Kurs:Herleitungs- und Aufgabensammlung (Physik)

Dieser Kurs gehört zum Fachbereich Physik.

Hallo Leute,
Es wäre doch gut, wenn wir nicht nur die Themen, sondern auch einige wichtige Aufgaben und Herleitungen zusammentragen würden. Dieser Kurs ist dementsprechend für alle, denen eine Herleitung fehlt oder die sonst noch irgendwie physikalisch/mathematische Probleme beim Lernen haben.
Ich denke es wäre gut, wenn man sich beim Posten an den Kapitelüberschriften orientieren würde, wie sie in der Themendiskussion zu finden sind, einstweilen habe ich hier mal die Nummerierung von Mircos Arbeitsblättern verwendet.

Wer wissen will, wie man Formeln eingibt, kann bei den bereits eingetragenen Beispielen oder bei der Formatierungshilfe für Formeln gucken.

Klassische Mechanik

Gerader, ideal elastischer Stoß

Beim geraden, ideal elastischen Stoß treffen zwei Körper mit den Massen $m_{1}$, $m_{2}$ und den Geschwindigkeiten $v_{1}$, $v_{2}$ aufeinander. Danach bewegen sie sich mit den Geschwindigkeiten $u_{1}$, $u_{2}$ weiter. Berechne die Geschwindigkeiten nach dem Aufprall!

Ansatz

Aufgrund der Bedingungen des geraden, ideal elastischen Stoßes gelten hier:

1. Der Energieerhaltungssatz:

${\frac {m_{1}}{2}}{v_{1}}^{2}+{\frac {m_{2}}{2}}{v_{2}}^{2}={\frac {m_{1}}{2}}{u_{1}}^{2}+{\frac {m_{2}}{2}}{u_{2}}^{2}$

1. Der Impulserhaltungssatz:

$\!\,m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}$

Lösung

• Der Energieerhaltungssatz lässt sich umformen zu:

$\!\,m_{1}({v_{1}}^{2}-{u_{1}}^{2})=m_{2}({u_{2}}^{2}-{v_{2}}^{2})$

• Mit der 3. binomischen Formel wird daraus:

$\!\,m_{1}(v_{1}+u_{1})(v_{1}-u_{1})=m_{2}(u_{2}+v_{2})(u_{2}-v_{2})$

• Jetzt formt man den Impulserhaltungssatz um:

$\!\,m_{1}(v_{1}-u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})$

• Dividiert man nun die Umformung des EES durch die Umformung des IES, erhält man:

$\!\,v_{1}+u_{1}=u_{2}+v_{2}$

$\Rightarrow v_{1}-v_{2}+u_{1}=u_{2}$

• Das wird in den umgeformten IES eingesetzt:

$\!\,m_{1}(v_{1}-u_{1})=m_{2}(v_{1}-v_{2}+u_{1}-v_{2})$

• Durch weitere Umformungsschritte erhält man:

$u_{1}={\frac {v_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}$

• Analog ergibt sich:

$u_{2}={\frac {v_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}v_{1}}{m_{1}+m_{2}}}$

Gravitation

Gravitationsfeldstärke

In welchem Punkt auf der Verbindungslinie der Schwerpunkte zweier Himmelskörper ist die gemeinsame Gravitationsfeldstärke gleich null?

Hinweis: Das gleiche Verfahren ist auf alle anderen Felder auch anwendbar.

Ansatz

Die Gravitationsfeldstärke der Felder 1 und 2 der beiden Himmelskörper 1 und 2 ist in diesem Punkt $P_{0}$ betragsmäßig gleich groß, aber entgegengesetzt gerichtet.

1. $\left|G_{1}\right|=\left|G_{2}\right|$

Die Masse des einen Himmelskörpers ist ein Vielfaches der Masse des anderen Himmelskörpers:

2. $\!\,m_{1}=n*m_{2}$

Die beiden Abstände der Schwerpunkte der beiden Himmelskörper zu diesem Punkt $P_{0}$ ergeben zusammen den Abstand der beiden Schwerpunkte der Himmelskörper.

3. $\!\,r_{1}+r_{2}=r_{ges}$

Lösung

Unter Vernachlässigung der Richtung:

$\!\,G_{1}=G_{2}$

$\gamma *{\frac {m_{1}}{{r_{1}}^{2}}}=\gamma *{\frac {m_{2}}{{r_{2}}^{2}}}$

Die Gravitationskonstante kürzt sich raus. Mit 2. gilt dann :

${\frac {n*m_{2}}{{r_{1}}^{2}}}={\frac {m_{2}}{{r_{2}}^{2}}}$

Dementsprechend kürzt sich nun auch $m_{2}$ raus.

${\frac {n}{{r_{1}}^{2}}}={\frac {1}{{r_{2}}^{2}}}$

Mit 3. gilt nun:

${\frac {n}{{r_{1}}^{2}}}={\frac {1}{(r_{ges}-r_{1})^{2}}}$

Jetzt wird die Gleichung mit den Nennern multiplziert:

$\!\,n*(r_{ges}-r_{1})^{2}={r_{1}}^{2}$

Man zieht nun die Wurzel:

$\pm {\sqrt {n}}*(r_{ges}-r_{1})=r_{1}$

• 1. Lösung:

$r_{1}={\sqrt {n}}*(r_{ges}-r_{1})$ $\mid +({\sqrt {n}}*r_{1})$

$r_{1}*({\sqrt {n}}+1)={\sqrt {n}}*r_{ges}$ $\mid :({\sqrt {n}}+1)$

$r_{1}={\frac {{\sqrt {n}}*r_{ges}}{{\sqrt {n}}+1}}$

• 2. Lösung:

$r_{1}=-{\sqrt {n}}*(r_{ges}-r_{1})$ $\mid -({\sqrt {n}}*r_{1})$

$r_{1}*(1-{\sqrt {n}})=-{\sqrt {n}}*r_{ges}$ $\mid :(1-{\sqrt {n}})$

$r_{1}={\frac {{\sqrt {n}}*r_{ges}}{{\sqrt {n}}-1}}$

Interpretation

Lösung 1 ergibt den Punkt zwischen den beiden Himmelskörpern, in welchem die gemeinsame Feldstärke auch tatsächlich 0 ist, der andere Punkt (Lösung 2) ist der Punkt hinter dem 2. Himmelskörper, in dem die Feldstärken zwar betragsmäßig gleich, aber gleich gerichtet sind und sich somit addieren, statt aufzuheben.

