Kurs:Körper- und Galoistheorie (Osnabrück 2011)/Liste der Hauptsätze/latex
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x^3 +px+q
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{p,q \in {\mathbb C}}{} eine kubische Gleichung. Wir setzen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{-4p^3 -27q^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien
\mathdisp {u= \sqrt[3]{ { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( -q + { \frac{ 1 }{ 9 } } \sqrt{-3D} \right) } } \text{ und } v = \sqrt[3]{ { \frac{ 1 }{ 2 } } { \left( -q - { \frac{ 1 }{ 9 } } \sqrt{-3D} \right) } }} { , }
wobei diese dritten Wurzeln so gewählt seien, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{uv
}
{ = }{ - { \frac{ p }{ 3 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktfolgerung {Dann sind
\zusatzklammer {mit der dritten Einheitswurzel \mathlk{\epsilon = -{ \frac{ 1 }{ 2 } } + { \frac{ 1 }{ 2 } } \sqrt{3} { \mathrm i}}{}} {} {}
die Elemente
\mathlistdisp {u+v} {} {\epsilon u + \epsilon^2v} {und} {\epsilon^2 u + \epsilon v} {}
die Lösungen dieser kubischen Gleichung.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Jedes nichtkonstante
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{{\mathbb C}[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
über den
\definitionsverweis {komplexen Zahlen}{}{}}
\faktfolgerung {besitzt eine
\definitionsverweis {Nullstelle}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist $L$ in natürlicher Weise ein $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$\neq 2$ und es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {quadratische Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es ein
\mathbed {x \in L} {,}
{x \notin K} {und}
{x^2 \in K} {} {} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Seien
\mathkor {} {K\subseteq L} {und} {L \subseteq M} {} \definitionsverweis {endliche Körpererweiterungen}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche Körpererweiterung und es gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K} M
}
{ =} { \operatorname{grad}_{ K} L \cdot \operatorname{grad}_{ L} M
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Die Nullstellen des Polynoms
\mathl{X^n-1}{} über ${\mathbb C}$ sind
\mathbeddisp {e^{2 \pi { \mathrm i} k / n} = \cos { \frac{ 2 \pi k }{ n } } + { \mathrm i} \sin { \frac{ 2 \pi k }{ n } }} {}
{k=0,1 , \ldots , n-1} {}
{} {} {} {.}}
\faktzusatz {In
\mathl{{\mathbb C}[X]}{} gilt die Faktorisierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ X^n-1
}
{ =} { (X-1)(X- e^{2 \pi { \mathrm i} / n}) { \cdots }(X- e^{2 \pi { \mathrm i} (n-1) /n})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gilt in
\mathl{K[X]}{} die Beziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{X^n-1
}
{ =} {(X-1) \cdot (X^{n-1} +X^{n-2} + \cdots + X+1 )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Für jede $n$-te
\definitionsverweis {Einheitswurzel}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\zeta
}
{ \neq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \zeta ^{n-1} + \zeta^{n-2} + \cdots + \zeta+1
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}}
\faktzusatz {}
In einem \definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{} ist ein \definitionsverweis {Primelement}{}{} stets \definitionsverweis {irreduzibel}{}{.}
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein von $0$ verschiedenes Polynom.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine
\zusatzklammer {bis auf die Reihenfolge der Faktoren} {} {}
eindeutige Produktdarstellung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} {a F_1 \cdots F_r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ \in }{ K^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\definitionsverweis {irreduziblen}{}{}
\definitionsverweis {normierten}{}{}
Polynomen
\mathbed {F_i} {}
{i=1 , \ldots , r} {}
{} {} {} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Ein
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über einem
\definitionsverweis {Körper}{}{}}
\faktfolgerung {ist ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}}
\faktvoraussetzung {und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {teilerfremde}{}{}
Elemente.}
\faktfolgerung {Dann kann man die $1$ als Linearkombination von
\mathkor {} {a} {und} {b} {}
darstellen, d.h. es gibt Elemente
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ra+sb
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a,b,c
}
{ \in }{R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Es seien $a$ und $b$
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{}
und $a$ teile das Produkt $bc$. Dann teilt $a$ den Faktor $c$.
