Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Definitionsliste

Definition:(In)homogene lineare Gleichung

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}a_{1},\ldots ,a_{n}\in K$.  Dann nennt man

${}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=0\,$

eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$ zu den Koeffizienten ${}a_{j}$, ${}j=1,\ldots ,n$. Ein Tupel ${}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung der linearen Gleichung, wenn  ${}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\xi _{j}=0$  ist.

Wenn  ${}c\in K$  ein weiteres Element ist, so heißt

${}a_{1}x_{1}+a_{2}x_{2}+\cdots +a_{n}x_{n}=c\,$

eine inhomogene lineare Gleichung und ein Tupel ${}(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in K^{n}$ heißt Lösung der inhomogenen linearen Gleichung, wenn  ${}\sum _{j=1}^{n}a_{j}\zeta _{j}=c$  ist.

Definition:Lineares Gleichungssystem

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}a_{ij}\in K$  für ${}1\leq i\leq m$ und ${}1\leq j\leq n$. Dann nennt man

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&0\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&0\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&0\end{matrix}}$

ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen ${}x_{1},\ldots ,x_{n}$. Ein Tupel  ${}(\xi _{1},\ldots ,\xi _{n})\in K^{n}$  heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn  ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\xi _{j}=0$  für alle  ${}i=1,\ldots ,m$  ist.

Wenn  ${}(c_{1},\ldots ,c_{m})\in K^{m}$  beliebig ist, so heißt

${\begin{matrix}a_{11}x_{1}+a_{12}x_{2}+\cdots +a_{1n}x_{n}&=&c_{1}\\a_{21}x_{1}+a_{22}x_{2}+\cdots +a_{2n}x_{n}&=&c_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a_{m1}x_{1}+a_{m2}x_{2}+\cdots +a_{mn}x_{n}&=&c_{m}\end{matrix}}$

ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel  ${}(\zeta _{1},\ldots ,\zeta _{n})\in K^{n}$  heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn  ${}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}\zeta _{j}=c_{i}$  für alle ${}i$ ist.

Definition:Äquivalente lineare Gleichungssysteme

Es sei ${}K$ ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.

Definition:Linearkombination

Zu Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ im ${}K^{m}$ und Skalaren  ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$  nennt man

$\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}$

eine Linearkombination dieser Vektoren.

Definition:Erzeugendensystem

Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ im ${}K^{m}$ heißen ein Erzeugendensystem des ${}K^{m}$, wenn man jeden Vektor  ${}w\in K^{m}$  als eine Linearkombination mit den Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann, wenn es also Skalare  ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$  mit

${}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$

gibt.

Definition:Basis

Die Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ im ${}K^{m}$ heißen eine Basis des ${}K^{m}$, wenn man jeden Vektor  ${}w\in K^{m}$  eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren ${}v_{1},\ldots ,v_{n}$ schreiben kann, wenn es also eindeutig bestimmte Skalare  ${}s_{1},\ldots ,s_{n}\in K$  mit

${}w=\sum _{i=1}^{n}s_{i}v_{i}\,$

gibt.

Definition:Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}m,n\in \mathbb {N} _{+}$.  Unter einer ${}m\times n$-Matrix über ${}K$ versteht man ein Schema der Form

${\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\ldots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\ldots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\ldots &a_{mn}\end{pmatrix}},$

wobei  ${}a_{ij}\in K$  für  ${}1\leq i\leq m$  und  ${}1\leq j\leq n$  ist.

Definition:Matrizenmultiplikation

Es sei ${}K$ ein Körper und es sei ${}A$ eine ${}m\times n$- Matrix und ${}B$ eine ${}n\times p$-Matrix über ${}K$. Dann ist das Matrixprodukt

$AB$

diejenige ${}m\times p$-Matrix, deren Einträge durch

${}c_{ik}=\sum _{j=1}^{n}a_{ij}b_{jk}\,$

gegeben sind.

Definition:Einheitsmatrix

Die ${}n\times n$- Matrix

${}E_{n}:={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&1&0\\0&\cdots &\cdots &0&1\end{pmatrix}}\,$

nennt man die Einheitsmatrix.

