Kurs:Lineare Algebra/Teil I/36/Klausur

Aufgabe	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	${}\sum$
Punkte	3	3	2	7	2	2	3	3	8	3	2	4	2	3	4	4	3	3	3	64

Aufgabe * (3 Punkte)

Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe.

1. Die Umkehrabbildung zu einer bijektiven Abbildung ${}F\colon L\rightarrow M$.
2. Ein neutrales Element ${}e\in M$ zu einer Verknüpfung

   $\circ \colon M\times M\longrightarrow M,\,(x,y)\longmapsto x\circ y.$

3. Eine invertierbare ${}n\times n$-Matrix ${}M$ über einem Körper ${}K$.
4. Die duale Abbildung zu einer linearen Abbildung

   $\varphi \colon V\longrightarrow W$

   zwischen ${}K$- Vektorräumen ${}V$ und ${}W$.

5. Das charakteristische Polynom zu einer ${}n\times n$-Matrix ${}M$ mit Einträgen in einem Körper ${}K$.
6. Eine Matrix in jordanscher Normalform.

Aufgabe * (3 Punkte)

Formuliere die folgenden Sätze.

1. Der Satz über die Existenz von Basen in einem endlich erzeugten ${}K$- Vektorraum ${}V$.
2. Der Satz über die Verknüpfung linearer Abbildungen.
3. Der Satz über die jordansche Normalform.

Aufgabe * (2 Punkte)

1. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in genau drei Punkten schneiden.
2. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in keinem Punkt schneiden.
3. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich in einem Punkt schneiden.
4. Skizziere vier Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in sechs Punkten schneiden.

Aufgabe * (7 (1+1+2+3) Punkte)

Der Planet Trigeno wird von einer einzigen Tierart bevölkert, den Trigos. Diese Tierart besitzt drei Geschlechter: Antilopen (A), Büffel (B) und Cnus (C). Bei der Paarung treffen zwei Individuen zusammen und erzeugen ein neues Individuum. Wenn das Paar gleichgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis wieder dieses Geschlecht, wenn das Paar gemischtgeschlechtlich ist, so ist das Ergebnis das dritte unbeteiligte Geschlecht. Alle Tiere gehören einer eindeutigen Generation an, es finden nur Paarungen innerhalb der gleichen Generation statt.

1. Die ${}n$-te Generation bestehe nur aus einem einzigen Geschlecht. Zeige, dass jede weitere Generation auch nur aus diesem Geschlecht besteht.
2. Die ${}n$-te Generation bestehe nur aus zwei Individuen unterschiedlichen Geschlechts. Zeige, dass diese Geschlechter mit ihrer Generation aussterben.
3. Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf. Zeige, dass die Tierart genau dann aussterben muss, wenn es in einer Generation nur zwei oder weniger Individuen gibt.
4. Es gelte nun die zusätzliche Bedingung, dass jedes Paar nur einen Nachkommen erzeugen darf, und in jeder Generation gebe es genau drei Individuen. Beschreibe die möglichen Generationsabfolgen. Welche Periodenlängen treten auf?

Aufgabe * (2 Punkte)

Zeige, dass eine natürliche Zahl genau dann die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Quadratzahlen ist, wenn sie ungerade ist.

Aufgabe * (2 Punkte)

Drücke in ${}\mathbb {Q} ^{2}$ den Vektor

$(2,-7)$

als Linearkombination der Vektoren

$(5,-3){\text{ und }}(-11,4)$

aus.

Aufgabe * (3 Punkte)

Beweise den Satz über die Anzahl von Basiselementen.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten die Menge ${}U$ aller reellen ${}3\times 3$- Matrizen mit der Eigenschaft, dass ${}{\begin{pmatrix}6\\-7\\9\end{pmatrix}}$ zum Kern der Matrix gehört.

a) Zeige, dass ${}U$ ein Untervektorraum im Raum aller Matrizen ist.

b) Bestimme die Dimension dieses Untervektorraumes.

Aufgabe * (8 Punkte)

Beweise den Festlegungssatz für lineare Abbildungen.

Aufgabe * (3 (1+1+1) Punkte)

Dr. Eisenbeis hat sich bei „Bauer sucht Frau“ beworben und verbringt die Hofwoche bei Bauer Ernst. Heute muss sie den Stall ausmisten. Im Stall befinden sich drei Kühe, fünf Schweine, ein Esel und zehn Kaninchen. Die Mistmenge (in Kilogramm pro Tag und Tier) ist der folgenden Tabelle zu entnehmen.

