Kurs:Lineare Algebra (Osnabrück 2024-2025)/Teil I/Arbeitsblatt 6/latex
\setcounter{section}{6}
\zwischenueberschrift{Die Pausenaufgabe}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Menge der \anfuehrung{symmetrischen}{} $2 \times 2$-Matrizen über einem Körper $K$, also Matrizen der Form
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}} { , }
die die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{a_{12}
}
{ =} {a_{21}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen, mit komponentenweiser Addition und komponentenweiser Skalarmultiplikation einen
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
bildet.
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Übungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und es seien
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
über $K$. Zeige, dass auch das
\definitionsverweis {Produkt}{}{}
\mathdisp {V\times W} { }
ein $K$-Vektorraum ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s_1 , \ldots , s_k
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1 , \ldots , v_n
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ { \left( \sum_{i = 1}^k s_i \right) } \cdot { \left( \sum_{j = 1}^n v_j \right) }
}
{ =} { \sum_{ 1 \leq i \leq k,\, 1 \leq j \leq n } s_i \cdot v_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
Die folgenden vier Aufgaben zeigen, dass keines der Axiome für die Skalarmultiplikation eines Vektorraumes überflüssig ist.
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$, eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
\mathl{(V , +, 0)}{} und eine Abbildung
\maabbeledisp {} {K \times V} {V
} { (s,v)} { s v
} {,}
derart, dass diese Struktur alle
\definitionsverweis {Vektorraumaxiome}{}{}
außer
\mathdisp {(5) \,\, \, 1u = u} { }
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$, eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
\mathl{(V , +, 0)}{} und eine Abbildung
\maabbeledisp {} {K \times V} {V
} { (s,v)} { s v
} {,}
derart, dass diese Struktur alle
\definitionsverweis {Vektorraumaxiome}{}{}
außer
\mathdisp {(6) \,\, \, r(su) = (rs)u} { }
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$, eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
\mathl{(V , +, 0)}{} und eine Abbildung
\maabbeledisp {} {K \times V} {V
} { (s,v)} { s v
} {,}
derart, dass diese Struktur alle
\definitionsverweis {Vektorraumaxiome}{}{}
außer
\mathdisp {(7) \,\, \, r(u+v) = ru +rv} { }
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Man gebe ein Beispiel für einen
\definitionsverweis {Körper}{}{}
$K$, eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
\mathl{(V , +, 0)}{} und eine Abbildung
\maabbeledisp {} {K \times V} {V
} { (s,v)} { s v
} {,}
derart, dass diese Struktur alle
\definitionsverweis {Vektorraumaxiome}{}{}
außer
\mathdisp {(8) \,\, \, ( r+s) u = ru +su} { }
erfüllt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe, ob die folgenden Teilmengen des $\R^2$
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
sind:
\aufzaehlungvier{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_1
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x+2y = 0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_2
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid x \geq y \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_3
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid y = x+1 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{,}
}{
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ V_4
}
{ = }{ { \left\{ (x,y) \in \R^2 \mid xy = 0 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und
\mathdisp {\begin{matrix} a _{ 1 1 } x _1 + a _{ 1 2 } x _2 + \cdots + a _{ 1 n } x _{ n } & = & 0 \\ a _{ 2 1 } x _1 + a _{ 2 2 } x _2 + \cdots + a _{ 2 n } x _{ n } & = & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots \\ a _{ m 1 } x _1 + a _{ m 2 } x _2 + \cdots + a _{ m n } x _{ n } & = & 0 \end{matrix}} { }
ein homogenes
\definitionsverweis {lineares Gleichungssystem}{}{}
über $K$. Zeige, dass die Menge aller Lösungen des Gleichungssystems ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des $K^n$ ist. Wie verhält sich dieser Lösungsraum zu den Lösungsräumen der einzelnen Gleichungen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man mache sich klar, dass sich die Addition und die skalare Multiplikation auf einen \definitionsverweis {Untervektorraum}{}{} einschränken lässt und dass dieser mit den von $V$ geerbten Strukturen selbst ein \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ U,W
}
{ \subseteq }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{.}
Zeige, dass die Vereinigung $U \cup W$ nur dann ein Untervektorraum ist, wenn
\mathkor {} {U \subseteq W} {oder} {W \subseteq U} {}
gilt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $D$ die Menge aller reellen $2 \times 2$-Matrizen
\mathdisp {\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{pmatrix}} { , }
die die Bedingung
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ a_{11} a_{22} - a_{21} a_{12}
}
{ =} { 0
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
erfüllen. Zeige, dass $D$ kein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
im Raum aller $2 \times 2$-Matrizen ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Wir betrachten im $\Q^3$ die
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 2 \\1\\ 4 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 3 \\-2\\ 7 \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 5 \\-1\\ 11 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 1 \\-3\\ 3 \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{} und $I$ eine Indexmenge. Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ K^I
}
{ \defeq} {\operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
mit stellenweiser Addition und skalarer Multiplikation ein $K$-Vektorraum ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} und seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ J
}
{ \subseteq }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
zwei Indexmengen. Zeige, dass dann
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K^J
}
{ = }{ \operatorname{Abb} \, { \left( J , K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
in natürlicher Weise ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von $K^I$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,} sei $I$ eine Indexmenge, und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ K^I
}
{ = }{ \operatorname{Abb} \, { \left( I , K \right) }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
der zugehörige
\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ E
}
{ =} { { \left\{ f \in K^I \mid f(i) = 0 \text { für alle } i \in I \text{ bis auf endlich viele Ausnahmen} \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
von $K^I$ ist.
