Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 22/latex
\setcounter{section}{22}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{,}
die
\definitionsverweis {Eigenräume}{}{}
und die
\definitionsverweis {geometrischen Vielfachheiten}{}{}
zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 \\
0 & 1 & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots \\
\vdots & \ddots & 3& \ddots & \ddots & \vdots \\
\vdots & \ddots & \ddots & 1 & \ddots & \vdots \\
\vdots & \vdots & \ddots & \ddots & 3 & 0\\
0 & \cdots & \cdots & \cdots & 0 & 1
\end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den
\definitionsverweis {Eigenraum}{}{}
und die
\definitionsverweis {geometrische Vielfachheit}{}{}
zu
\mathl{-2}{} zur Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 5 & 0 & 7 \\9 & 3 & 8 \end{pmatrix}} { . }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.} Zeige, dass es maximal
\mathl{\dim_{ K } { \left( V \right) }}{} viele
\definitionsverweis {Eigenwerte}{}{}
zu $\varphi$ gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe zu einem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und einem
\mathbed {m} {}
{1 \leq m \leq n} {}
{} {} {} {,}
eine
$n \times n$-\definitionsverweis {Matrix}{}{}
über $K$ an, deren einziger
\definitionsverweis {Eigenwert}{}{}
$a$ mit
\definitionsverweis {geometrischer Vielfachheit}{}{}
$m$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in }{ \operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
mit $n$
\zusatzklammer {paarweise} {} {}
verschiedenen
\definitionsverweis {Eigenwerten}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Determinante}{}{}
von $M$ das Produkt der Eigenwerte ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M
}
{ \in} { \operatorname{Mat}_{ n } (K)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
mit $n$
\zusatzklammer {paarweise} {} {}
verschiedenen
\definitionsverweis {Eigenwerten}{}{.}
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Spur}{}{}
von $M$ die Summe der Eigenwerte ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} { }
über $\Q$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es sei $V$ ein
\definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {V
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \lambda
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass der Exponent, mit dem
\mathl{X- \lambda}{} im
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
zu $\varphi$ vorkommt, sowohl kleiner als auch größer als die
\definitionsverweis {geometrische Vielfachheit}{}{}
von $\lambda$ sein kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 5 \end{pmatrix}} { }
über $\R$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren. Führe den
\definitionsverweis {Basiswechsel}{}{}
explizit durch, der zu einer beschreibenden Diagonalmatrix führt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Matrix
\mathdisp {\begin{pmatrix} 6 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 4 \\0 & 0 & 7 \end{pmatrix}} { }
über $\R$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist und bestimme eine Basis aus Eigenvektoren. Führe den
\definitionsverweis {Basiswechsel}{}{}
explizit durch, der zu einer beschreibenden
\definitionsverweis {Diagonalmatrix}{}{}
führt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {invertierbare Matrix}{}{}
über $K$. Zeige, dass $M$ genau dann
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist, wenn die
\definitionsverweis {inverse Matrix}{}{}
\mathl{M^{-1}}{} diagonalisierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme, welche \definitionsverweis {Elementarmatrizen}{}{} \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $M$ eine obere Dreiecksmatrix, wobei die Diagonaleinträge alle konstant gleich $c$ seien. Zeige, dass $M$ genau dann \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist, wenn es schon eine Diagonalmatrix ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass eine \definitionsverweis {Projektion}{}{} \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabb {\varphi} {V} {V
} {}
ein
\definitionsverweis {diagonalisierbarer Endomorphismus}{}{}
auf dem
\definitionsverweis {endlichdimensionalen}{}{}
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ K[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Polynom}{}{.}
Zeige, dass
\mathl{P(\varphi)}{} ebenfalls diagonalisierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $M$ eine
\definitionsverweis {diagonalisierbare Matrix}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Minimalpolynom}{}{}
von $M$ die Form
\mathdisp {(X- \lambda_1) \cdots (X- \lambda_k)} { }
mit verschiedenen $\lambda_i$ besitzt.
}
{} {}
Die Umkehrung der vorstehenden Aufgabe gilt ebenfalls, siehe
Aufgabe 24.7.
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Es seien
\mathl{V_1 , \ldots , V_n}{}
\definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$ und
\maabbdisp {\varphi_i} {V_i} {V_i
} {}
\definitionsverweis {lineare Abbildungen}{}{}
und es sei
\maabbdisp {\varphi = \varphi_1 \times \cdots \times \varphi_n} {V_1 \times \cdots \times V_n } {V_1 \times \cdots \times V_n
} {}
die
\definitionsverweis {Produktabbildung}{}{.}
Zeige, dass $\varphi$ genau dann
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist, wenn dies für alle $\varphi_i$ gilt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {Körper}{}{} und es sei $V$ ein \definitionsverweis {endlichdimensionaler}{}{} $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} und \maabbdisp {{ \varphi }^{ * }} { { V }^{ * } } { { V }^{ * } } {} die \definitionsverweis {duale Abbildung}{}{.} Zeige, dass $\varphi$ genau dann \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist, wenn ${ \varphi }^{ * }$ diagonalisierbar ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix}} { }
über ${\mathbb C}$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist, nicht aber über $\R$. Führe die Diagonalisierung über ${\mathbb C}$ durch.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mathdisp {\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}} { }
über dem
\definitionsverweis {Körper mit zwei Elementen}{}{}
${\mathbb F}_2$ nicht
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist.
}
{} {}