Kurs:Grundkurs Mathematik (Osnabrück 2022-2023)/Teil II/Definitionsliste
Es sei ein Körper und . Dann nennt man
eine (homogene) lineare Gleichung in den Variablen zu den Koeffizienten , . Ein Tupel heißt Lösung der linearen Gleichung, wenn ist.
Wenn ein weiteres Element ist, so heißt
eine inhomogene lineare Gleichung und ein Tupel heißt Lösung der inhomogenen linearen Gleichung, wenn ist.
Es sei ein Körper und für und . Dann nennt man
ein (homogenes) lineares Gleichungssystem in den Variablen . Ein Tupel heißt Lösung des linearen Gleichungssystems, wenn für alle ist.
Wenn beliebig ist, so heißt
ein inhomogenes lineares Gleichungssystem und ein Tupel heißt Lösung des inhomogenen linearen Gleichungssystems, wenn für alle ist.
Es sei ein Körper und seien zwei (inhomogene) lineare Gleichungssysteme zur gleichen Variablenmenge gegeben. Die Systeme heißen äquivalent, wenn ihre Lösungsmengen übereinstimmen.
Zu Vektoren im und Skalaren nennt man
eine Linearkombination dieser Vektoren.
Die Vektoren im heißen ein Erzeugendensystem des , wenn man jeden Vektor als eine Linearkombination mit den Vektoren schreiben kann, wenn es also Skalare mit
gibt.
Die Vektoren im heißen eine Basis des , wenn man jeden Vektor eindeutig als eine Linearkombination mit den Vektoren schreiben kann, wenn es also eindeutig bestimmte Skalare mit
gibt.
Es sei ein Körper und . Unter einer -Matrix über versteht man ein Schema der Form
wobei für und ist.
Es sei ein Körper und es sei eine - Matrix und eine -Matrix über . Dann ist das Matrixprodukt
diejenige -Matrix, deren Einträge durch
gegeben sind.
Die - Matrix
nennt man die Einheitsmatrix.
Eine - Matrix der Form
nennt man Diagonalmatrix.
Es sei ein Körper und . Eine Teilmenge heißt Untervektorraum, wenn die folgenden Eigenschaften gelten.
- Es ist .
- Mit ist auch .
- Mit und ist auch .
Es sei ein Körper und . Eine Teilmenge heißt affiner Unterraum, wenn ( leer ist oder) es einen Untervektorraum und einen Punkt mit
gibt.
Unter einer Geraden (in Punktvektorform) versteht man einen affinen Unterraum der Form
mit einem von verschiedenen Vektor und einem Aufpunkt .
Unter einer Ebene (in Punktvektorform oder Parameterform) versteht man einen affinen Unterraum der Form
mit zwei Vektoren , die kein Vielfaches voneinander sind, und einem Aufpunkt .