definition:Reflexive Relation

Eine Relation  $R\subseteq M\times M$  auf einer Menge $M$ heißt reflexiv, wenn  $(x,x)\in R$  für alle  $x\in M$  gilt.

Definition:Transitive Relation

Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ heißt transitiv, wenn aus $xRy$ und $yRz$ stets $xRz$ folgt.

Definition:Symmetrische Relation

Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ heißt symmetrisch, wenn aus $xRy$ stets $yRx$ folgt.

Definition:Antisymmetrisch

Eine Relation $R$ auf einer Menge $M$ heißt antisymmetrisch, wenn aus $xRy$ und $yRx$ stets $x=y$ folgt.

Definition:Ordnungsrelation

Eine Relation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn die drei folgenden Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist  $i\preccurlyeq i$  für alle  $i\in I$. 
2. Aus  $i\preccurlyeq j$  und  $j\preccurlyeq k$  folgt stets  $i\preccurlyeq k$. 
3. Aus  $i\preccurlyeq j$  und  $j\preccurlyeq i$  folgt  $i=j$. 

Definition:Lineare Ordnung

Eine Ordnungsrelation $\preccurlyeq$ auf einer Menge $I$ heißt lineare Ordnung (oder totale Ordnung), wenn zu je zwei Elementen  $x,y\in I$  die Beziehung $x\preccurlyeq y$ oder $y\preccurlyeq x$ gilt.

Definition:Äquivalenzrelation

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge $M$ ist eine Relation  $R\subseteq M\times M$,  die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige $x,y,z\in M$).

1. Es ist  $x\sim x$  (reflexiv).
2. Aus  $x\sim y$  folgt  $y\sim x$  (symmetrisch).
3. Aus  $x\sim y$  und  $y\sim z$  folgt  $x\sim z$  (transitiv).

Dabei bedeutet  $x\sim y$,  dass das Paar $(x,y)$ zu $R$ gehört.

Definition:Äquivalenzklasse

Es sei  $R\subseteq M\times M$  eine Äquivalenzrelation und  $x\in M$.  Dann ist

$[x]:=\{y\in M\mid (x,y)\in R\}$

die Äquivalenzklasse von $x$ bezüglich $R$.

Definition:Repräsentantensystem

Es sei $\sim$ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge $M$. Eine Teilmenge  $T\subseteq M$  heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element in $T$ aus dieser Klasse gibt.

Definition:Quotientenmenge

Es sei  $R\subseteq M\times M$  eine Äquivalenzrelation. Dann heißt

$M/R:=\{[x]\mid x\in M\}$

die Quotientenmenge von $R$.

Definition:Kanonische Projektion

Es sei  $R\subseteq M\times M$  eine Äquivalenzrelation und $M/R$ die Quotientenmenge. Die Abbildung

$q_R:M⟶M/R,x⟼[x],$

heißt kanonische Projektion von $R$.

Definition:Gruppenhomomorphismus

Es seien $(G,\circ ,e_G)$ und $(H,\circ ,e_H)$ Gruppen. Eine Abbildung

$\psi :G⟶H$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

$\psi (g\circ g^{\prime })=\psi (g)\circ \psi (g^{\prime })$

für alle  $g,g^{\prime }\in G$  gilt.

Definition:Ringhomomorphismus

Es seien $R$ und $S$ Ringe. Eine Abbildung

$\phi :R⟶S$

heißt Ringhomomorphismus, wenn folgende Eigenschaften gelten:

1.  $\phi (a+b)=\phi (a)+\phi (b)$. 
2.  $\phi (1)=1$. 
3.  $\phi (a\cdot b)=\phi (a)\cdot \phi (b)$. 

Definition:Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe

Es sei $(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe und  $H\subseteq G$  eine fixierte Untergruppe. Für Elemente  $x,y\in G$  setzen wir  $x{\sim }_{H}y$  (und sagen, dass $x$ und $y$ äquivalent bezüglich $H$ sind), wenn  $x-y\in H$. 

Definition:Restklassengruppe

Es sei $(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe und  $H\subseteq G$  eine Untergruppe. Die Quotientenmenge

$G/H$

mit der aufgrund von Satz 41.5 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von $G$ modulo $H$. Die Elemente  $[g]\in G/H$  heißen Restklassen. Für eine Restklasse $[g]$ heißt jedes Element $g^{\prime }\in G$ mit $[g^{\prime }]=[g]$ ein Repräsentant von $[g]$.

Definition:Ideal

Eine Teilmenge $𝔞$ eines kommutativen Ringes $R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1.  $0\in 𝔞$. 
2. Für alle  $a,b\in 𝔞$  ist auch  $a+b\in 𝔞$. 
3. Für alle  $a\in 𝔞$  und  $r\in R$  ist auch  $ra\in 𝔞$. 