Definition:Diagonalmatrix

Eine ${}n\times n$- Matrix der Form

${\begin{pmatrix}d_{11}&0&\cdots &\cdots &0\\0&d_{22}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0&d_{n-1\,n-1}&0\\0&\cdots &\cdots &0&d_{nn}\end{pmatrix}}$

nennt man Diagonalmatrix.

Definition:Untervektorraum

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}n\in \mathbb {N}$.  Eine Teilmenge  ${}U\subseteq K^{n}$  heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.

1. Es ist  ${}0\in U$. 
2. Mit  ${}u,v\in U$  ist auch  ${}u+v\in U$. 
3. Mit  ${}u\in U$  und  ${}s\in K$  ist auch  ${}su\in U$. 

Definition:Affiner Unterraum

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}n\in \mathbb {N} _{+}$.  Eine Teilmenge  ${}S\subseteq K^{n}$  heißt affiner Unterraum, wenn (${}S$ leer ist oder) es einen Untervektorraum  ${}U\subseteq K^{n}$  und einen Punkt  ${}P\in K^{n}$  mit

${}S=P+U={\left\{P+v\mid v\in U\right\}}\,$

gibt.

Definition:Gerade

Unter einer Geraden (in Punktvektorform) versteht man einen affinen Unterraum  ${}G\subseteq K^{n}$  der Form

${}G=P+Kv={\left\{P+sv\mid s\in K\right\}}\,$

mit einem von ${}0$ verschiedenen Vektor  ${}v\in K^{n}$  und einem Aufpunkt  ${}P\in K^{n}$. 

Definition:Ebene

Unter einer Ebene (in Punktvektorform oder Parameterform) versteht man einen affinen Unterraum  ${}E\subseteq K^{n}$  der Form

${}E=P+Kv+Kw={\left\{P+sv+tw\mid s,t\in K\right\}}\,$

mit zwei Vektoren  ${}v,w\in K^{n}$,  die kein Vielfaches voneinander sind, und einem Aufpunkt  ${}P\in K^{n}$. 

Definition:Lineare Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und  ${}m,n\in \mathbb {N}$.  Eine Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

heißt lineare Abbildung, wenn die beiden folgenden Eigenschaften erfüllt sind.

1.  ${}\varphi (u+v)=\varphi (u)+\varphi (v)$  für alle  ${}u,v\in K^{n}$. 
2.  ${}\varphi (sv)=s\varphi (v)$  für alle ${}s\in K$ und ${}v\in K^{n}$.

Definition:Kern einer linearen Abbildung

Zu einer linearen Abbildung ${}\varphi \colon K^{n}\rightarrow K^{m}$ heißt

${}\operatorname {kern} \varphi ={\left\{x\in K^{n}\mid \varphi (x)=0\right\}}\,$

der Kern von ${}\varphi$.

Definition:Matrix zu linearer Abbildung

Es sei ${}K$ ein Körper und seien ${}m,n\in \mathbb {N}$. Zu einer linearen Abbildung

$\varphi \colon K^{n}\longrightarrow K^{m}$

heißt die ${}m\times n$- Matrix

${}M=(a_{ij})_{ij}\,,$

wobei ${}a_{ij}$ die ${}i$-te Koordinate von ${}\varphi (e_{j})$ bezüglich der Standardbasis ${}e_{i}$ des ${}K^{m}$ ist, die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ (bezüglich der Standardbasen).

Definition:Invertierbare Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über ${}K$. Dann heißt ${}M$ invertierbar, wenn es eine weitere Matrix  ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$  mit

${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

gibt.

Definition:Inverse Matrix

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu einer invertierbaren Matrix  ${}M\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$  heißt die Matrix  ${}A\in \operatorname {Mat} _{n}(K)$  mit

${}A\circ M=E_{n}=M\circ A\,$

die inverse Matrix von ${}M$. Man schreibt dafür

$M^{-1}.$

Definition:Elementare Zeilenumformungen

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}M$ eine ${}m\times n$- Matrix über ${}K$. Dann nennt man die folgenden Manipulationen an ${}M$ elementare Zeilenumformungen.

