Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 30/latex
\setcounter{section}{30}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
der Dimension $d$ und es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F,G
}
{ \subseteq }{E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {affine Unterräume}{}{}
der Dimension
\mathkor {} {r} {bzw.} {s} {.}
Zeige, dass
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{F\cap G
}
{ = }{ \emptyset
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
leer ist, oder eine Dimension von zumindest
\mathl{r+s -n}{} besitzt.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe, ob die Punkte
\mathdisp {\begin{pmatrix} 5 \\4\\ 7 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} -2 \\1\\ 6 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} 3 \\-9\\ 4 \end{pmatrix} , \, \begin{pmatrix} -8 \\8\\ 3 \end{pmatrix}} { }
im $\R^3$
\definitionsverweis {affin-unabhängig}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und es sei
\mathdisp {P_1 , \ldots , P_n} { }
eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungvier{Die Punkte
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} sind
\definitionsverweis {affin unabhängig}{}{.}
}{Für jedes
\mathl{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} ist die Vektorfamilie
\mathdisp {\overrightarrow{ P_i P_1 } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_{i-1} }, \, \overrightarrow{ P_i P_{i+1} } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_n }} { }
\definitionsverweis {linear unabhängig}{}{.}
}{Es gibt ein
\mathl{i \in { \{ 1 , \ldots , n \} }}{} derart, dass die Vektorfamilie
\mathdisp {\overrightarrow{ P_i P_1 } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_{i-1} }, \, \overrightarrow{ P_i P_{i+1} } , \ldots , \overrightarrow{ P_i P_n }} { }
linear unabhängig ist.
}{Die Punkte
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{} bilden in dem von ihnen
\definitionsverweis {erzeugten}{}{} \definitionsverweis {affinen Unterraum}{}{}
eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und es sei
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{}
eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
\aufzaehlungdrei{Die Punkte bilden eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{}
von $E$.
}{Die Punkte bilden ein minimales
\definitionsverweis {affines Erzeugendensystem}{}{}
von $E$.
}{Die Punkte sind maximal
\definitionsverweis {affin unabhängig}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über einem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$ und es sei
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{}
eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Zeige, dass diese Punkte genau dann eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{}
von $E$ bilden, wenn sie sowohl
\definitionsverweis {affin unabhängig}{}{}
sind als auch ein
\definitionsverweis {affines Erzeugendensystem}{}{}
von $E$ bilden.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme die
\definitionsverweis {Polynome}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R[X]
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
die eine
\definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {P} {\R} {\R
} {}
definieren.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und seien
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
\definitionsverweis {affine Räume}{}{}
über den
\definitionsverweis {Vektorräumen}{}{}
\mathkor {} {V} {bzw.} {W} {.}
Es sei eine
\definitionsverweis {Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {E} {F
} {,}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
und ein Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart gegeben, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi (P+v)
}
{ =} { \psi(P) + \varphi(v)
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gilt. Zeige, dass $\psi$
\definitionsverweis {affin-linear}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei
\maabb {\psi} {\R} {\R
} {}
eine Abbildung mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\psi(x)
}
{ =} { ax+b
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
für gewisse
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ a,b
}
{ \in }{ \R
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige direkt, dass $\psi$ mit
\definitionsverweis {baryzentrischen Kombinationen}{}{}
verträglich ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {PunktLinie2.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { PunktLinie2.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Bestimme zeichnerisch den Bildpunkt von $P$ unter der
\definitionsverweis {affinen Abbildung}{}{}
$\varphi$, die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(P_i)
}
{ = }{Q_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
festgelegt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Siebenpunkte.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Siebenpunkte.png } {} {Mgausmann} {Commons} {CC-by-sa 4.0} {}
Bestimme zeichnerisch den Bildpunkt von $P$ unter der
\definitionsverweis {affinen Abbildung}{}{}
$\varphi$, die durch
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\varphi(P_i)
}
{ = }{Q_i
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
festgelegt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe die
\definitionsverweis {affine Ebene}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} 3 \\1\\ 4 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 2 \\7\\ -6 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} -1 \\5\\ 1 \end{pmatrix} \mid s,t \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
über $1$ einer
\definitionsverweis {affinen Abbildung}{}{}
\maabb {\psi} {\R^3} {\R
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Beschreibe die
\definitionsverweis {affine Gerade}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{G
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} 6 \\2\\ 3 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} -2 \\5\\ 4 \end{pmatrix} \mid s \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
über $(1,0)$ einer
\definitionsverweis {affinen Abbildung}{}{}
\maabb {\psi} {\R^3} {\R^2
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {E} {und} {F} {} \definitionsverweis {affine Räume}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass die \definitionsverweis {Projektionen}{}{} \maabbdisp {} {E \times F} {E } {} und \maabbdisp {} {E \times F} {F } {} \definitionsverweis {affine Abbildungen}{}{} sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien \mathkor {} {E} {und} {F} {} \definitionsverweis {affine Räume}{}{} über dem \definitionsverweis {Körper}{}{} $K$. Zeige, dass die Räume genau dann \definitionsverweis {isomorph}{}{} sind, wenn ihre \definitionsverweis {Dimension}{}{} übereinstimmt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
und es sei
\mathl{P_1 , \ldots , P_n}{}
eine endliche Familie von Punkten aus $E$. Es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{F
}
{ =} { { \left\{ \left( a_1 , \, \ldots , \, a_n \right) \in K^n \mid \sum_{i = 1}^n a_i = 1 \right\} }
}
{ \subset} {K^n
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass durch die Zuordnung
\mathdisp {\left( a_1 , \, \ldots , \, a_n \right) \longmapsto \sum_{i = 1}^n a_iP_i} { }
eine wohldefinierte
\definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{}
von $F$ nach $E$ gegeben ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {E} {F
} {}
eine
\definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {affinen Räumen}{}{}
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
über $K$. Zeige, dass zu jedem
\definitionsverweis {affinen Unterraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{H
}
{ \subseteq }{E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Bild}{}{}
\mathl{\varphi (H)}{} ein affiner Unterraum von $F$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {\psi} {E} {E } {} eine \definitionsverweis {affine Abbildung}{}{} auf einem \definitionsverweis {affinen Raum}{}{} $E$. Zeige, dass der \definitionsverweis {lineare Anteil}{}{} $\psi_0$ genau dann die \definitionsverweis {Identität}{}{} ist, wenn $\psi$ eine \definitionsverweis {Translation}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
über dem
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
$V$. Zeige, dass die Abbildung, die einer
\definitionsverweis {affinen Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\psi} {E} {E
} {}
ihren
\definitionsverweis {linearen Anteil}{}{}
$\psi_0$ zuordnet, folgende Eigenschaften erfüllt.