Herleitung der Hubarbeit im Gravitationsfeld:

Ansatz

• Definition der Arbeit

$\!\,W=F*s$

$W=F*\triangle r$ (angewendet auf das Gravitationsfeld)

$\!\,W=F*(r_{2}-r_{1})$

• Problem: F ist mit zunehmendem r nicht konstant

• Zerlegung in unendlich viele Teilstücke

• Integration:

$W=\int _{r_{1}}^{r_{2}}\mathrm {F} (r)\,\mathrm {d} r$

Lösung

• Funktion einsetzen:

$W=\int _{r_{1}}^{r_{2}}\mathrm {\gamma } *{\frac {m*M}{r^{2}}}\,\mathrm {d} r$

• Faktorregel (γ, m, M sind konstant):

$W=\gamma *m*M*\int _{r_{1}}^{r_{2}}\mathrm {\frac {1}{r^{2}}} \,\mathrm {d} r$

• Stammfunktion bilden:

$W=\gamma *m*M*\lbrack {\frac {-1}{r}}+c\rbrack _{r_{1}}^{r_{2}}$

$W=\gamma *m*M*\left({\frac {1}{r_{1}}}-{\frac {1}{r_{2}}}\right)$

• Größen:

m - Masse des verschobenen Probekörpers

M - Masse des Zentralkörpers

r - Abstand des Probekörpers vom Zentralkörper

γ - Gravitationskonstante

Interpretation

Man sieht bereits an der Formel, dass, wenn $r_{1}$ kleiner als $r_{2}$ ist, eine positive Hubarbeit verrichtet wurde. Dabei ist die verrichtete Arbeit unabhängig vom Abstand der beiden Punkte $P_{1}$ und $P_{2}$, sie ist lediglich abhängig vom Abstand dieser beiden Punkte zum Schwerpunkt des Zentralkörpers.

Elektrisches Feld

Herleitung für den Auf- und Entladevorgang eines Plattenkondensators

Ansatz

1. $R={\frac {U}{I}}$ (in dem gegebenen Gleichstromkreis)
2. $\!\,I=Q'(t)$ (Definition, da $I$ beschreibt, wieviel Ladungsträger pro Zeiteinheit auf den Kondensator fließt)
3. $C={\frac {Q}{U_{C}}}$ (Definition, da die Kapazität beschreibt, wieviel Ladungsträger bei einer bestimmten Spannung auf den Kondensator gelangen)
4. $\!\,I_{ges}=I_{1}=I_{2}=...=I_{n}=konstant$ (da es sich um eine Reihenschaltung handelt)
5. $\!\,U_{ges}=U_{1}+U_{2}+...+U_{n}=konstant$ (in unserem Falle also: $\!\,U_{ges}=U_{R}+U_{C}$, da es sich um eine Reihenschaltung handelt)

Lösung

• Aus 5. und 3. folgt:

$U_{ges}=U_{R}+{\frac {Q}{C}}$

• Mit 1. gilt:

$U_{ges}=RI+{\frac {Q}{C}}$

• Bildet man nun die Ableitung gilt (da $U_{ges}$ konstant ist, wird der linke Term 0, R und C sind konstante Faktoren)

$0=RI'(t)+{\frac {1}{C}}Q'(t)$

• Mit 2.gilt:

$0=RI'(t)+{\frac {I(t)}{C}}$

• Wir haben also eine Differenzialgleichung (Die Funktion und ihre Ableitung in einer Gleichung)

Lösung der DGL

$0=RI'(t)+{\frac {I(t)}{C}}$

• Division durch R (ungleich 0):

$0=I'(t)+{\frac {I(t)}{RC}}$

• Subtraktion des I(t)-Terms

$-{\frac {I(t)}{RC}}=I'(t)$

• Division durch I(t)

$-{\frac {1}{RC}}={\frac {I'(t)}{I(t)}}$

• nun wird nach der Zeit integriert

$-\int {\frac {1}{RC}}dt=\int {\frac {I'(t)}{I(t)}}dt$

• Der Linke Teil der Gleichung ist eine Konstante, damit leicht zu integrieren, der rechte Teil der Gleichung fällt unter den Spezialfall der Substitutionsregel (vgl. S.45 im TW.)

$-{\frac {t}{RC}}+c_{1}=ln(I(t))+c_{2}$

• Es handelt sich eigentlich um den Betrag von I(t), wir fassen c₂ und c₁ zusammen.

$-{\frac {t}{RC}}+c_{3}=ln(I(t))$

• Jetzt wird der Logarithmus aufgehoben.

$e^{-{\frac {t}{RC}}+c_{3}}=I(t)$

• Wir fassen jetzt $e^{c_{3}}$ zu c₄ zusammen.

$c_{4}\cdot e^{-{\frac {t}{RC}}}=I(t)$

Interpretation

• Anfangsbedingung für das Auf- und Entladen:

$I_{max}=I_{0}=c_{4}e^{{\frac {-1}{RC}}0}$

$\Rightarrow I_{max}=c_{4}$

• Damit lässt sich nun das gesuchte Stromstärke-Zeit-Gesetz für den Auf- und Entladevorgang eines Kondensators aufstellen:

$I(t)=I_{max}e^{{\frac {-1}{RC}}t}$

• Setzt man nun $U=RI$ ein und macht die Überlegung, dass beim Entladen $RI_{max}=U_{ges}$ ist, ergibt sich das Spannungs-Zeit-Gesetz für die Entladung:

$U(t)=U_{ges}e^{{\frac {-1}{RC}}t}$

• Für den Aufladevorgang ergibt sich die Umkehrung (Herleitung nicht klar!):

$U(t)=U_{ges}\left(1-e^{{\frac {-1}{RC}}t}\right)$

• Verwendete Größen:

$U_{ges}$ - Gesamtspannung (Ladespannung)