1. Vertauschung von zwei Zeilen.
2. Multiplikation einer Zeile mit  ${}s\neq 0$. 
3. Addition des ${}a$-fachen einer Zeile zu einer anderen Zeile.

Definition:Elementarmatrizen

Es sei ${}K$ ein Körper. Mit ${}B_{ij}$ bezeichnen wir diejenige ${}n\times n$- Matrix, die an der Stelle ${}(i,j)$ den Wert ${}1$ und sonst überall den Wert ${}0$ hat. Dann nennt man die folgenden Matrizen Elementarmatrizen.

1. ${}V_{ij}:=E_{n}-B_{ii}-B_{jj}+B_{ij}+B_{ji}$.
2. ${}S_{k}(s):=E_{n}+(s-1)B_{kk}{\text{ für }}s\neq 0$.
3. ${}A_{ij}(a):=E_{n}+aB_{ij}{\text{ für }}i\neq j{\text{ und }}a\in K$.

Definition:Relation

Es seien ${}M$ und ${}N$ Mengen. Eine Relation ${}R$ zwischen den Mengen ${}M$ und ${}N$ ist eine Teilmenge der Produktmenge ${}M\times N$, also  ${}R\subseteq M\times N$. 

Definition:Graph einer Abbildung

Es seien ${}L$ und ${}M$ Mengen und es sei

$F\colon L\longrightarrow M$

eine Abbildung. Dann nennt man

${}\Gamma =\Gamma _{F}={\left\{(x,F(x))\mid x\in L\right\}}\subseteq L\times M\,$

den Graphen der Abbildung ${}F$.

Definition:Relation auf einer Menge

Eine Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ ist eine Teilmenge der Produktmenge ${}M\times M$, also  ${}R\subseteq M\times M$. 

Definition:Reflexiv

Eine Relation  ${}R\subseteq M\times M$  auf einer Menge ${}M$ heißt reflexiv, wenn ${}(x,x)\in R$ für alle ${}x\in M$ gilt.

Definition:Transitiv

Eine Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ heißt transitiv, wenn aus ${}xRy$ und ${}yRz$ stets ${}xRz$ folgt.

Definition:Symmetrisch

Eine Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ heißt symmetrisch, wenn aus ${}xRy$ stets ${}yRx$ folgt.

Definition:Antisymmetrisch

Eine Relation ${}R$ auf einer Menge ${}M$ heißt antisymmetrisch, wenn aus ${}xRy$ und ${}yRx$ stets ${}x=y$ folgt.

Definition:Ordnungsrelation

Eine Relation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ heißt Ordnungsrelation oder Ordnung, wenn folgende drei Bedingungen erfüllt sind.

1. Es ist  ${}i\preccurlyeq i$  für alle  ${}i\in I$. 
2. Aus  ${}i\preccurlyeq j$  und  ${}j\preccurlyeq k$  folgt stets  ${}i\preccurlyeq k$. 
3. Aus  ${}i\preccurlyeq j$  und  ${}j\preccurlyeq i$  folgt  ${}i=j$. 

Definition:Lineare Ordnung

Eine Ordnungsrelation ${}\preccurlyeq$ auf einer Menge ${}I$ heißt lineare Ordnung (oder totale Ordnung), wenn zu je zwei Elementen  ${}x,y\in I$  die Beziehung ${}x\preccurlyeq y$ oder ${}y\preccurlyeq x$ gilt.

Definition:Äquivalenzrelation

Eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ${}M$ ist eine Relation  ${}R\subseteq M\times M$,  die die folgenden drei Eigenschaften besitzt (für beliebige ${}x,y,z\in M$).

1. Es ist  ${}x\sim x$  (reflexiv).
2. Aus  ${}x\sim y$  folgt  ${}y\sim x$  (symmetrisch).
3. Aus  ${}x\sim y$  und  ${}y\sim z$  folgt  ${}x\sim z$  (transitiv).

Dabei bedeutet  ${}x\sim y$,  dass das Paar ${}(x,y)$ zu ${}R$ gehört.