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Dann ist ein Element genau dann
\definitionsverweis {prim}{}{,}}
\faktfolgerung {wenn es
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{} ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{.}}
\faktfolgerung {Ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\mathl{\varphi:G \rightarrow H}{} ist genau dann
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
wenn der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
von $\varphi$ trivial ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $G$ eine endliche
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
von $G$.}
\faktfolgerung {Dann ist ihre Kardinalität ${ \# \left( H \right) }$ ein Teiler von ${ \# \left( G \right) }$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $G$ eine endliche
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ g
}
{ \in }{ G
}
{ }{}
{ }{}
{ }{}
}
{}{}{}
ein Element.}
\faktfolgerung {Dann teilt die
\definitionsverweis {Ordnung von $g$}{}{} die
\definitionsverweis {Gruppenordnung}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
\mathl{\ker \varphi}{} ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
in $G$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $G$ eine
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ H
}
{ \subseteq }{ G
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{.} Es sei
\mathl{G/H}{} die Menge der
\definitionsverweis {Nebenklassen}{}{}
\zusatzklammer {die Quotientenmenge} {} {}
und
\maabbeledisp {q} {G} {G/H
} {g} {[g]
} {,}
die
\definitionsverweis {kanonische Projektion}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine eindeutig bestimmte Gruppenstruktur auf
\mathl{G/H}{} derart, dass $q$ ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G, Q} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{,}
es sei
\maabb {\varphi} {G} { H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
und
\maabb {\psi} {G} {Q
} {}
ein
\definitionsverweis {surjektiver}{}{}
Gruppenhomomorphismus.}
\faktvoraussetzung {Es sei vorausgesetzt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \psi
}
{ \subseteq} { \operatorname{kern} \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Gruppenhomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {Q } {H
} {}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ = }{ \tilde{\varphi} \circ \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {Mit anderen Worten: das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}G & \stackrel{ \varphi }{\longrightarrow} & H & \\ \!\!\! \!\! \psi \downarrow & \nearrow \tilde{\varphi} \!\!\! \!\! & \\ Q & & & & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
ist kommutativ.}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine kanonische
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {G/ \operatorname{kern} \varphi } {H
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {G} {und} {H} {}
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {G} {H
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
\mathdisp {G \stackrel{q}{\longrightarrow} G/ \operatorname{kern} \varphi \stackrel{\theta}{\longrightarrow} \operatorname{bild} \varphi \stackrel{\iota} {\hookrightarrow} H} { , }
wobei $q$ die
\definitionsverweis {kanonische Projektion}{}{,}
$\theta$ ein
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{}
und $\iota$ die kanonische Inklusion der
\definitionsverweis {Bildgruppe}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Ring}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen eindeutig bestimmten
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {\Z} {R
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und sei
\mathl{R[X]}{} der
\definitionsverweis {Polynomring}{}{}
über $R$. Es sei $A$ ein weiterer
\definitionsverweis {kommutativer Ring}{}{}
und es sei
\maabb {\varphi} {R} {A
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\psi} {R[X]} {A
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi(X)
}
{ = }{ a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \psi \circ i
}
{ = }{\varphi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei
\maabb {i} {R} {R[X]
} {}
die kanonische Einbettung ist.}
\faktzusatz {Dabei geht das Polynom
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ = }{ \sum_{ j = 0 }^{ n } c_{ j } X^{ j }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
auf
\mathl{\sum_{j=0}^{n} \varphi(c_j)a^{j}}{.}}
\faktzusatz {}
Es seien $R$ und $S$
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und sei
\maabbdisp {\varphi} {R} {S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}
Dann ist der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \varphi
}
{ =} { { \left\{ f \in R \mid \varphi(f) = 0 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Ideal}{}{}
in $R$.