$U_{R}$ - Spannung am Widerstand

$U_{C}$ - Spannung am Kondensator

I - Stromstärke

Q - Ladung

$c_{n}$ - Konstanten

R - Widerstand

t - Zeit

C - Kapazität des Kondensators

Magnetisches Feld

Herleitung der Lorentzkraft

Experiment und Ansatz

Die vektorielle Schreibweise wäre eigentlich notwendig, man kann die Herleitung aber auch größtenteils ohne diese nachvollziehen. An einigen Stellen kann jedoch nicht auf eine vektorielle Betrachtung verzichtet werden. Bei Experimenten bezüglich der Kraftwirkung eines Magnetfelder auf einen stromdurchflossenen Leiter wurde festgestellt:

1. $\!\,F\sim I;L=konstant$
2. $\!\,F\sim L;I=konstant$

$\Rightarrow F=k*I*l$

K ist unabhängig von Material und Bauart des Leiters. K ist nur abhängig von der Stärke des Magnetfeldes, man kann also annehmen, dass es sich dabei um die analoge Größe zu den „Feldstärken“ beim elektrischen –und beim Gravitationsfeld handelt. Diese Größe B= F/(I*l) -wenn der Vektor B senkrecht auf dem Vektor I steht- nennt man „Magnetische Flussdichte“. Wir werden nun versuchen von der Kraftwirkung auf einen stromdurchflossenen Leiter auf die Kraftwirkung auf einen einzelnen bewegten Ladungsträger zu schließen:

• Größen:

v – Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger

A - Leiterquerschnitt

ΔL = v * t – Längenabschnitt des Leiters

A * ΔL = ΔV – Volumenabschnitt des Leiters

n - Anzahl der Ladungsträger in einer Volumeneinheit

Q - Ladung dieser Ladungsträger

Lösung

• In einem bestimmten Zeitintervall ∆t fließen alle Ladungsträger , die sich in einem bestimmten Volumenabschnitt des Leiters (∆V) befinden und die Ladung Q besitzen durch einen Leiterquerschnitt A.

$\Rightarrow I={\frac {n*Q*\Delta V}{t}}={\frac {n*Q*A*v*t}{t}}=n*Q*A*v$

• Man multipliziert nun mit der Länge L

${\vec {I}}*L=n*Q*A*L*{\vec {v}}=n*Q*V*{\vec {v}}=N*Q*{\vec {v}}$

• N ist hierbei die Zahl der bewegten LT. Im Volumen V

• Man multipliziert nun mit der Flussdichte B um auf der linken Seite der Gleichung F zu erhalten.

${\vec {I}}*L*{\vec {B}}={\vec {F}}=N*Q*{\vec {v}}*{\vec {B}}$

• Man hat nun die Kraft auf alle Ladungsträger in einem bestimmten Leiterabschnitt. Stellt man nun die Überlegung an, dass alle diese Ladungsträger die gleiche Ladung und Geschwindigkeit besitzen, so kommt man zu dem Schluss, dass auf alle N Ladungsträger dieselbe Kraft FL wirkt.Wir dividieren also durch N um diese sogenannte „Lorentzkraft“ zu erhalten, diese ist die gesuchte Kraft auf einen einzelnen bewegten Ladungsträger.

${\vec {F}}_{L}=Q*{\vec {v}}*{\vec {B}}$

• Gültigkeitsbedingung:Die Vektoren von B und v stehen senkrecht aufeinander!

Für eine vektorielle Betrachtung der Lorentzkraft siehe Metzler S.227

Hallspannung

Messung der magnetischen Flussdichte mit einer Hallsonde. (Media:Skizze ist auf einem Testarbeitsblatt)

Ansatz

1. Annahme: Es gibt nur eine Sorte von Ladungsträgern (Elektronen), die zum Stromfluss beitragen
2. Annahme: Alle Ladungsträger passieren das Metallband mit der gleichen Geschwindigkeit

Beobachtung

• Im Sondenkreislauf entsteht eine Spannung

Auswertung

• Das Magnetfeld wirkt mit der Lorentzkraft auf die Elektronen im Silberband.
• Durch die dabei entstehende Ablenkung der Elektronen wird ein elektrisches Feld zwischen den Sondenkontakten (an Ober- und Unterseite des Silberbandes) erzeugt, wodurch eine Spannung im Sondenkreislauf erzeugt wird (Hallspannung)
• Die maximale Hallspannung wird erreicht, wenn Lorentzkräfte und Abstoßungkräfte im Sondenleiter gleich groß sind:

$\!\,F_{L}=F_{E}$ $\mid F_{E}=q*{\vec {E}}=q*{\frac {U_{H}}{b}}$

$F_{L}=q*{\frac {U_{H}}{b}}$ $\mid F_{L}=q*v*B$

$q*v*B=q*{\frac {U_{H}}{b}}$ $\mid :({\frac {q}{b}})$

$\!\,b*v*B=U_{H}\rightarrow B={\frac {U_{H}}{b*v}}$

• Größen:

q - Ladung eines Elektrons

E - Elektrische Feldstärke zwischen den Sondenkontakten

U - Hallspannung (Spannung im Sondenkreislauf)

b - Abstand der Sondenkontakte (Breite des Silbebandes)

B - Magnetische Flussdichte des Magnetfeldes, das das Silberband durchdringt

v - Geschwindigkeit der Elektronen im Silberband

Elektromagnetische Induktion

Grundsätzliches Vorgehen bei der Anwendung des Induktionsgesetzes

Ausgangsbasis Induktionsgesetz

• Für Spulen mit n Windungen gilt, dass die induzierte Spannung gleich dem Produkt aus der negativen Windungszahl mit der Änderung des magnetischen Flusses Φ ist:

$U_{i}=-n*{\frac {d\Phi }{dt}}$

$\Rightarrow U_{i}=-n*{\frac {d(B*A*\cos \alpha )}{dt}}$

$\Rightarrow U_{i}=-n*{\frac {d(B*A*\cos \angle ({\vec {B}};{\vec {A}}))}{dt}}$

• Größen

n - Windungszahl

B - Magnetische Flussdichte

A - Querschnittsfläche der Leiterschleifen

α - Winkel zwischen dem Flächenvektor der Querschnittsfläche und dem Richtungsvektor der magnetischen Flussdichte