Definition:Äquivalenzklasse

Es sei  ${}R\subseteq M\times M$  eine Äquivalenzrelation und  ${}x\in M$.  Dann ist

${}[x]:={\left\{y\in M\mid (x,y)\in R\right\}}\,$

die Äquivalenzklasse von ${}x$ bezüglich ${}R$.

Definition:Repräsentantensystem

Es sei ${}\sim$ eine Äquivalenzrelation auf einer Menge ${}M$. Eine Teilmenge  ${}T\subseteq M$  heißt ein Repräsentantensystem für die Äquivalenzrelation, wenn es für jede Äquivalenzklasse genau ein Element in ${}T$ aus dieser Klasse gibt.

Definition:Quotientenmenge

Es sei  ${}R\subseteq M\times M$  eine Äquivalenzrelation. Dann heißt

${}M/R:={\left\{[x]\mid x\in M\right\}}\,$

die Quotientenmenge von ${}R$.

Definition:Kanonische Projektion

Es sei  ${}R\subseteq M\times M$  eine Äquivalenzrelation und ${}M/R$ die Quotientenmenge. Die Abbildung

$q_{R}\colon M\longrightarrow M/R,\,x\longmapsto [x],$

heißt kanonische Projektion von ${}R$.

Definition:Gruppenhomomorphismus

Es seien ${}(G,\circ ,e_{G})$ und ${}(H,\circ ,e_{H})$ Gruppen. Eine Abbildung

$\psi \colon G\longrightarrow H$

heißt Gruppenhomomorphismus, wenn die Gleichheit

${}\psi (g\circ g')=\psi (g)\circ \psi (g')\,$

für alle  ${}g,g'\in G$  gilt.

Definition:Ringhomomorphismus

Es seien ${}R$ und ${}S$ Ringe. Eine Abbildung

$\varphi \colon R\longrightarrow S$

heißt Ringhomomorphismus , wenn folgende Eigenschaften gelten:

1.  ${}\varphi (a+b)=\varphi (a)+\varphi (b)$. 
2.  ${}\varphi (1)=1$. 
3.  ${}\varphi (a\cdot b)=\varphi (a)\cdot \varphi (b)$. 

Definition:Äquivalenzrelation zu einer Untergruppe

Es sei ${}(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe und  ${}H\subseteq G$  eine Untergruppe. Für Elemente  ${}x,y\in G$  setzen wir  ${}x\sim _{H}y$  (und sagen, dass ${}x$ und ${}y$ äquivalent sind), wenn  ${}x-y\in H$. 

Definition:Restklassengruppe

Es sei ${}(G,0,+)$ eine kommutative Gruppe und  ${}H\subseteq G$  eine Untergruppe. Die Quotientenmenge

$G/H$

mit der aufgrund von Satz 41.5 eindeutig bestimmten Gruppenstruktur heißt Restklassengruppe von ${}G$ modulo ${}H$. Die Elemente  ${}[g]\in G/H$  heißen Restklassen. Für eine Restklasse ${}[g]$ heißt jedes Element ${}g'\in G$ mit ${}[g']=[g]$ ein Repräsentant von ${}[g]$.

Definition:Ideal

Eine Teilmenge ${}{\mathfrak {a}}$ eines kommutativen Ringes ${}R$ heißt Ideal, wenn die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1.  ${}0\in {\mathfrak {a}}$. 
2. Für alle  ${}a,b\in {\mathfrak {a}}$  ist auch  ${}a+b\in {\mathfrak {a}}$. 
3. Für alle  ${}a\in {\mathfrak {a}}$  und  ${}r\in R$  ist auch  ${}ra\in {\mathfrak {a}}$. 

Definition:Wurzel

In einem kommutativen Halbring ${}R$ nennt man zu  ${}k\in \mathbb {N} _{\geq 1}$  und einem Element  ${}r\in R$  ein Element  ${}x\in R$  mit

${}x^{k}=r\,$

eine ${}k$-te Wurzel von ${}r$.