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$A$ eine
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ A
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element.}
\faktvoraussetzung {Es sei $P$ das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $f$ über $K$.}
\faktfolgerung {Dann ist der
\definitionsverweis {Kern}{}{}
des
\definitionsverweis {kanonischen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {K[X]} {A
} {X} {f
} {,}
das von $P$ erzeugte
\definitionsverweis {Hauptideal}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {R, S} {und} {T} {}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{,}
es sei
\maabb {\varphi} {R} { S
} {}
ein
\definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{}
und
\maabb {\psi} {R} {T
} {}
ein surjektiver Ringhomomorphismus.}
\faktvoraussetzung {Es sei vorausgesetzt, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{kern} \psi
}
{ \subseteq} { \operatorname{kern} \varphi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen eindeutig bestimmten Ringhomomorphismus
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} { T} {S
} {}
derart, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ = }{\tilde{\varphi} \circ \psi
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {Mit anderen Worten: das Diagramm
\mathdisp {\begin{matrix}R & \stackrel{ }{\longrightarrow} & T & \\ & \searrow & \downarrow & \\ & & S & \!\!\!\!\! \!\!\! \\ \end{matrix}} { }
ist kommutativ.}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} { R} {S
} {}
ein \definitionsverweis {surjektiver}{}{} \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine kanonische
\definitionsverweis {Isomorphie von Ringen}{}{}
\maabbdisp {\tilde{\varphi}} {R/ \operatorname{kern} \varphi } {S
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es seien
\mathkor {} {R} {und} {S} {}
\definitionsverweis {kommutative Ringe}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi} { R} {S
} {}
ein \definitionsverweis {Ringhomomorphismus}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine kanonische Faktorisierung
\mathdisp {R \stackrel{q}{\longrightarrow} R/ \operatorname{kern} \varphi \stackrel{\theta}{\longrightarrow} \operatorname{bild} \varphi \stackrel{\iota} {\hookrightarrow} S} { , }
wobei $q$ die
\definitionsverweis {kanonische Projektion}{}{,}
$\theta$ ein
\definitionsverweis {Ringisomorphismus}{}{}
und $\iota$ die kanonische Inklusion des
\definitionsverweis {Bildes}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
Es sei $R$ ein
\definitionsverweis {Hauptidealbereich}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{p
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element. Dann sind folgende Bedingungen äquivalent.
\aufzaehlungdrei{$p$ ist ein
\definitionsverweis {Primelement}{}{.}
}{
\mathl{R/(p)}{} ist ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}
}{
\mathl{R/(p)}{} ist ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
}
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathbed {P \in K[X]} {}
{P \neq 0} {}
{} {} {} {,} ein Polynom.}
\faktfolgerung {Dann ist $P$ genau dann
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{,} wenn der
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{}
\mathl{K[X]/(P)}{} ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $n\geq 1$ eine natürliche Zahl und
\mathl{\Z/(n)}{} der zugehörige
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungdrei{
\mathl{\Z/(n)}{} ist ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}
}{
\mathl{\Z/(n)}{} ist ein
\definitionsverweis {Integritätsbereich}{}{.}
}{$n$ ist eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{K[X]}{} der \definitionsverweis {Polynomring}{}{} über $K$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ = }{ \sum_{ i = 0 }^{ n } a_{ i } X^{ i}
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom vom
\definitionsverweis {Grad}{}{}
$n$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{R
}
{ = }{ K[X]/(P)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {Restklassenring}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Rechenregeln
\zusatzklammer {wir bezeichnen die Restklasse von $X$ in $R$ mit $x$} {} {.}}
\faktfolgerung {\aufzaehlungsechs{Man kann stets $P$ als normiert annehmen
\zusatzklammer {also \mathlk{a_n=1}{;} das werden wir im Folgenden tun} {} {.}
}{In $R$ ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x^n
}
{ = }{- \sum_{i = 0}^{n-1} a_ix^{i}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Höhere Potenzen
\mathbed {x^k} {}
{k\geq n} {}
{} {} {} {,}
kann man mit den Potenzen
\mathbed {x^{i}} {}
{i \leq n-1} {}
{} {} {} {,}
ausdrücken, indem man mittels Vielfachen von (2) sukzessive den Grad um eins reduziert.
}{Die Potenzen
$x^0=1,\, x^1$ $, \ldots , x^{n-1}$
bilden eine $K$-Basis von $R$.
}{$R$ ist ein $K$-Vektorraum der Dimension $n$.