Definition:Wurzel

In einem kommutativen Halbring $R$ nennt man zu  $k\in {\mathbb{N}}_{\ge 1}$  und einem Element  $r\in R$  ein Element  $x\in R$  mit

$x^k=r$

eine $k$-te Wurzel von $r$.

Definition:Intervalle

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Zu $a,b\in K$, $a\le b$, nennt man

•  $[a,b]=\{x\in K\mid a\le x\text{ und }x\le b\}$ 

das abgeschlossene Intervall.

•  $]a,b[=\{x\in K\mid a<x\text{ und }x<b\}$ 

das offene Intervall.

•  $]a,b]=\{x\in K\mid a<x\text{ und }x\le b\}$ 

das linksseitig offene Intervall.

•  $[a,b[=\{x\in K\mid a\le x\text{ und }x<b\}$ 

das rechtsseitig offene Intervall.

Definition:Folge

Es sei $M$ eine Menge. Eine Abbildung

$\mathbb{N}⟶M,n⟼x_n,$

nennt man auch eine Folge in $M$. Eine Folge wird häufig in der Form

${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$

geschrieben.

Definition:Konvergenz einer Folge

Es sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei  $x\in K$.  Man sagt, dass die Folge gegen $x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem $ϵ\in K$, $ϵ>0$, gibt es ein  $n_0\in \mathbb{N}$  derart, dass für alle  $n\ge n_0$  die Beziehung

$|x_n-x|\le ϵ$

gilt. In diesem Fall heißt $x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{x}_n=x.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.

Definition:Nullfolge

Eine Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ in einem angeordneten Körper, die gegen $0$ konvergiert, heißt Nullfolge.

Definition:Beschränkte Folge

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $K$. Die Folge $x_n$ heißt beschränkt, wenn es ein Element  $B\in K$  mit

$|x_n|\le B\text{ für alle }n\in \mathbb{N}$

gibt.

Definition:Cauchy-Folge

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ in $K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem $ϵ\in K$, $ϵ>0$, gibt es ein  $n_0\in \mathbb{N}$  derart, dass für alle  $n,m\ge n_0$  die Abschätzung

$|x_n-x_m|\le ϵ$

gilt.

Definition:Teilfolge

Es sei $K$ ein angeordneter Körper und sei ${\left(x_n\right)}_{n\in \mathbb{N}}$ eine Folge in $K$. Zu jeder streng wachsenden Abbildung $\mathbb{N}⟶\mathbb{N}$, $i⟼n_i$, heißt die Folge

$i\mapsto x_{n_i}$

eine Teilfolge der Folge.

Definition:Vollständig angeordneter Körper

Ein angeordneter Körper $K$ heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in $K$ konvergiert (also in $K$ einen Grenzwert besitzt).

Definition:Reelle Zahlen (Cauchy-Folgen-Modell)

Der Restklassenring $C/N$ des Ringes $C$ der rationalen Cauchy-Folgen modulo des Ideals $N$ der Nullfolgen heißt Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen.

Definition:Irrationale Zahl

Eine Zahl  $x\in ℝ$  mit  $x\notin \mathbb{Q}$  heißt eine irrationale Zahl.

Definition:Intervallschachtelung

Es sei $K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

$I_n=[a_n,b_n],n\in \mathbb{N},$

in $K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn  $I_{n+1}\subseteq I_n$  für alle  $n\in \mathbb{N}$  ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

${(b_n-a_n)}_{n\in \mathbb{N}},$

gegen $0$ konvergiert.

Definition:Dedekindscher Schnitt

Unter einem Dedekindschen Schnitt versteht man ein Paar $(A,B)$ bestehend aus Teilmengen der rationalen Zahlen, die folgende Eigenschaften erfüllen.

1. $A$ und $B$ sind nicht leer.

2. $A\uplus B=\mathbb{Q},$

   d.h. es liegt eine Zerlegung der Menge aller rationalen Zahlen in zwei Teilmengen vor.

3. Für jedes  $x\in A$  und jedes  $y\in B$  ist  $x<y$. 
4. Zu  $x\in A$  gibt es ein  $x^{\prime }\in A$  mit  $x^{\prime }>x$. 

Definition:Geometrisches Mittel

Zu zwei nichtnegativen reellen Zahlen $x$ und $y$ heißt

$\sqrt{x\cdot y}$

das geometrische Mittel.

Definition:Eulersche Zahl

Die reelle Zahl

$e:=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{(1+\frac{1}{n})}^n$

heißt Eulersche Zahl.

Definition:Polynomring

Der Polynomring über einem Körper $K$ besteht aus allen Polynomen

$P=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2+\cdots +a_n{X}^n$

mit  $a_i\in K$,   $n\in \mathbb{N}$,  und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

$X^n\cdot X^m:=X^{n+m}$

definiert ist.