Definition:Intervalle

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Zu ${}a,b\in K$, ${}a\leq b$, nennt man

•  ${}[a,b]={\left\{x\in K\mid a\leq x{\text{ und }}x\leq b\right\}}$ 

das abgeschlossene Intervall.

•  ${}]a,b[={\left\{x\in K\mid a<x{\text{ und }}x<b\right\}}$ 

das offene Intervall.

•  ${}]a,b]={\left\{x\in K\mid a<x{\text{ und }}x\leq b\right\}}$ 

das linksseitig offene Intervall.

•  ${}[a,b[={\left\{x\in K\mid a\leq x{\text{ und }}x<b\right\}}$ 

das rechtsseitig offene Intervall.

Definition:Folge

Es sei ${}M$ eine Menge. Eine Abbildung

$\mathbb {N} \longrightarrow M,\,n\longmapsto x_{n},$

nennt man auch eine Folge in ${}M$. Eine Folge wird häufig in der Form

${\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$

geschrieben.

Definition:Konvergenz einer Folge

Es sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in einem angeordneten Körper und es sei  ${}x\in K$.  Man sagt, dass die Folge gegen ${}x$ konvergiert, wenn folgende Eigenschaft erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein  ${}n_{0}\in \mathbb {N}$  derart, dass für alle  ${}n\geq n_{0}$  die Beziehung

${}\vert {x_{n}-x}\vert \leq \epsilon \,$

gilt. In diesem Fall heißt ${}x$ der Grenzwert oder der Limes der Folge. Dafür schreibt man auch

${}\lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}=x\,.$

Wenn die Folge einen Grenzwert besitzt, so sagt man auch, dass sie konvergiert (ohne Bezug auf einen Grenzwert.), andernfalls, dass sie divergiert.

Definition:Nullfolge

Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in einem angeordneten Körper, die gegen ${}0$ konvergiert, heißt Nullfolge.

Definition:Beschränkte Folge

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$. Die Folge ${}x_{n}$ heißt beschränkt, wenn es ein Element  ${}B\in K$  mit

$\vert {x_{n}}\vert \leq B{\text{ für alle }}n\in \mathbb {N}$

gibt.

Definition:Cauchy-Folge

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ in ${}K$ heißt Cauchy-Folge, wenn folgende Bedingung erfüllt ist.

Zu jedem ${}\epsilon \in K$, ${}\epsilon >0$, gibt es ein  ${}n_{0}\in \mathbb {N}$  derart, dass für alle  ${}n,m\geq n_{0}$  die Abschätzung

${}\vert {x_{n}-x_{m}}\vert \leq \epsilon \,$

gilt.

Definition:Teilfolge

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper und sei ${}{\left(x_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge in ${}K$. Zu jeder streng wachsenden Abbildung ${}\mathbb {N} \longrightarrow \mathbb {N}$, ${}i\longmapsto n_{i}$, heißt die Folge

$i\mapsto x_{n_{i}}$

eine Teilfolge der Folge.

Definition:Vollständig angeordneter Körper

Ein angeordneter Körper ${}K$ heißt vollständig oder vollständig angeordnet, wenn jede Cauchy-Folge in ${}K$ konvergiert (also in ${}K$ einen Grenzwert besitzt).

Definition:Reelle Zahlen (Cauchy-Folgen-Modell)

Der Restklassenring ${}C/N$ des Ringes ${}C$ der rationalen Cauchy-Folgen modulo des Ideals ${}N$ der Nullfolgen heißt Cauchy-Folgen-Modell der reellen Zahlen.

Definition:Irrationale Zahl

Eine Zahl  ${}x\in \mathbb {R}$  mit  ${}x\notin \mathbb {Q}$  heißt eine irrationale Zahl.

Definition:Intervallschachtelung

Es sei ${}K$ ein angeordneter Körper. Eine Folge von abgeschlossenen Intervallen

$I_{n}=[a_{n},b_{n}],\,n\in \mathbb {N} ,$

in ${}K$ heißt eine Intervallschachtelung, wenn  ${}I_{n+1}\subseteq I_{n}$  für alle  ${}n\in \mathbb {N}$  ist und wenn die Folge der Intervalllängen, also

${\left(b_{n}-a_{n}\right)}_{n\in \mathbb {N} },$

gegen ${}0$ konvergiert.