}{In $R$ werden zwei Elemente
\mathkor {} {P= \sum_{ i = 0 }^{ n-1 } b_{ i } x^{ i}} {und} {Q= \sum_{ i = 0 }^{ n-1 } c_{ i } x^{ i}} {}
komponentenweise addiert, und multipliziert, indem sie als Polynome multipliziert werden und dann die Restklasse berechnet wird.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mathl{f \in L}{} ein
\definitionsverweis {algebraisches}{}{}
Element.}
\faktvoraussetzung {Es sei $P$ das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $f$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es eine kanonische
$K$-\definitionsverweis {Algebraisomorphie}{}{}
\maabbeledisp {} {K[X]/(P)} {K[f]
} {X} {f
} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mathl{f \in L}{} ein
\definitionsverweis {algebraisches}{}{}
Element.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
$P$ von $f$ über $K$ ist
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{.}
} {Wenn
\mathl{Q \in K[X]}{} ein normiertes, irreduzibles Polynom mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{Q(f)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist, so handelt es sich um das Minimalpolynom.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mathl{f \in L}{} ein
\definitionsverweis {algebraisches}{}{}
Element.}
\faktfolgerung {Dann ist die von $f$ erzeugte $K$-Algebra
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K[f]
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Körper}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Element.}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{$f$ ist
\definitionsverweis {algebraisch}{}{}
über $K$.
}{Es gibt ein
\definitionsverweis {normiertes Polynom}{}{}
\mathbed {P \in K[X]} {mit}
{P(f) =0} {}
{} {} {} {.}
}{Es besteht eine
\definitionsverweis {lineare Abhängigkeit}{}{}
zwischen den Potenzen
\mathdisp {f^0=1,f^1=f,f^2 , f^3, \ldots} { . }
}{Die von $f$ über $K$ erzeugte $K$-Algebra
\mathl{K[f]}{} hat endliche $K$-Dimension.
}{$f$ liegt in einer
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-Algebra
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{} und sei $M$ der
\definitionsverweis {algebraische Abschluss}{}{} von $K$ in $L$.}
\faktfolgerung {Dann ist $M$ ein
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{} von $L$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine \definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F(x)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi
}
{ \in }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F( \varphi(x))
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{}
\definitionsverweis {endlich}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Eigenschaften}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Jede homogene Stufe
\mathl{L_d}{} besitzt die
$K$-\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$1$.
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K} L
}
{ = }{ { \# \left( D \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{ (d_1 , \ldots , d_m)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $D$ und es sei
\mathbed {x_i \in L_{d_i}} {}
{x_i \neq 0} {}
{} {} {} {,}
fixiert. Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ K[x_1 , \ldots , x_m]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Insbesondere wird $L$ von homogenen Elementen erzeugt.
}{Jedes
\definitionsverweis {homogene Element}{}{}
\mathbed {x \in L_d} {}
{x \neq 0} {}
{} {} {} {,}
besitzt ein
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
der Form
\mathl{X^n -a}{} mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist eine
\definitionsverweis {Radikalerweiterung}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} $D$ eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und $A$ eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte}{}{}
\definitionsverweis {kommutative}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Algebra}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbeledisp {} {D^{ \vee } = \operatorname{Char} \, (D, K ) } { \operatorname{ Aut}_{ K } ^{ } { \left( A \right) }
} {\chi} { (a_d \mapsto \chi(d) a_d )
} {,}
der
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
von $D$ in die
\zusatzklammer {\definitionsverweis {homogene}{}{}} {} {}
$K$-\definitionsverweis {Automorphismengruppe}{}{}
von $A$.}
\faktzusatz {Wenn alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{A_d
}
{ \neq }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sind, so ist diese Zuordnung
\definitionsverweis {injektiv}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $G$ eine endliche
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{exp} (G)
}
{ = }{ \operatorname {ord} { { \left( G \right) } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
wobei
\mathl{\operatorname{exp}(G)}{} den
\definitionsverweis {Exponenten}{}{}
der Gruppe bezeichnet.}
\faktfolgerung {Dann ist $G$
\definitionsverweis {zyklisch}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ \subseteq }{ K^{\times}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine endliche
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der multiplikativen Gruppe eines
\definitionsverweis {Körpers}{}{}
$K$.}
\faktfolgerung {Dann ist $U$
\definitionsverweis {zyklisch}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{}
\mathl{{ \left( \Z/(p) \right) }^{\times}}{}
\definitionsverweis {zyklisch}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
\mathl{p-1}{.}}
\faktzusatz {Es gibt also Elemente $g$ mit der Eigenschaft, dass die Potenzen
\mathbed {g^{i}} {}
{i=0,1 , \ldots , p-2} {}
{} {} {} {,}
alle Einheiten durchlaufen.}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Einheitengruppe}{}{} $K^\times$ eine
\definitionsverweis {zyklische Gruppe}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {endlicher Körper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann besitzt $K$ genau $p^n$ Elemente, wobei $p$ eine Primzahl ist und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (p-1)!