Definition:Grad eines Polynoms

Der Grad eines von $0$ verschiedenen Polynoms

$P=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2+\cdots +a_n{X}^n$

mit  $a_n\ne 0$  ist $n$.

Definition:Leitkoeffizient

Zu einem von $0$ verschiedenen Polynom

$P=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2+\cdots +a_n{X}^n$

mit $a_n\ne 0$ heißt $a_n$ der Leitkoeffizient von $P$.

Definition:Normiertes Polynom

Ein Polynom

$P=a_0+a_{1}X+a_2{X}^2+\cdots +a_n{X}^n$

über einem Körper $K$ heißt normiert, wenn $a_n=1$ ist.

Definition:Teilt (Polynomring)

Es sei $K$ ein Körper. Man sagt, dass ein Polynom  $T\in K[X]$  ein Polynom  $P\in K[X]$  teilt, wenn es ein Polynom  $Q\in K[X]$  mit

$P=TQ$

gibt.

Definition:Rationale Funktion

Es sei $K$ ein Körper. Zu Polynomen $P,Q\in K[X]$, $Q\ne 0$, heißt die Funktion

$D⟶K,x⟼\frac{P(x)}{Q(x)},$

wobei  $D\subseteq K$  das Komplement der Nullstellen von $Q$ ist, eine rationale Funktion.

Definition:Stetige Funktion

Es sei  $D\subseteq ℝ$  eine Teilmenge,

$f:D⟶ℝ$

eine Funktion und  $x\in D$.  Man sagt, dass $f$ stetig im Punkt $x$ ist, wenn es zu jedem  $ϵ>0$  ein  $\delta >0$  derart gibt, dass für alle  $x^{\prime }\in D$  mit  $|x-x^{\prime }|\le \delta$  die Abschätzung  $|f(x)-f(x^{\prime })|\le ϵ$  gilt. Man sagt, dass $f$ stetig ist, wenn sie in jedem Punkt  $x\in D$  stetig ist.

Definition:Rationale Exponentschreibweise

Zu  $b\in {ℝ}_{+}$  und  $q\in \mathbb{Q}$  mit  $q=\frac{r}{s}$  ($s>0$) setzt man

$b^q=b^{\frac{r}{s}}:=\sqrt[s]{b^r}.$

Definition:Reelle Exponentialfunktion zu einer Basis

Es sei $b$ eine positive reelle Zahl. Die Funktion

$ℝ⟶ℝ,x⟼b^x,$

heißt Exponentialfunktion zur Basis $b$.

Definition:Logarithmus zu einer Basis

Zu einer positiven reellen Zahl $b>0$, $b\ne 1$, wird der Logarithmus zur Basis $b$ als Umkehrfunktion zur reellen Exponentialfunktion zur Basis $b$ definiert. Der Wert dieser Funktion an der Stelle  $x\in {ℝ}_{+}$  wird mit

${\log }_{b}x$

bezeichnet.

Definition:Kreis

Es sei  $M=(a,b)\in {ℝ}^2$  und  $r\in {ℝ}_{+}$.  Dann nennt man die Menge

$\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid (x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2\}$

den Kreis (oder die Kreislinie oder die $1$-Sphäre) mit dem Mittelpunkt $M$ und dem Radius $r$.

Definition:Der Einheitskreis

Die Menge

$E:=\{(x,y)\in {ℝ}^2\mid x^2+y^2=1\}$

heißt der Einheitskreis.

Definition:$\pi$

Unter der Zahl $\pi$ versteht man die Hälfte des Kreisumfanges des Einheitskreises.

Definition:Winkel im Bogenmaß

Der durch einen Kreisbogen der Länge  $\alpha \in [0,2\pi ]$  definierte Winkel heißt Winkel im Bogenmaß.

Definition:Trigonometrischer Punkt

Zu einem Winkel $\alpha$ (im Bogenmaß) nennt man denjenigen Punkt auf dem Einheitskreis, den man erreicht, wenn man sich auf dem Kreis in $(1,0)$ startend gegen den Uhrzeigersinn auf dem Kreisbogen $\alpha$ lange bewegt, den trigonometrischen Punkt $P(\alpha )$ zu diesem Winkel.

Definition:Kosinus

Zu einem Winkel $\alpha$ versteht man unter $\cos \alpha$ die erste Koordinate des trigonometrischen Punktes $P(\alpha )$.

Definition:Sinus

Zu einem Winkel $\alpha$ versteht man unter $\sin \alpha$ die zweite Koordinate des trigonometrischen Punktes $P(\alpha )$.