Fallunterscheidung

Konstanter Winkel

• Ist der Winkel konstant, kann man ihn gemäß der Faktorregel für Ableitungen ausklammern:

$U_{i}=-n*\cos \alpha *{\frac {d(B*A)}{dt}}$

• Jetzt kann man die Produktregel anwenden, um die Ableitung zu bilden:

$\!\,U_{i}=-n*\cos \alpha *(B'(t)*A+A'(t)*B)$

Konstante magnetische Flussdichte

• Ist die magnetische Flussdichte B konstant, kann man sie gemäß der Faktorregel für Ableitungen ausklammern:

$U_{i}=-n*B*{\frac {d(\cos \alpha *A)}{dt}}$

• Jetzt kann man die Produktregel anwenden, um die Ableitung zu bilden:

$\!\,U_{i}=-n*B*((\cos \alpha )'(t)*A+A'(t)*\cos \alpha )$

Konstante Queschnittsfläche

• Ist Querschnittsfläche A konstant, kann man sie gemäß der Faktorregel für Ableitungen ausklammern:

$U_{i}=-n*A*{\frac {d(\cos \alpha *B)}{dt}}$

• Jetzt kann man die Produktregel anwenden, um die Ableitung zu bilden:

$\!\,U_{i}=-n*A*((\cos \alpha )'(t)*B+B'(t)*\cos \alpha )$

Beispiel 1

In einer rechteckigen Leiterschleife, deren Querschnittsfläche im magnetischen Feld (Flussdichte B) mit der Breite b und und der Länge $l(t)=l_{0}+vt$ beschrieben wird, kommt es durch die Bewegung mit der Geschwindigkeit v zu einer Spannungsinduktion. Es gilt:

$\qquad {\vec {v}}\bot {\vec {B}}$

Berechne die Spannung $U_{i}$ !

Ansatz

• Konstante Größen:

$n=1$

$B$

α=0°, cos(α)=1

Lösung

• Anpassung des Induktionsgesetzes (konstante Faktoren ausklammern):

$U_{i}=-B*{\frac {dA}{dt}}$

• Gleichungen für zeitabhängige Größen aufstellen:

$\!\,A(t)=l(t)*b$

$\!\,A(t)=(l_{0}+vt)*b=b*l_{0}+b*vt$

• In das Induktionsgesetz einsetzen und ableiten:

$U_{i}=-B*{\frac {dA}{dt}}$

$U_{i}=-B*{\frac {d(b*l_{0}+b*vt)}{dt}}$

$\!\,U_{i}=-B*b*v$

Relativitätstheorie

Relativität der Gleichzeitigkeit

Wieso ist die Zeit in der Theorie Einsteins relativ?

Die spezielle Relativitätstheorie beruht auf zwei Postulaten:

1. Das Relativitätsprinzip: Alle Inertialsysteme sind zur Beschreibung von Naturvorgängen gleichberechtigt. Die Naturgesetze haben in allen Inertialsystemen die gleiche mathematische Form.
2. Das Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit: In allen Inertialsystemen hat die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum den gleichen Wert von c=299792 km/s .

Aus dem folgenden Gedankenexperiment ergibt sich die Relativität der Gleichzeitigkeit:

Zwei Raketen bewegen sich mit v=1/2 c in entgegengesetzen Richtungen aneinander vorbei. In Heck und Bug der Raketen befindet sich je eine Uhr. Diese Uhren sollen synchronisiert werden, dazu wird zu dem Zeitpunkt, da die beiden Raketen auf gleicher Höhe sind, in dem geometrischen Mittelpunkt der Raketen ein Lichtimpuls ausgelöst. Für einen Beobachter der sich mit Rakete 1 mitbewegt kommt das Licht an beiden Uhren seiner Rakete gleichzeitig an (Prinzip der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit). Beobachtet er allerdings die Uhren der anderen Rakete, so stellt er fest, dass die Uhr im Heck früher vom Lichtimpuls erreicht wird, als die im Bug, da sie sich „dem Licht entgegen“ bewegt, während die andere Uhr „vor dem Licht davonfliegt“. Ein Beobachter, der sich in Rakete 2 befindet würde dementsprechend feststellen, dass die Uhren seiner Rakete gleichzeitig angehen, während die in Rakete 1 zeitversetzt starten. Da nach dem Relativitätsprinzip aber beide Inertialsysteme gleichberechtigt sind, muss der Gedanke einer „absoluten Zeit“ als Bedingung für eine „absolute Gleichzeitigkeit“ verworfen werden. Diese Erkenntnis hat weitreichende Bedeutung für die Beschreibung der Realität, da sie die klassischen Transformationsgleichungen zur Makulatur machen. Im Folgenden sollen allgemein gültige, neue Transformationsgleichungen hergeleitet werden!

Herleitung der Lorentztransformation

Größen

• $v_{0}$ ...Relativgeschwindigkeit

• k...relativistischer Faktor

Größe	Bezugssytem Σ	Bezugssytem Σ'
Zeit	t	t'
Ort (wir betrachten nur die x-Richtung)	x	x'
Lichtgeschwindigkeit c	c	c

Ansatz

• Bisher galt:

$\!\ x'=x-v_{0}*t$

$\!\ t=t'$

• Nach Einstein gilt:

$\!\ x'=k*(x-v_{0}*t)$

bzw.: $\!\ x=k*(x'+v_{0}*t)$

$\!\ t\not =t'$

Gesucht ist nun der relativistische Faktor k!

Lösung

Eine Skizze des Datei:Gedankenexperiments von Hendrik Anton Lorentz sollte jeder im Hefter haben...

Hier eine kurze Beschreibung: Ein Zug (Σ') auf dem Beobachter 1 sitzt, bewegt sich mit fast Lichtgeschwindigkeit an einem Bahndamm (Σ) vorbei, auf dem Beobachter 2 steht. Von der Mitte des Zuges wird ein Lichtimpuls ausgesendet, der in einer bestimmten Zeit die beiden Enden des Zuges P1 und P2 erreicht.