}
{ = }{-1 \!\!\! \mod p
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $K$ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $F$ ein Polynom aus
\mathl{K[X]}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen
\definitionsverweis {Erweiterungskörper}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $F$ über $L$ in Linearfaktoren zerfällt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mathl{F \in K[X]}{} ein Polynom. Es seien
\mathkor {} {K \subseteq L_1} {und} {K \subseteq L_2} {} zwei
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{} von $F$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen $K$-\definitionsverweis {Algebraisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {L_1} {L_2
} {.}}
\faktzusatz {Insbesondere gibt es bis auf Isomorphie nur einen Zerfällungskörper zu einem Polynom.}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{e
}
{ \in }{\N_+
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann gibt es bis auf
\definitionsverweis {Isomorphie}{}{}
genau einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{q
}
{ = }{p^e
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Elementen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom.}
\faktvoraussetzung {Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{$P$ ist
\definitionsverweis {separabel}{}{.}
}{Es gibt eine Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart, dass $P$ über $L$ in einfache Linearfaktoren zerfällt.
}{$P$ und die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$P'$ sind
\definitionsverweis {teilerfremd}{}{.}
}{$P$ und die
\definitionsverweis {Ableitung}{}{}
$P'$ erzeugen das
\definitionsverweis {Einheitsideal}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ = }{ K[x_1 , \ldots , x_n]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Es sei vorausgesetzt, dass die Minimalpolynome $F_i$ der $x_i$
\definitionsverweis {separabel}{}{}
sind.}
\faktfolgerung {Dann ist die Erweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {separabel}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ = }{K(x)
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Zwischenkörper. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ \sum_{j = 0}^k b_jX^{j}
}
{ \in }{ M[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $x$ über $M$.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ = }{K(b_0 , \ldots , b_k)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine
\definitionsverweis {einfache Körpererweiterung}{}{,}
wenn es nur endlich viele Zwischenkörper
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {separable Körpererweiterung}{}{.}
Dann wird $L$ von einem Element erzeugt, d.h. es gibt ein
\mathl{f \in L}{} mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} { K(f)
}
{ \cong} { K[X]/(P)
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit einem irreduziblen (Minimal-)Polynom
\mathl{P \in K[X]}{.}
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{Z(F)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
von $F$. Es seien
\mathl{\alpha_1 , \ldots , \alpha_n}{} die Nullstellen von $F$ in $L$.}
\faktfolgerung {Dann gibt es einen natürlichen
\definitionsverweis {injektiven}{}{}
\definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} { \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K ) } { S(\{\alpha_1 , \ldots , \alpha_n\})
} {}
der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} in die
\definitionsverweis {Permutationsgruppe}{}{}
der Nullstellen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $G$ ein
\definitionsverweis {Monoid}{}{,}
$K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und
\mathl{\chi_1 , \ldots , \chi_n \in \operatorname{Char} \, (G, K )}{} seien $n$
\definitionsverweis {Charaktere}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind diese Charaktere
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{}
\zusatzklammer {als Elemente in $\operatorname{Abb} \, { \left( G , K \right) }$} {} {.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \# \left( \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K ) \right) }
}
{ \leq} { \operatorname{grad}_{ K} L
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$D$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{.}}
\faktvoraussetzung {Der Körper $K$ enthalte eine $m$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{,}
wobei $m$ der
\definitionsverweis {Exponent}{}{}
von $D$ sei.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ D^{ \vee }
}
{ = }{ \operatorname{Char} \, (D, K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Die Körpererweiterung ist
\definitionsverweis {normal}{}{.}
}{Wenn ein
\definitionsverweis {irreduzibles Polynom}{}{}
\mathl{P \in K[X]}{} eine Nullstelle in $L$ besitzt, so
\definitionsverweis {zerfällt}{}{}
es in
\mathl{L[X]}{.}
}{Es gibt ein
$K$-\definitionsverweis {Algebraerzeugendensystem}{}{}
\mathbed {x_i \in L} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
von $L$ und über $L$
\definitionsverweis {zerfallende}{}{}
Polynome
\mathbed {F_i \in K[X]} {}
{F_i \neq 0} {,}
{i \in I} {} {} {,}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F_i(x_i)