Definition:Dedekindscher Schnitt

Unter einem Dedekindschen Schnitt versteht man ein Paar ${}(A,B)$ bestehend aus Teilmengen der rationalen Zahlen, die folgende Eigenschaften erfüllen.

1. ${}A$ und ${}B$ sind nicht leer.

2. ${}A\uplus B=\mathbb {Q} \,,$

   d.h. es liegt eine Zerlegung der Menge aller rationalen Zahlen in zwei Teilmengen vor.

3. Für jedes  ${}x\in A$  und jedes  ${}y\in B$  ist  ${}x<y$. 
4. Zu  ${}x\in A$  gibt es ein  ${}x'\in A$  mit  ${}x'>x$. 

Definition:Geometrisches Mittel

Zu zwei nichtnegativen reellen Zahlen ${}x$ und ${}y$ heißt

${\sqrt {x\cdot y}}$

das geometrische Mittel.

Definition:Eulersche Zahl

Die reelle Zahl

${}e:=\lim _{n\rightarrow \infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{n}\,$

heißt Eulersche Zahl.

Definition:Polynomring

Der Polynomring über einem Körper ${}K$ besteht aus allen Polynomen

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

mit  ${}a_{i}\in K$,   ${}n\in \mathbb {N}$,  und mit komponentenweiser Addition und einer Multiplikation, die durch distributive Fortsetzung der Regel

${}X^{n}\cdot X^{m}:=X^{n+m}\,$

definiert ist.

Definition:Grad eines Polynoms

Der Grad eines von ${}0$ verschiedenen Polynoms

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

mit  ${}a_{n}\neq 0$  ist ${}n$.

Definition:Leitkoeffizient

Zu einem von ${}0$ verschiedenen Polynom

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

mit ${}a_{n}\neq 0$ heißt ${}a_{n}$ der Leitkoeffizient von ${}P$.

Definition:Normiertes Polynom

Ein Polynom

${}P=a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}\,$

über einem Körper ${}K$ heißt normiert, wenn ${}a_{n}=1$ ist.

Definition:Teilt (Polynomring)

Es sei ${}K$ ein Körper. Man sagt, dass ein Polynom  ${}T\in K[X]$  ein Polynom  ${}P\in K[X]$  teilt, wenn es ein Polynom  ${}Q\in K[X]$  mit

${}P=TQ\,$

gibt.

Definition:Rationale Funktion

Es sei ${}K$ ein Körper. Zu Polynomen ${}P,Q\in K[X]$, ${}Q\neq 0$, heißt die Funktion

$D\longrightarrow K,\,x\longmapsto {\frac {P(x)}{Q(x)}},$

wobei  ${}D\subseteq K$  das Komplement der Nullstellen von ${}Q$ ist, eine rationale Funktion.

Definition:Stetige Funktion

Es sei  ${}D\subseteq \mathbb {R}$  eine Teilmenge,

$f\colon D\longrightarrow \mathbb {R}$

eine Funktion und  ${}x\in D$.  Man sagt, dass ${}f$ stetig im Punkt ${}x$ ist, wenn es zu jedem  ${}\epsilon >0$  ein  ${}\delta >0$  derart gibt, dass für alle  ${}x'\in D$  mit  ${}\vert {x-x'}\vert \leq \delta$  die Abschätzung  ${}\vert {f(x)-f(x')}\vert \leq \epsilon$  gilt. Man sagt, dass ${}f$ stetig ist, wenn sie in jedem Punkt  ${}x\in D$  stetig ist.

Definition:Rationale Exponentschreibweise

Zu  ${}b\in \mathbb {R} _{+}$  und  ${}q\in \mathbb {Q}$  mit  ${}q={\frac {r}{s}}$  (${}s>0$) setzt man

${}b^{q}=b^{\frac {r}{s}}:={\sqrt[{s}]{b^{r}}}\,.$

Definition:Reelle Exponentialfunktion zu einer Basis

Es sei ${}b$ eine positive reelle Zahl. Die Funktion

$\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} ,\,x\longmapsto b^{x},$

heißt Exponentialfunktion zur Basis ${}b$.