\aufzaehlungzwei {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left(
\operatorname{Id}_{ E } \right) }_0
}
{ =} {
\operatorname{Id}_{ V }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
} {
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ( \psi \circ \varphi)_0
}
{ =} { \psi_0 \circ \varphi_0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
\definitionsverweis {affine Räume}{}{}
über dem
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$, es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_n
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {affine Basis}{}{}
von $E$ und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q_1 , \ldots , Q_n
}
{ \in }{ F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
Punkte. Es sei
\maabbdisp {\psi} {E} {F
} {}
die zugehörige
\definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{}
mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \psi(P_i)
}
{ =} { Q_i
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige die folgenden Aussagen.
a) $\psi$ ist genau dann
\definitionsverweis {bijektiv}{}{,}
wenn
\mathl{Q_1 , \ldots , Q_n}{} eine affine Basis von $F$ ist.
b) $\psi$ ist genau dann
\definitionsverweis {injektiv}{}{,}
wenn
\mathl{Q_1 , \ldots , Q_n}{}
\definitionsverweis {affin unabhängig}{}{}
ist.
c) $\psi$ ist genau dann
\definitionsverweis {surjektiv}{}{,}
wenn
\mathl{Q_1 , \ldots , Q_n}{} ein
\definitionsverweis {affines Erzeugendensystem}{}{}
von $F$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {E} {F
} {}
eine
\definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {affinen Räumen}{}{}
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
über $K$. Zeige, dass die
\definitionsverweis {Urbilder}{}{}
\mathl{\varphi^{-1} (Q)}{} zu allen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ Q
}
{ \in }{ F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zueinander
\definitionsverweis {parallel}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Vergleiche verschiedene Konzepte für Vektorräume und affine Räume einschließlich ihrer Abbildungen.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {E} {F
} {}
eine
\definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {affinen Räumen}{}{}
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
über $K$. Zeige, dass zu jedem
\definitionsverweis {affinen Unterraum}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ \subseteq }{F
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
das
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
\mathl{\varphi^{-1}(G)}{} ein affiner Unterraum von $E$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Beschreibe die
\definitionsverweis {affine Ebene}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{E
}
{ =} { { \left\{ \begin{pmatrix} 5 \\6\\ -2 \end{pmatrix} + s \begin{pmatrix} 3 \\-4\\ 8 \end{pmatrix} +t\begin{pmatrix} 5 \\4\\ 7 \end{pmatrix} \mid s,t \in \R \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {Urbild}{}{}
über $1$ einer
\definitionsverweis {affinen Abbildung}{}{}
\maabb {\psi} {\R^3} {\R
} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{2}
{
Es sei $E$ ein
\definitionsverweis {affiner Raum}{}{}
der
\definitionsverweis {Dimension}{}{}
$n$ und
\maabbdisp {\psi} {E} {E
} {}
eine
\definitionsverweis {affine Abbildung}{}{.}
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P_1 , \ldots , P_{n+1}
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {affin unabhängige}{}{}
Punkte, die zugleich
\definitionsverweis {Fixpunkte}{}{}
von $\psi$ seien. Zeige, dass $\psi$ die Identität ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{6 (3+2+1)}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {E} {F
} {}
eine
\definitionsverweis {affin-lineare Abbildung}{}{}
zwischen den
\definitionsverweis {affinen Räumen}{}{}
\mathkor {} {E} {und} {F} {}
über $K$.
a) Zeige, dass der
\definitionsverweis {Graph}{}{}
$G$ von $\varphi$ ein
\definitionsverweis {affiner Unterraum}{}{}
des
\definitionsverweis {Produktraumes}{}{}
\mathl{E \times F}{} ist.
b) Zeige, dass die Abbildung
\maabbeledisp {\psi} {E} {G
} {P} {(P, \varphi (P))
} {,}
ein
\definitionsverweis {Isomorphismus}{}{}
von affinen Räumen ist.
c) Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\varphi
}
{ =} { p_2 \circ \psi
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
wobei $p_2$ die
\definitionsverweis {Projektion}{}{}
auf $F$ bezeichne.
}
{} {}