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Für jede Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und jeden
$K$-\definitionsverweis {Algebrahomomor\-phismus}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {L} {M
} {}
ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(L)
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine
\definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{,}
wenn $L$
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
eines Polynoms
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ \in }{K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {normale Körpererweiterung}{}{} und es seien
\mathl{\alpha, \beta \in L}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind
\mathkor {} {\alpha} {und} {\beta} {}
genau dann
\definitionsverweis {konjugiert}{}{,}
wenn es einen
$K$-\definitionsverweis {Automorphismus}{}{}
\maabb {\varphi} {L} {L
} {}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi(\alpha)
}
{ = }{ \beta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $L$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{ \operatorname{ Aut}_{ } ^{ } { \left( L \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Untergruppe}{}{}
der
\definitionsverweis {Automorphismengruppe}{}{}
von $L$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ = }{ \operatorname{Fix}\, ( H )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{grad}_{ K} L
}
{ =} { { \# \left( H \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Insbesondere ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{} $H$.}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{} eine \definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{} und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ G
}
{ = }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Eigenschaften äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Fix}\, ( G )
}
{ = }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist
\definitionsverweis {normal}{}{}
und
\definitionsverweis {separabel}{}{.}
}{$L$ ist
\definitionsverweis {Zerfällungskörper}{}{}
eines
\definitionsverweis {separablen Polynoms}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ F
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} und
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
ein Zwischenkörper.}
\faktfolgerung {Dann ist auch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{M
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Galoiserweiterung.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $p$ eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
und
\mathl{m \in \N}{,}
\mathl{q=p^m}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ {\mathbb F}_{ p }
}
{ \subseteq }{ {\mathbb F}_{ q }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
mit einer
\definitionsverweis {zyklischen}{}{}
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
der
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
$m$, die vom
\definitionsverweis {Frobeniushomomorphismus}{}{}
erzeugt wird.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} mit der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann sind die Zuordnungen
\mathdisp {M \longmapsto \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M ) \text{ und } H \longmapsto \operatorname{Fix}\, ( H )} { }
zueinander inverse Abbildungen zwischen der Menge der Zwischenkörper
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
und der Menge der Untergruppen von $G$.}
\faktzusatz {Bei dieser Korrespondenz werden die Inklusionen umgekehrt.}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{} und
\mathbed {M} {}
{K \subseteq M \subseteq L} {}
{} {} {} {,}
ein Zwischenkörper.}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist genau dann eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{,}
wenn die Untergruppe
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M )
}
{ \subseteq }{ \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Normalteiler}{}{}
ist.
} {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Galoiserweiterung. Dann besteht zwischen den Galoisgruppen die natürliche Restklassenbeziehung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( M {{|}} K )
}
{ =} { \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K ) / \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} M )
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Bei dieser Zuordnung wird ein Automorphismus
\mathl{\varphi \in \operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{} auf $M$ eingeschränkt.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mathl{m \in \N}{} und sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
der eine $m$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
enthält. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {endliche Körpererweiterung}{}{.}}
\faktuebergang {Dann gelten folgende Aussagen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungzwei {Wenn
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{ \bigoplus_{d \in D} L_d
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{}
ist, so ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Kummererweiterung}{}{}
zum Exponenten $m$.