Tier	${}Ku$	${}S$	${}E$	${}Ka$
Mist	${}10$	${}5$	${}8$	${}0,1$

a) Wie viel Mist muss ausgemistet werden, wenn alle zwei Tage ausgemistet wird?

b) Erstelle eine Formel, die in Abhängigkeit von der Tieranzahl ${}\left(x_{1},\,x_{2},\,x_{3},\,x_{4}\right)$ und von der Zeit ${}t$ (in Tagen) die Mistmenge berechnet.

c) Inwiefern liegt in (b) ein linearer Zusammenhang vor?

Aufgabe * (2 Punkte)

Es sei ${}M$ eine ${}n\times n$- Matrix über einem Körper ${}K$. Es werde die letzte Spalte der Matrix nach ganz vorne gesetzt, wodurch jede weitere Spalte um eine Position nach rechts rückt. Wie ändert sich dabei die Determinante?

Aufgabe * (4 Punkte)

Beweise den Satz über die Beschreibung des Signums mit Fehlständen.

Aufgabe * (2 Punkte)

Setze in das Polynom ${}-5X^{3}-X^{2}+{\sqrt {2}}X+{\sqrt {5}}$ die Zahl ${}{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}$ ein.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Es sei ${}K$ ein Körper und sei ${}K[X]$ der Polynomring über ${}K$. Zeige, dass der Grad folgende Eigenschaften erfüllt.

1. ${}\operatorname {grad} \,(P+Q)\leq \max\{\operatorname {grad} \,(P),\,\operatorname {grad} \,(Q)\}\,,$

2. ${}\operatorname {grad} \,(P\cdot Q)=\operatorname {grad} \,(P)+\operatorname {grad} \,(Q)\,.$

Aufgabe * (4 Punkte)

Man finde ein reelles Polynom ${}f$ von minimalem Grad mit

$f(0)=0,\,f(1)=1,\,f(2)=3,\,f(3)=6.$

Aufgabe * (4 (2+1+1) Punkte)

Es sei  ${}d\in \mathbb {N}$  fixiert. Es sei ${}\mathbb {R} [X]_{\leq d}$ der ${}\mathbb {R}$- Vektorraum aller Polynome, die maximal den Grad ${}d$ besitzen. Wir betrachten die lineare Abbildung

$\varphi \colon \mathbb {R} [X]_{\leq d}\longrightarrow \mathbb {R} [X]_{\leq d},\,P\longmapsto P',$

die durch den Ableitungsoperator gegeben ist (es wird also ${}X^{i}$ für ${}i\geq 1$ auf ${}iX^{i-1}$ abgebildet, die konstanten Polynome gehen auf ${}0$).

a) Bestimme die Eigenräume von ${}\varphi$.

b) Erstelle die beschreibende Matrix zu ${}\varphi$ bezüglich der Basis ${}X^{0},X^{1},X^{2},\ldots ,X^{d}$.

c) Zeige, dass ${}\varphi$ nilpotent ist.

Aufgabe * (3 Punkte)

Bestimme zur reellen Matrix

${}M={\begin{pmatrix}-3&4&3&4\\0&-3&5&3\\0&0&-3&7\\0&0&0&-3\end{pmatrix}}\,$

die jordansche Normalform. (Es muss keine Basis angegeben werden, bezüglich der jordansche Normalform vorliegt.)

Aufgabe * (3 (2+1) Punkte)

a) Zeige, dass die Menge

${}S={\left\{{\begin{pmatrix}1&a\\0&1\end{pmatrix}}\mid a\in \mathbb {R} \right\}}\,$

eine Untergruppe der Gruppe der reellen invertierbaren ${}2\times 2$-Matrizen ist.

b) Zeige, dass die Gruppe ${}S$ isomorph zur additiven Gruppe ${}(\mathbb {R} ,+,0)$ ist.

Aufgabe * (3 (1+2) Punkte)

Wir betrachten die lineare Gleichung

${}4x-9y=5\,,$

es sei ${}L$ die Lösungsmenge.

a) Zeige, dass  ${}P={\begin{pmatrix}35\\15\end{pmatrix}}$  und  ${}Q={\begin{pmatrix}2\\{\frac {1}{3}}\end{pmatrix}}$  affin-unabhängige Punkte von ${}L$ sind.

b) Bestimme die baryzentrischen Koordinaten von

${}R={\begin{pmatrix}{\frac {7}{2}}\\1\end{pmatrix}}\in L\,$

bezüglich ${}P$ und ${}Q$.