Definition:Logarithmus zu einer Basis

Zu einer positiven reellen Zahl ${}b>0$, ${}b\neq 1$, wird der Logarithmus zur Basis ${}b$ als Umkehrfunktion zur reellen Exponentialfunktion zur Basis ${}b$ definiert. Der Wert dieser Funktion an der Stelle  ${}x\in \mathbb {R} _{+}$  wird mit

$\log _{b}x$

bezeichnet.

Definition:Kreis

Es sei  ${}M=(a,b)\in \mathbb {R} ^{2}$  und  ${}r\in \mathbb {R} _{+}$.  Dann nennt man die Menge

${\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\right\}}$

den Kreis (oder die Kreislinie oder die ${}1$-Sphäre) mit dem Mittelpunkt ${}M$ und dem Radius ${}r$.

Definition:Der Einheitskreis

Die Menge

${}E:={\left\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}\mid x^{2}+y^{2}=1\right\}}\,$

heißt der Einheitskreis.

Definition:${}\pi$

Unter der Zahl ${}\pi$ versteht man die Hälfte des Kreisumfanges des Einheitskreises.

Definition:Winkel im Bogenmaß

Der durch einen Kreisbogen der Länge  ${}\alpha \in [0,2\pi ]$  definierte Winkel heißt Winkel im Bogenmaß.

Definition:Trigonometrischer Punkt

Zu einem Winkel ${}\alpha$ (im Bogenmaß) nennt man denjenigen Punkt auf dem Einheitskreis, den man erreicht, wenn man sich auf dem Kreis in ${}(1,0)$ startend gegen der Uhrzeigersinn auf dem Kreisbogen ${}\alpha$ lange bewegt, den trigonometrischen Punkt ${}P(\alpha )$ zu diesem Winkel.

Definition:Kosinus

Zu einem Winkel ${}\alpha$ versteht man unter ${}\cos \alpha$ die erste Koordinate des trigonometrischen Punktes ${}P(\alpha )$.

Definition:Sinus

Zu einem Winkel ${}\alpha$ versteht man unter ${}\sin \alpha$ die zweite Koordinate des trigonometrischen Punktes ${}P(\alpha )$.

Definition:Ebene Drehung

Eine lineare Abbildung

$D(\alpha )\colon \mathbb {R} ^{2}\longrightarrow \mathbb {R} ^{2},$

die durch eine Drehmatrix ${}{\begin{pmatrix}\operatorname {cos} \,\alpha &-\operatorname {sin} \,\alpha \\\operatorname {sin} \,\alpha &\operatorname {cos} \,\alpha \end{pmatrix}}$ (mit einem ${}\alpha \in \mathbb {R}$) gegeben ist, heißt Drehung.

Definition:Kosinusreihe

Für  ${}x\in \mathbb {R}$  heißt

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}$

die Kosinusreihe zu ${}x$.

Definition:Sinusreihe

Für  ${}x\in \mathbb {R}$  heißt

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}$

die Sinusreihe zu ${}x$.

Definition:Diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte

Zu einer endlichen Menge ${}M$ nennt man eine Abbildung

$f\colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,x\longmapsto f(x),$

mit

${}\sum _{x\in M}f(x)=1\,$

eine (diskrete) Wahrscheinlichkeitsdichte auf ${}M$.

Definition:Ereignis (endlicher Wahrscheinlichkeitsraum)

Auf einer endlichen Menge ${}M$ sei eine diskrete Wahrscheinlichkeitsdichte ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq }$ gegeben. Dann nennt man jede Teilmenge  ${}E\subseteq M$  ein Ereignis und man nennt

${}\mu _{f}(E):=\sum _{x\in E}f(x)\,$

die Wahrscheinlichkeit von ${}E$.