} {Sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine Kummererweiterung zum Exponenten $m$ mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$G$. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{ \operatorname{Char} \, (G, K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
von $G$. Zu
\mathl{\delta \in D}{} sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ L_\delta
}
{ =} { { \left\{ x \in L \mid \varphi(x) = \delta(\varphi) \cdot x \text { für alle } \varphi \in G \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{L
}
{ = }{\bigoplus_{\delta \in D} L_\delta
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
$D$-\definitionsverweis {graduierte Körpererweiterung}{}{.}
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mathl{m \in \N}{} und sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
der eine $m$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
enthält. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Kummererweiterung}{}{}
zum Exponenten $m$ mit
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
$G$, zugehöriger
\definitionsverweis {Charaktergruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{D
}
{ = }{ \operatorname{Char} \, (G, K )
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und zugehöriger Graduierung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} { \bigoplus_{d \in D} L_d
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Es seien $H^\times$ die
\definitionsverweis {homogenen Elemente}{}{}
$\neq 0$ von $L$.}
\faktfolgerung {Dann ist die natürliche Inklusion
\maabbdisp {} {H^\times} { { \left\{ a \in L^\times \mid a^m \in K \right\} }
} {}
ein
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mathl{m \in \N}{} und sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} der eine $m$-te
\definitionsverweis {primitive Einheitswurzel}{}{}
enthält. Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Körpererweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann eine
\definitionsverweis {Kummererweiterung}{}{}
zum Exponenten $m$, wenn es eine Beschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{L
}
{ =} { K { \left( \sqrt[m]{a_1} , \ldots , \sqrt[m]{a_r} \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{a_i \in K}{} gibt.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F
}
{ = }{ \sum_{ i = 0 }^{ n } c_{ i } X^{ i}
}
{ \in }{ \Z [X]
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein Polynom.}
\faktvoraussetzung {Es sei
\mathl{p \in \Z}{} eine
\definitionsverweis {Primzahl}{}{}
mit der Eigenschaft, dass $p$ den
\definitionsverweis {Leitkoeffizienten}{}{}
$c_n$ nicht teilt, aber alle anderen Koeffizienten teilt, aber dass $p^2$ nicht den
\definitionsverweis {konstanten Koeffizienten}{}{}
$c_0$ teilt.}
\faktfolgerung {Dann ist $F$
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
in
\mathl{\Q[X]}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Die Koeffizienten der
\definitionsverweis {Kreisteilungspolynome}{}{}}
\faktfolgerung {liegen in $\Z$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die
\definitionsverweis {Kreisteilungspolynome}{}{}
$\Phi_{n}$ sind
\definitionsverweis {irreduzibel}{}{}
über $\Q$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Der $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungskörper}{}{}
$K_n$ über $\Q$ hat die Beschreibung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K_n
}
{ =} { \Q[X]/( \Phi_{n})
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $\Phi_{n}$ das $n$-te
\definitionsverweis {Kreisteilungspolynom}{}{}
bezeichnet.}
\faktzusatz {Der Grad des $n$-ten Kreisteilungskörpers ist
\mathl{{\varphi (n)}}{.}}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $K_n$ der
$n$-\definitionsverweis {te Kreisteilungskörper}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Q
}
{ \subseteq }{K_n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{Gal}\, ( K_n {{|}} \Q )
}
{ \cong} { { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {Dabei entspricht der Einheit
\mathl{a \in { \left( \Z/(n) \right) }^{\times}}{} derjenige Automorphismus
\mathl{\varphi_a \in \operatorname{Gal}\, ( K_n {{|}} \Q )}{,} der eine $n$-te Einheitswurzel $\zeta$ auf $\zeta^a$ abbildet.}
\faktzusatz {}
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {sind die
\definitionsverweis {Permutationsgruppen}{}{}
$S_n$ nicht
\definitionsverweis {auflösbar}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Galoiserweiterung}{}{.}}
\faktfolgerung {Dann ist die Körpererweiterung
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ L
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
genau dann
\definitionsverweis {auflösbar}{}{,}
wenn ihre
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{Gal}\, ( L {{|}} K )}{}
\definitionsverweis {auflösbar}{}{}
ist.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} der
\definitionsverweis {Charakteristik}{}{}
$0$ und sei
\mathl{F\in K[X]}{} ein Polynom vom Grad $\leq 4$.}
\faktfolgerung {Dann ist $F$
\definitionsverweis {auflösbar}{}{.}}
\faktzusatz {D.h. es gibt eine
\definitionsverweis {Radikalerweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
so dass $F$ über $M$ in Linearfaktoren zerfällt.}
\faktzusatz {}
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Für
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{n
}
{ \geq }{5
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}}
\faktfolgerung {gibt es polynomiale Gleichungen
\zusatzklammer {über $\Q$} {} {}
vom Grad $n$, die nicht
\definitionsverweis {auflösbar}{}{}
sind.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {}
\faktuebergang {In der Ebene lassen sich folgende Konstruktionen mit Zirkel und Lineal durchführen.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungvier{Zu einer Geraden $G$ und zwei Punkten
\mathl{Q_1,Q_2 \in G}{} kann man die zu $G$ senkrechte Gerade zeichnen, die die Strecke zwischen
\mathkor {} {Q_1} {und} {Q_2} {} halbiert.
