Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Definitionsliste

Definition:(In)homogene lineare Gleichung

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$. Dann nennt man

${}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\,$

eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ zu den Koeffizienten ${}a_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n$. Ein Tupel ${}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung der linearen Gleichung, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\xi _{j}=0$ ist.

Wenn ${}c\in K$ ein weiteres Element ist, so heißt

${}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=c\,$

eine inhomogene lineare Gleichung und ein Tupel ${}(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung der inhomogenen linearen Gleichung, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\zeta _{j}=c$ ist.

 

Definition:Lineares Gleichungssystem

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}a_{ij}\in K$ für ${}1\leq i\leq m$ und ${}1\leq j\leq n$. Dann nennt man

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$. Ein Tupel ${}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\xi _{j}=0$ für alle ${}i=1,\ldots ,m$ ist.

Wenn ${}(c_{1},\ldots ,c_{m})\in K^{m}$ beliebig ist, so heißt

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel ${}(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\zeta _{j}=c_{i}$ für alle ${}i$ ist.

 

Definition:Äquivalente lineare Gleichungssysteme

Es sei ${}K$ ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.

 

Definition:Linearkombination

Zu Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ im ${}K^{m}$ und Skalaren ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ nennt man

$\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}$

eine Linearkombination dieser Vektoren.

 

Definition:Erzeugendensystem

Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ im ${}K^{m}$ heißen ein Erzeugendensystem des ${}K^{m}$, wenn man jeden Vektor ${}w\in K^{m}$ als eine Linearkombination mit den Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann, wenn es also Skalare ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ mit

${}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$

gibt.

 

Definition:Basis

Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ im ${}K^{m}$ heißen eine Basis des ${}K^{m}$, wenn man jeden Vektor ${}w\in K^{m}$ eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann, wenn es also eindeutig bestimmte Skalare ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$ mit

${}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$

gibt.

 

Definition:Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}m,n\in \mathbb {N} _{+}$. Unter einer ${}m\times n$-Matrix über ${}K$ versteht man ein Schema der Form

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$

wobei ${}a_{ij}\in K$ für ${}1\leq i\leq m$ und ${}1\leq j\leq n$ ist.

 

Definition:Matrizenmultiplikation

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix über ${}K$. Dann ist das Matrixprodukt

$AB$

diejenige ${}m\times p$-Matrix, deren Einträge durch

${}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$

gegeben sind.

 

Definition:Einheitsmatrix

Die ${}n\times n$- Matrix

${}E_{n}:={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,$

nennt man die Einheitsmatrix.

 

Definition:Diagonalmatrix

Eine ${}n\times n$- Matrix der Form

${\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}$

nennt man Diagonalmatrix.

 

Definition:Untervektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N}$. Eine Teilmenge ${}U\subseteq K^{n}$ heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

1. Es ist ${}0\in U$.
2. Mit ${}u,v\in U$ ist auch ${}u+v\in U$.
3. Mit ${}u\in U$ und ${}s\in K$ ist auch ${}su\in U$.

 

Definition:Affiner Unterraum

Es sei ${}K$ ein Körper und ${}n\in \mathbb {N} _{+}$. Eine Teilmenge ${}S\subseteq K^{n}$ heißt affiner Unterraum, wenn (${}S$ leer ist oder) es einen Untervektorraum ${}U\subseteq K^{n}$ und einen Punkt ${}P\in K^{n}$ mit

${}S=P+U={\left\{P+v\mid v\in U\right\}}\,$

gibt.

 

Definition:Gerade

Unter einer Geraden (in Punktvektorform) versteht man einen affinen Unterraum ${}G\subseteq K^{n}$ der Form

${}G=P+Kv={\left\{P+sv\mid s\in K\right\}}\,$

mit einem von ${}0$ verschiedenen Vektor ${}v\in K^{n}$ und einem Aufpunkt ${}P\in K^{n}$.

 

Definition:Ebene

Unter einer Ebene (in Punktvektorform oder Parameterform) versteht man einen affinen Unterraum ${}E\subseteq K^{n}$ der Form

${}E=P+Kv+Kw={\left\{P+sv+tw\mid s,t\in K\right\}}\,$

mit zwei Vektoren ${}v,w\in K^{n}$, die kein Vielfaches voneinander sind, und einem Aufpunkt ${}P\in K^{n}$.