Definition:Endlicher Wahrscheinlichkeitsraum

Eine endliche Menge ${}M$ zusammen mit einer fixierten diskreten Wahrscheinlichkeitsdichte ${}f\colon M\rightarrow \mathbb {R} _{\geq 0}$ und mit der Potenzmenge aller Ereignisse nennt man einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum.

Definition:Endliches Wahrscheinlichkeitsmaß

Auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ${}(M,f)$ heißt die Abbildung

$\mu _{f}\colon {\mathfrak {P}}\,(M)\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},\,E\longmapsto \mu _{f}(E)=\sum _{x\in E}f(x),$

ein endliches Wahrscheinlichkeitsmaß.

Definition:Bernoulli-Verteilung

Es sei  ${}p\in [0,1]$.  Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte ${}f_{p}$ auf  ${}M=\{0,1\}$  mit

${}f_{p}(1)=p\,$

und

${}f_{p}(0)=1-p\,$

heißt Bernoulli-Verteilung.

Definition:Laplace-Raum

Es sei ${}M$ eine endliche Menge. Dann nennt man die Wahrscheinlichkeitsdichte

$\lambda \colon M\longrightarrow \mathbb {R} _{\geq 0},$

die jedem Element  ${}x\in M$  den konstanten Wert ${}{\frac {1}{\#\left(M\right)}}$ zuweist, die Laplace-Dichte auf ${}M$. Die Menge ${}M$ versehen mit dieser Dichte heißt Laplace-Raum.

Definition:Produkt von Wahrscheinlichkeitsräumen

Es seien ${}(M_{1},\mu _{1}),\ldots ,(M_{n},\mu _{n})$ endliche Wahrscheinlichkeitsräume mit zugehörigen Dichten ${}f_{i}$. Dann nennt man die Produktmenge ${}M_{1}\times \cdots \times M_{n}$ zusammen mit der durch

${}f(x_{1},\ldots ,x_{n}):=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n})\,$

gegebenen Wahrscheinlichkeitsdichte den Produktraum der Wahrscheinlichkeitsräume.

Definition:Binomialverteilung

Es sei  ${}p\in [0,1]$  und  ${}n\in \mathbb {N}$.  Die endliche Wahrscheinlichkeitsdichte ${}B_{p,n}$ auf  ${}M=\{0,1,\ldots ,n\}$  mit

${}B_{p,n}(k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}\,$

heißt Binomialverteilung zur Stichprobenlänge ${}n$ und zur Erfolgswahrscheinlichkeit ${}p$.

Definition:Unabhängige Ereignisse

Zwei Ereignisse ${}E$ und ${}F$ in einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum ${}(M,P)$ heißen unabhängig, wenn

${}P(E\cap F)=P(E)\cdot P(F)\,$

ist.

Definition:Paarweise unabhängige Ereignisse

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum ${}(M,P)$ gegeben. Die Ereignisse

${}E_{1},\ldots ,E_{k}\subseteq M\,$

heißen paarweise unabhängig, wenn

${}P(E_{i}\cap E_{j})=P(E_{i})\cdot P(E_{j})\,$

für alle  ${}i\neq j$  ist.

Definition:Vollständig unabhängige Ereignisse

Es sei ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum ${}(M,P)$ gegeben. Die Ereignisse  ${}E_{1},\ldots ,E_{k}\subseteq M$  heißen vollständig unabhängig, wenn für jedes ${}r$, ${}2\leq r\leq k$, und jede ${}r$-elementige Teilmenge  ${}I\subseteq \{1,\ldots ,k\}$  die Gleichheit

${}P{\left(\bigcap _{i\in I}E_{i}\right)}=\prod _{i\in I}P(E_{i})\,$

gilt.

Definition:Bedingte Wahrscheinlichkeit

Es sei ${}(M,P)$ ein endlicher Wahrscheinlichkeitsraum und  ${}B\subseteq M$  eine Teilmenge mit positiver Wahrscheinlichkeit. Dann nennt man zu jedem Ereignis  ${}E\subseteq M$  die Zahl

${}P(E{|}B)={\frac {P(E\cap B)}{P(B)}}\,$

die bedingte Wahrscheinlichkeit von ${}E$ unter der Bedingung ${}B$.