}{Zu einer Geraden $G$ und einem Punkt
\mathl{P \in G}{} kann man die zu $G$ senkrechte Gerade durch $P$ zeichnen.
}{Zu einer Geraden $G$ und einem Punkt $P$ kann man die zu $G$ senkrechte Gerade durch $P$ zeichnen.
}{Zu einer gegebenen Geraden $G$ und einem gegebenen Punkt $P$ kann man die Gerade $G'$ durch $P$ zeichnen, die zu $G$ parallel ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die Menge der
\definitionsverweis {konstruierbaren Zahlen}{}{} ist ein
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{} von ${\mathbb C}$.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
Es sei $G$ eine mit zwei Punkten
\mathkor {} {0} {und} {1} {} markierte Gerade, die wir mit den reellen Zahlen identifizieren. Es sei
\mathl{a \in G_+}{} eine positive reelle Zahl. Dann ist die Quadratwurzel $\sqrt{a}$ aus
\mathl{0,1,a}{} mittels Zirkel und Lineal
\definitionsverweis { konstruierbar}{}{.}
\faktsituation {}
\faktvoraussetzung {Eine mit Zirkel und Lineal
\definitionsverweis {konstruierbare Zahl}{}{}}
\faktfolgerung {ist
\definitionsverweis {algebraisch}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Die Würfelverdopplung
\definitionsverweis {mit Zirkel und Lineal}{}{} ist nicht möglich.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Es ist nicht möglich, zu einem vorgegebenen Kreis ein flächengleiches Quadrat mit Zirkel und Lineal zu konstruieren.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Sei $G$ eine
\definitionsverweis {endliche}{}{}
\definitionsverweis {Gruppe}{}{} und seien
\mathl{K_1 , \ldots , K_r}{} die
\definitionsverweis {Konjugationsklassen}{}{}
von $G$ mit mindestens zwei Elementen.}
\faktfolgerung {Dann ist
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \operatorname{ ord}_{ } ^{ } { \left( G \right) }
}
{ =} { \operatorname{ ord}_{ } ^{ } { \left( Z(G) \right) } + \sum_{i = 1}^r { \# \left( K_i \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Unterkörper}{}{}
und
\mathl{z \in {\mathbb C}}{.}}
\faktuebergang {Dann sind folgende Aussagen äquivalent.}
\faktfolgerung {\aufzaehlungfuenf{Die komplexe Zahl $z$ ist aus $K$
\definitionsverweis {konstruierbar}{}{.}
}{Es gibt in ${\mathbb C}$ eine Körperkette aus
\definitionsverweis {quadratischen Körpererweiterungen}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{K
}
{ =} {L_0
}
{ \subset} { L_1
}
{ \subset \ldots \subset} {L_r
}
{ =} {L
}
}
{}{}{}
mit
\mathl{z \in L}{.}
}{Das Element $z$ ist algebraisch über $K$, und der Grad des Zerfällungskörpers von $z$ über $K$ ist eine Zweierpotenz.
}{Das Element $z$ ist algebraisch über $K$, und die
\definitionsverweis {Ordnung}{}{}
der
\definitionsverweis {Galoisgruppe}{}{}
des Zerfällungskörpers von $z$ über $K$ ist eine Zweierpotenz.
}{Es gibt eine
\definitionsverweis {endliche Galoiserweiterung}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{K
}
{ \subseteq }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\zusatzklammer {in ${\mathbb C}$} {} {}
mit
\mathl{z \in M}{,} deren Grad eine Zweierpotenz ist.
}}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
\faktsituation {}
\faktfolgerung {Es ist nicht möglich, einen beliebig vorgegebenen Winkel mittels
\definitionsverweis {Zirkel und Lineal}{}{}
in drei gleich große Teile zu unterteilen.}
\faktzusatz {}
\faktzusatz {}
Ein reguläres $n$-Eck ist genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar, wenn die Primfaktorzerlegung von $n$ die Gestalt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} {2^\alpha p_1 \cdots p_k
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
hat, wobei die $p_i$ verschiedene
\definitionsverweis {Fermatsche Primzahlen}{}{}
sind.