• Für Beobachter 1 gilt:

$t_{p1}=t_{p2}={\frac {x}{c}}\qquad da\ gilt:c={\frac {x}{t}}$

• Für Beobachter 2 gilt:

$t_{p1}'\not =t_{p2}'\qquad da\ p_{1}\ dem\ Licht\ entgegen\ eilt$

$\Rightarrow t_{p1}'={\frac {x'_{p_{1}}}{c}}\land x_{p_{1}}'<x$

• Aus beiden Beobachtungen folgt:

$\!\ x=t*c$

$\!\ x'=t'*c$

• Setzt man dies nun in die obigen veränderten Transformationsgleichungen ein erhält man:

• Für die Zeit:

$\!\ c*t'=k*(x-v_{0}*t)$

$\!\ c*t=k*(x'+v_{0}*t')$

• für den Ort:

$x'=k*\left(x-v_{0}*{\frac {x}{c}}\right)$

$x=k*\left(x'+v_{0}*{\frac {x'}{c}}\right)$

• Bei der letzten Gleichung wird nun x' ausgeklammert

$x=k*x'*\left(1+{\frac {v_{0}}{c}}\right)$

$x'={\frac {x}{k*(1+{\frac {v_{0}}{c}})}}$

• Nun ersetzt man x' mit der obigen Gleichung

$k*(x-v_{0}*{\frac {x}{c}})={\frac {x}{k*(1+{\frac {v_{0}}{c}})}}$

• nun kann man auf der linken Seite x ausklammern, es kürzt sich dann raus

$k^{2}={\frac {1}{(1+{\frac {v_{0}}{c}})*(1-{\frac {v_{0}}{c}})}}$

$k={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v_{0}}{c}})^{2}}}}$

Konsequenzen

Damit haben wir nun den Korrekturfaktor (relativistischer Faktor) der relativistischen Transformationsgleichungen (Lorentztransformationen) bestimmt. Es zeigt sich, dass dieser Faktor immer größer wird, je weiter sich v der Lichtgeschwindigkeit annährt. Es ist damit in jedem Fall neu zu entscheiden, ob man die Lorentztransformationen anzuwenden hat oder nicht.Die Formeln lauten:

• für den Ort:

$x'=k*(x-v_{0}*t)\qquad mit:t=t'$

$x=k*(x'+v_{0}*t')\qquad mit:t=t'$

• mit der Lösung für k gilt nun:

$\color {red}x'={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v_{0}}{c}})^{2}}}}*(x-v_{0}*t)\qquad mit:t=t'$

$\color {red}x={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v_{0}}{c}})^{2}}}}*(x'+v_{0}*t')\qquad mit:t=t'$

• für die Zeit:

$\!\ c*t'=k*(x-v_{0}*t)$

$\!\ c*t=k*(x'+v_{0}*t')$

• mit der Lösung für k gilt nun:

$\!\ c*t'={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v_{0}}{c}})^{2}}}}*(x-v_{0}*t)$

$\!\ t'={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v_{0}}{c}})^{2}}}}*\left({\frac {x}{c}}-{\frac {v_{0}*t}{c}}\right)$

• mit $t={\frac {x}{c}}$

$\!\ \color {red}t'={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v_{0}}{c}})^{2}}}}*\left(t-{\frac {v_{0}*x}{c^{2}}}\right)$

• analog für t

$\!\ \color {red}t={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v_{0}}{c}})^{2}}}}*\left(t'+{\frac {v_{0}*x'}{c^{2}}}\right)$

Mit diesen Formeln ist es nun möglich Phänomene wie die Zeitdilatation oder die Längenkontraktion zu erklären.

Die Zeitdilatation

Gedankenexperiment

Eine bewegte Uhr C (Σ') fliegt an zwei synchronisierten Uhren A und B mit dem Abstand l (Σ) vorbei. Beim Vorbeiflug an Uhr A wird Uhr C gestartet.

Auswertung des Experiments

• Größen:

x...Weg den das bewegte Bezugssystem zurücklegt

t...Zeit

k...relativistischer Faktor

v...Relativgeschwindigkeit

Ereignis	Σ	Σ'
E1: Vorbeiflug von C an A; Start von C	$\!\ x_{E1}=0$	$\!\ x'_{E1}=0$
	$\!\ t_{E1}=beliebig=0$	$\!\ t'_{E1}=0$
E2: Vorbeiflug von C an B	$\!\ x_{E2}=l$	$\!\ x'_{E2}=k*(x_{E2}*v_{0}*t_{E2})=0$
	$\!\ t_{E2}=\Delta t={\frac {l}{v}}$	$\!\ t'_{E2}=k*\left(t_{E2}-{\frac {v_{0}*l}{c^{2}}}\right)$

• Das bedeutet allgemein:

$\!\ t'=k*\left(\Delta t-{\frac {v_{0}*l}{c^{2}}}\right)$

$\!\ t'=k*\Delta t\left(1-{\frac {v_{0}*l}{c^{2}*\Delta t}}\right)\qquad mit:{\frac {l}{\Delta t}}=v_{0}$

$\!\ t'={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {v_{0}}{c}})^{2}}}}*\Delta t*\left(1-{\frac {v_{0}^{2}}{c^{2}}}\right)$

• $mit:{\frac {a}{\sqrt {a}}}={\frac {{\sqrt {a}}*{\sqrt {a}}}{\sqrt {a}}}={\sqrt {a}}$

$\color {red}\!\ t'={\sqrt {1-({\frac {v_{0}}{c}})^{2}}}*\Delta t$

$\color {red}\!\ t={\frac {t'}{\sqrt {1-({\frac {v_{0}}{c}})^{2}}}}$

Konsequenzen

Wir erhalten nun Gleichungen die -unabhängig vom Weg- die Umrechnung der vergangenen Zeit in einem Bezugssystem zu einem relativ dazu bewegten Bezugssystem ermöglichen. Es zeigt sich, dass der Wurzelterm dabei nur für v<c definiert ist. Die Lichtgeschwindigkeit ist also eine Grenzgeschwindigkeit. Da aber so der Wurzelterm stehts kleiner 1 ist, ergibt sich:

$\!\ \Delta t'<\Delta t$

Bewegt sich also eine Uhr an mehreren synchronisierten Uhren vorbei, die in einem Inertialsystem ruhen, so geht sie im Vergleich zu diesen Uhren langsamer.Das meint man, wenn man vereinfacht schreibt: Bewegte Uhren gehen langsamer!