Definition:Ebene Drehung

Eine lineare Abbildung

$D(\alpha ):{ℝ}^2⟶{ℝ}^2,$

die durch eine Drehmatrix $\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)$ (mit einem $\alpha \in ℝ$) gegeben ist, heißt Drehung.

Definition:Kosinusreihe

Für  $x\in ℝ$  heißt

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n}}{(2n)!}$

die Kosinusreihe zu $x$.

Definition:Sinusreihe

Für  $x\in ℝ$  heißt

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n{x}^{2n+1}}{(2n+1)!}$

die Sinusreihe zu $x$.

Definition:Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte

Zu einer endlichen Menge $M$ nennt man eine Abbildung

$f:M⟶{ℝ}_{\ge 0},x⟼f(x),$

mit

$\sum _{x\in M}f(x)=1$

eine (diskrete) Wahrscheinlichkeitsdichte auf $M$.

Definition:Ereignis (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)

Auf einer endlichen Menge $M$ sei eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte $f:M\to {ℝ}_{\ge 0}$ gegeben. Dann nennt man jede Teilmenge  $E\subseteq M$  ein Ereignis und man nennt

${\mu }_f(E):=\sum _{x\in E}f(x)$

die Wahrscheinlichkeit von $E$.

Definition:Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum

Eine endliche Menge $M$ zusammen mit einer fixierten diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte $f:M\to {ℝ}_{\ge 0}$ und mit der Potenzmenge aller Ereignisse nennt man einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum.

Definition:Endliches Wahrscheinlichkeitsmaß

Auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,f)$ heißt die Abbildung

${\mu }_f:𝔓(M)⟶{ℝ}_{\ge 0},E⟼{\mu }_f(E)=\sum _{x\in E}f(x),$

ein endliches Wahrscheinlichkeitsmaß.

Definition:Bernoulli-Verteilung

Es sei  $p\in [0,1]$.  Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte $f_p$ auf  $M=\{0,1\}$  mit

$f_p(1)=p$

und

$f_p(0)=1-p$

heißt Bernoulli-Verteilung.

Definition:Laplace-Raum

Es sei $M$ eine endliche Menge. Dann nennt man die Wahrscheinlichkeitsdichte

$\lambda :M⟶{ℝ}_{\ge 0},$

die jedem Element  $x\in M$  den konstanten Wert $\frac{1}{\mathrm{\#}\left(M\right)}$ zuweist, die Laplace-Dichte auf $M$. Die Menge $M$ versehen mit dieser Dichte heißt Laplace-Raum.

Definition:Produkt von Wahrscheinlichkeitsräumen

Es seien $(M_1,{\mu }_1),\dots ,(M_n,{\mu }_n)$ endliche Wahrscheinlichkeitsräume mit zugehörigen Dichten $f_i$. Dann nennt man die Produktmenge $M_1\times \cdots \times M_n$ zusammen mit der durch

$f(x_1,\dots ,x_n):=f_1(x_1)\cdots f_n(x_n)$

gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichte den Produktraum der Wahrscheinlichkeitsräume.

Definition:Binomialverteilung

Es sei  $p\in [0,1]$  und  $n\in \mathbb{N}$.  Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte $B_{p,n}$ auf  $M=\{0,1,\dots ,n\}$  mit

$B_{p,n}(k)=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})p^k(1-p{)}^{n-k}$

heißt Binomialverteilung zur Stichprobenlänge $n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit $p$.

Definition:Unabhängige Ereignisse

Zwei Ereignisse $E$ und $F$ in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum $(M,P)$ heißen unabhängig, wenn

$P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)$

ist.

Definition:Paarweise unabhängige Ereignisse

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum $(M,P)$ gegeben. Die Ereignisse

$E_1,\dots ,E_k\subseteq M$

heißen paarweise unabhängig, wenn

$P(E_i\cap E_j)=P(E_i)\cdot P(E_j)$

für alle  $i\ne j$  ist.

Definition:Vollständig unabhängige Ereignisse

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum $(M,P)$ gegeben. Die Ereignisse  $E_1,\dots ,E_k\subseteq M$  heißen vollständig unabhängig, wenn für jedes $r$, $2\le r\le k$, und jede $r$-elementige Teilmenge  $I\subseteq \{1,\dots ,k\}$  die Gleichheit

$P\left(\bigcap _{i\in I}{E}_i\right)=\prod _{i\in I}P(E_i)$

gilt.

Definition:Bedingte Wahrscheinlichkeit

Es sei $(M,P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und  $B\subseteq M$  eine Teilmenge mit positiver Wahrscheinlichkeit. Dann nennt man zu jedem Ereignis  $E\subseteq M$  die Zahl

$P(E|B)=\frac{P(E\cap B)}{P(B)}$

die bedingte Wahrscheinlichkeit von $E$ unter der Bedingung $B$.