Elektromagnetische Wellen

Funktionsweise eines einfachen Diodenempfängers

Bauplan eines einfachen Diodenempfängers

Die Antenne fängt hertzsche Wellen auf, das sind elektromagnetische Wellen, die sich von irgendeinem Sender im Raum ausbreiten. Dieses "Auffangen" geschieht dadurch, dass die Antenne als hertz'scher Dipol einen Schwingkreis darstellt, der durch die zeitliche Änderung des elektromagnetischen Feldes zum Schwingen angeregt wird. Die Antenne regt nun den Schwingkreis in der Schaltung (bestehend aus Spule und Kondensator) zum Mitschwingen an, gesetzt den Fall, die Eigenfrequenz dieses Schwingkreises ist über die veränderliche Kapazität des Kondensators so geregelt, dass Resonanz auftritt. Dies ist genau dann der Fall, wenn die Eigenfrequenzen der Antenne und des Schaltungsschwingkreises gleich sind. Die Kapazität eines Kondensators lässt sich auf vielen Wegen beeinflussen, so kann das Dielektrikum, die Plattenfläche oder der Plattenabstand verändert werden, wobei Letzteres am Einfachsten zu realisieren sein dürfte. (Die HF-Diode wirkt als Demudolator? -hier bitte korrekte Formulierung der Rolle der Diode einfügen) Die am Kopfhörer anliegende Wechselspannung ist hochfrequent, da die Massenträgheit der Kopfhörermembran aber ein Mitschwingen in dieser Frequenz verhindert, schwingt die Membran im niederfrequenten, daher hörbaren Bereich.

Teilchen in Feldern

Ganghöhe s der Spiralbahn eines Elektrons im Magnetfeld

In den meisten Berechnungen gehen wir davon aus, dass das Elektron senkrecht zu den Feldlinien des homogenen Magnetfelds der Helmholtz-Spulen in dieses eintritt. In diesem Fall beschreibt es -weil der Betrag der Lorentzkraft stets gleich und ihre Richtung stets senkrecht auf der Bewegungsrichtung des Elektrons steht- eine Kreisbahn. Tritt das Elektron (bzw. in unseren Schulexperimenten der Elektronenstrahl) schräg in das Feld ein (weil man zum Beispiel die Elektronenstrahlröhre dreht) ergibt sich eine Spiralbahn. Die Ganghöhe (Abstand der einzelnen Spiralschleifen)einer solchen Spirale berechenbar zu machen, soll Inhalt dieses Abschnitts sein.

Ansatz

Datei:Spiralbahn.jpg

• Superpositionsprinzip

Wir zerlegen die Bewegung des Elektrons in eine Bewegung parallel zu den Feldlinien mit der Geschwindigkeit vp und in eine Bewegung senkrecht zu den Feldlinien mit der Geschwindigkeit vs. Die Bewegung senkrecht zu den Feldlinien führt dabei, wie in gehabt zu einer Kreisbewegung, während durch die parallel zu den Feldlinien verlaufende Geschwindigkeit keine Kraftwirkung entsteht und es sich darum um eine gleichförmige Bewegung handelt. Die Überlagerung beider Bewegungen führt zu der beobachteten Spiralbahn.

Lösung

1.Bestimmung der Eintrittsgeschwindigkeit

• Verantwortlich für das erreichen der Eintrittsgeschwindigkeit vges ist die in der Elektronenstrahlröhre verrichtete Arbeit:

$W=\Delta E=E_{kin,2}-E_{kin,1}\mid mitE_{kin,1}=0$

$\!\ W=E_{kin,2}$

$\!\ E_{kin,2}={\frac {1}{2}}*m*v^{2}$

$\!\ W={\frac {1}{2}}*m*v^{2}$

• Per Definition gilt: Die Spannung ist die Arbeit, die pro Ladung verrichtet wird

$U={\frac {W}{Q}}\Leftrightarrow W=Q*U$

$Q*U={\frac {1}{2}}*m*v^{2}$

$v^{2}={\frac {2*Q*U}{m}}$

$v={\sqrt {\frac {2*Q*U}{m}}}$

• Angewendet auf unseren Fall heißt die Formel für die Eintrittsgesamtgeschwindigkeit also:

$v_{ges}={\sqrt {\frac {2*e*U_{B}}{m_{e}}}}$

2. Bestimmung der Teilkomponenten

• $vp$

$\!\ vp=\cos \alpha *v_{ges}$

$vp=\cos \alpha *{\sqrt {\frac {2*e*U_{B}}{m_{e}}}}$

• $vs$

$\!\ vs=\sin \alpha *v_{ges}$

$vs=\sin \alpha *{\sqrt {\frac {2*e*U_{B}}{m_{e}}}}$

3. Bestimmung der Umlaufzeit der Kreisbahn

Da die Bewegungskomponente senkrecht zu den Feldlinien durch die Lorentzkraft -mit stets gleichem Betrag- abgelenkt wird ergibt sich eine Kreisbahn. Wenn wir die Umlaufzeit T des Elektrons auf dieser Kreisbahn kennen, können wir diese später als Zeit in die Gleichung der gleichförmigen Bewegungskomponente einsetzen um den gesuchten Abstand der Spiralschleifen zu erhalten.

• Für eine Kreisbewegung gilt:

$v={\frac {2*\pi *r}{T}}\Leftrightarrow T={\frac {2*\pi *r}{v}}$

• angewendet auf unsern Fall:

$T={\frac {2*\pi *r}{v_{s}}}$

3.1 Bestimmung des Radius der Kreisbahn

• Für jede Kreisbewegung stellt sich die Frage: "Welche Kraft bringt die Radialkraft auf?" , in unserem Fall ist das die Lorentzkraft $F_{L}$.

$\!\ F_{L}=F_{R}$

$e*v_{s}*B=m_{e}*{\frac {v_{s}^{2}}{r}}\mid da\ gilt:{\vec {v}}\bot {\vec {B}}$

$e*B=m_{e}*{\frac {v_{s}}{r}}$

$e*B=m_{e}*{\frac {v_{s}}{r}}\mid *{\frac {r}{B*e}}$

$r={\frac {m_{e}*v_{s}}{B*e}}$

• $\!\ v_{s}$ wird nun über den gleichen Ansatz wie oben ( $U={\frac {W}{Q}}\ \land \ W=E_{kin,2}-E_{kin,1}$ ) eliminiert, man erhält:

$r={\frac {m_{e}*{\sqrt {\frac {2*U_{B}*e}{m_{e}}}}}{B*e}}$

• umgeformt lautet die Gleichung:

$r={\sqrt {\frac {2*U_{B}*e*m_{e}^{2}}{m_{e}*B^{2}*e^{2}}}}$

• gekürzt:

$r={\sqrt {\frac {2*U_{B}*m_{e}}{B^{2}*e}}}$

• setzt man den so erhaltenen Radius in die obige Gleichung für die Umlaufzeit ein erhält man:

$T={\frac {2*\pi *{\sqrt {\frac {2*U_{B}*m_{e}}{B^{2}*e}}}}{v_{s}}}$

• nun wird die senkrechte Geschwindigkeitskomponente mit der oben hergeleiteten Gleichung ersetzt:

$T={\frac {2*\pi *{\sqrt {\frac {2*U_{B}*m_{e}}{B^{2}*e}}}}{\sin \alpha *{\sqrt {\frac {2*e*U_{B}}{m_{e}}}}}}$

4. Anwenden des Superpositionsprinzips zur Bestimmung der Ganghöhe s

Da sich gleichzeitig zur Kreisbewegung das Teilchen auch noch parallel zu den Feldlinien bewegt erhält man eine Spiralbahn. Diesen Umstand kann man ausnutzen: Wenn man T in vp einsetzt, erhält man s.

$v={\frac {s}{t}}\Leftrightarrow s=v*T$

$s=v_{p}*T$

$s=v_{p}*{\frac {2\pi *{\sqrt {\frac {2*U_{B}*m_{e}}{B^{2}*e}}}}{\sin \alpha *{\sqrt {\frac {2*e*U_{B}}{m_{e}}}}}}$

• man ersetzt nun $v_{p}$ mit der anfangs hergeleiteten Gleichung

$s=\cos \alpha *{\sqrt {\frac {2*e*U_{B}}{m_{e}}}}*{\frac {2\pi *{\sqrt {\frac {2*U_{B}*m_{e}}{B^{2}*e}}}}{\sin \alpha *{\sqrt {\frac {2*e*U_{B}}{m_{e}}}}}}$

• gekürzt:

$s=\cos \alpha *{\frac {2\pi *{\sqrt {\frac {2*U_{B}*m_{e}}{B^{2}*e}}}}{\sin \alpha }}$

• sin α und cos α werden zusammengefasst, B^2 fällt aus der Wurzel raus; die finale Gleichung für die Ganghöhe s lautet also:

$\color {red}s={\frac {2\pi *{\sqrt {\frac {2*U_{B}*m_{e}}{e}}}}{\tan \alpha *B}}$

Quantenphysik

Compton-Effekt

Bei Streuversuchen mit Photonen stellt man fest, dass es für jeden Winkel (zum Einfallslot) verschiedene Wellenlänge der gestreuten Strahlung gibt (Compton-Effekt). In den Atomhüllen wechselwirken dabei die eingestrahlten Photonen (Wellenlänge $\lambda _{1}$) mit den Elektronen der Atome. Je nach Streuwinkel ergibt sich für die gestreute Strahlung eine andere Wellenlänge ($\lambda _{2}$).

Berechne die Änderung der Wellenlänge $\triangle \lambda =\lambda _{2}-\lambda _{1}$ in Abhängigkeit vom Streuwinkel!

Ansatz

• Für Energie und Impuls von Photon und Elektron ergeben sich zunächst folgende Gegebenheiten:

	Vor der Streuung (1)	Nach der Streuung (2)
Photon	$E_{Ph,1}={\frac {hc}{\lambda _{1}}}=p_{Ph,1}c$	$E_{Ph,2}={\frac {hc}{\lambda _{2}}}=p_{Ph,2}c$
	$p_{Ph,1}={\frac {h}{\lambda _{1}}}$	$p_{Ph,2}={\frac {h}{\lambda _{2}}}$
Elektron	$\!\,E_{e,1}=m_{e,1}c^{2}$	$\!\,E_{e,2}=m_{e,2}c^{2}$
	$\!\,p_{e,1}=0$	$\!\,p_{e,2}=m_{e,2}v_{e,2}$

• Des weiteren gilt der Impulserhaltungssatz, der hier mit dem Kosinussatz verallgemeinert wird (Skizze):

1. ${p_{e,2}}^{2}={p_{Ph,1}}^{2}+{p_{Ph,2}}^{2}-2{p_{Ph,1}}{p_{Ph,2}}\cos \phi$

• Ebenso benötig wird die relativistische Energie-Impuls-Beziehung:

2. $\!\,E^{2}=(m_{0}c^{2})^{2}+(pc)^{2}$

• Und der Energieerhaltungssatz:

3. $\!\,E_{Ph,1}+E_{e,1}=E_{Ph,2}+E_{e,2}$

Lösung

• Multipliziert man 1. mit $c^{2}$, erhält man:

${p_{e,2}}^{2}c^{2}=(p_{Ph,1}c)^{2}+(p_{Ph,2}c)^{2}-2(p_{Ph,1}c)(p_{Ph,2}c)\cos \phi$

${p_{e,2}}^{2}c^{2}={E_{Ph,1}}^{2}+{E_{Ph,2}}^{2}-2{E_{Ph,1}}{E_{Ph,2}}\cos \phi$

• Laut 2. gilt für das Elektron:

$\!\,{p_{e,2}}^{2}c^{2}={E_{e,2}}^{2}-{E_{e,1}}^{2}$

• Setzt man nun beide Terme gleich, ergibt sich:

${E_{e,2}}^{2}-{E_{e,1}}^{2}={E_{Ph,1}}^{2}+{E_{Ph,2}}^{2}-2{E_{Ph,1}}{E_{Ph,2}}\cos \phi$

• Formt man nun noch 3. nach $E_{e,2}$ um und quadriert die erhaltene Gleichung, erhält man:

${E_{e,2}}^{2}={E_{Ph,1}}^{2}+2{E_{Ph,1}}{E_{e,1}}-2{E_{Ph,1}}{E_{Ph,2}}+{E_{e,1}}^{2}-2{E_{e,1}}{E_{Ph,2}}+{E_{Ph,2}}^{2}$ $\mid -{E_{e,1}}^{2}$

${E_{e,2}}^{2}-{E_{e,1}}^{2}={E_{Ph,1}}^{2}+2{E_{Ph,1}}{E_{e,1}}-2{E_{Ph,1}}{E_{Ph,2}}-2{E_{e,1}}{E_{Ph,2}}+{E_{Ph,2}}^{2}$

• Nun wird dieser Term mit dem vorhergehenden gleichgesetzt:

$\!\,{E_{Ph,1}}^{2}+2{E_{Ph,1}}{E_{e,1}}-2{E_{Ph,1}}{E_{Ph,2}}-2{E_{e,1}}{E_{Ph,2}}+{E_{Ph,2}}^{2}={E_{Ph,1}}^{2}+{E_{Ph,2}}^{2}-2{E_{Ph,1}}{E_{Ph,2}}\cos \phi$

• Durch einfache Äquivalenzumformung ergibt sich:

$\!\,{E_{Ph,1}}{E_{e,1}}-{E_{e,1}}{E_{Ph,2}}={E_{Ph,1}}{E_{Ph,2}}-{E_{Ph,1}}{E_{Ph,2}}\cos \phi$ $\mid :({E_{Ph,1}}{E_{Ph,2}}{E_{e,1}})$

${\frac {1}{E_{Ph,2}}}-{\frac {1}{E_{Ph,1}}}={\frac {1-\cos \phi }{E_{e,1}}}$

• Setzt man nun die obigen Bedingungen (s. Ansatz) für die Energien ein, erhält man:

${\frac {\lambda _{2}}{hc}}-{\frac {\lambda _{1}}{hc}}={\frac {1-\cos \phi }{m_{e,1}c^{2}}}$ $\mid *(hc)$

$\triangle \lambda ={\frac {h}{m_{e,1}c}}(1-\cos \phi )$

• Ist das Elektron zunächst in Ruhelage, so ist $m_{e,1}=m_{e}$:

$\triangle \lambda ={\frac {h}{m_{e}c}}(1-\cos \phi )=\lambda _{C}(1-\cos \phi )$

• Größen:

h - Plancksches Wirkungsquantum

$m_{e}$ - Ruhemasse eines Elektrons

c - Lichtgeschwindigkeit

$\phi$ - Streuwinkel (s. Skizze)

$\lambda _{C}$ - Comptonwellenlänge (hier für Elektronen)

Photoeffekt

Bestimmung von h

Betrachtet wird das Experiment des Photoeffekts mit einer Photozelle und einem in Reihe geschalteten Kondensator.

Gesucht ist die Engergie der Photoelektronen (bzw. der Photonen).

Durchführung

Die Photozelle (Cäsium) wird mit Licht unterschiedlicher Wellenlängen bzw. Frequenzen (blau, blaugrün, grün, orange, rot) bestrahlt. Gleichtzeitig wird am Kondensator die Spannung gemessen.

Beobachtung

Für jede Wellenlänge stellt sich eine bestimmte Spannung am Kondensator ein. Je kurzwelliger (hochfrequenter) das Licht ist, desto größer ist die Spannung.

Auswertung

Trifft Licht mit einer Frequenz f auf eine Metallplatte (Cäsium), so ist es in der Lage, seine Energie auf die Elektronen zu übertragen und diese aus dem Metall herauszulösen (Entstehung der Spannung). Wenn sich die Spannung U am Kondensator eingestellt hat, kommt es zu einem Kräftegleichgewicht zwischen den in der Photozelle herausgelösten Elektronen und den Elektronen, die bereits auf dem Kondensator sind. So entsteht ein Gleichgewicht zwischen der kinetischen Energie der Elektronen, die von den Photonen herausgelöst werden ($E_{kin,e}$) und der elektrischen Energie, die ein Elektron auf dem Kondensator hat ($E_{el}$). Es gilt dann:

$\!\,E_{kin,e^{-}}=E_{el}$

$\!\,E_{kin,e^{-}}=Ue$

Multipliziert man nun die gemessenen Spannungswerte mit der Elektronenladung e, erhält man für jedes Licht einen bestimmten Energiewert der herausgelösten Elektronen. Dieser Wert ist umso größer, je höher die Frequenz ist. Trägt man diese Werte in ein Frequenz - Energie - Diagramm ein, erkennt man eine lineare Abhängigkeit der Energie der Photoelektronen von der Frequenz des Lichtes.

Der Propotianlitätsfaktor (die Steigung der Funktion) ist h. Die Funktion ist zusätzlich um den Energiewert nach unten verschoben, der benötigt wird, um die Elektronen aus dem Metall zu lösen (Auslösearbeit $W_{A}$).

$\!\,E_{kin,e^{-}}=Ue=hf-W_{A}$

Um Elektronen herauszulösen (= positiver Wert für $E_{kin,e}$, bei negativen Werten fallen die Elektronen wieder zurück) muss also gelten:

$\!\,hf\geq W_{A}$

Daraus ergibt sich die Grenzfrequenz $f_{G}$, für die gilt:

$\!\,E(f_{G})=hf_{G}=W_{A}$

Somit lässt sich zu Bestimmung für h die folgende Formel aufstellen:

$\!\,h={\frac {W_{A}}{f_{G}}}$

Für die Energie des Lichtes, die man mit der Gesamtenergie der Photoelektronen (Summe der Energie, die zum Herauslösen benötigt wird und der kinetischen Energie der Elektronen nach dem Herauslösen) gleichsetzen kann, da die Photonen ihre Energie vollständig auf die Elektronen übertragen, gilt:

$\!\,E_{Ph}(f)=hf=W_{A}+E_{kin,e^{-}}$

$\!\,E_{Ph}(f)=hf=W_{A}+Ue$

h ist für alle Metalle gleich, nur die Auslösearbeit ist unterschiedlich.