} {Zu jedem
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ i
}
{ \in }{ I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ e_i
}
{ \in }{ K^I
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ e_i (j )
}
{ =} { \begin{cases} 1, \text{ falls } j = i \, , \\
0 \text{ sonst}\, , \end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gegeben. Man zeige, dass sich jedes Element
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ f
}
{ \in }{ E
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eindeutig als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der Familie
\mathbed {e_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
darstellen lässt.
}
}
{} {}
Die folgenden vier Aufgaben verwenden Begriffe aus der Analysis.
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein \definitionsverweis {angeordneter Körper}{}{} und sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{C
}
{ =} {{ \left\{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \mid \text{Cauchyfolge in } K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $C$ ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
des Folgenraums
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ F
}
{ =} {{ \left\{ { \left( x_n \right) }_{n \in \N } \mid \text{Folge in } K \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { { \left\{ f: \R \rightarrow \R \mid f \text{ stetig} \right\} }
}
{ \subseteq} { \operatorname{Abb} \, { \left( \R , \R \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{T
}
{ =} { { \left\{ f: \R \rightarrow \R \mid f \text{ differenzierbar} \right\} }
}
{ \subseteq} { \operatorname{Abb} \, { \left( \R , \R \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Teilmenge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { { \left\{ f: \R \rightarrow \R \mid f \text{ monoton} \right\} }
}
{ \subseteq} { \operatorname{Abb} \, { \left( \R , \R \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
kein
\definitionsverweis {Untervektorraum}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Wir betrachten die Menge
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} { \operatorname{Abb} \, { \left( \R , \R \right) }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{,}
die mit der stellenweisen Addition $+$ von Funktionen eine
\definitionsverweis {kommutative Gruppe}{}{}
ist. Auf dieser Menge bildet die
\definitionsverweis {Hintereinanderschaltung}{}{}
von Abbildungen $\circ$ eine
\definitionsverweis {assoziative Verknüpfung}{}{}
mit der
\definitionsverweis {Identität}{}{}
als
\definitionsverweis {neutralem Element}{}{.}
\aufzaehlungzwei {Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{(f+g) \circ h
}
{ =} { f \circ h +g \circ h
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gilt.
} {Zeige, dass das Distributivgesetz in der Form
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ h \circ (f+g)
}
{ =} { h \circ f + h \circ g
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
nicht gilt.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Drücke in $\Q^2$ den Vektor
\mathdisp {(2,-7)} { }
als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der Vektoren
\mathdisp {(5,-3) \text{ und } (-11,4)} { }
aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Drücke in ${\mathbb C}^2$ den Vektor
\mathdisp {(1,0)} { }
als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der Vektoren
\mathdisp {(3+5 { \mathrm i} ,-3+2{ \mathrm i} ) \text{ und } (1-6{ \mathrm i} ,4-{ \mathrm i} )} { }
aus.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Drücke in $\R^3$ den Vektor
\mathdisp {(1,0,0)} { }
als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der Vektoren
\mathdisp {(1,-2,5), (4,0,3) \text{ und } (2,1,1)} { }
aus.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Es sei
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von Vektoren in $V$ und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ w
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein weiterer Vektor. Es sei vorausgesetzt, dass die Familie
\mathdisp {w, v_i, i \in I} { , }
ein
\definitionsverweis {Erzeugendensystem}{}{}
von $V$ ist und dass sich $w$ als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
darstellen lässt. Zeige, dass dann schon
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ein Erzeugendensystem von $V$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Beweise folgende Aussagen.
\aufzaehlungdrei{Sei
\mathbed {U_j} {}
{j \in J} {}
{} {} {} {,}
eine Familie von
\definitionsverweis {Untervektorräumen}{}{}
von $V$. Dann ist auch der Durchschnitt
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} {\bigcap_{j \in J} U_j
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ein Untervektorraum.
}{Zu einer Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
von Elementen in $V$ ist der
\definitionsverweis {erzeugte Unterraum}{}{}
ein Unterraum.
}{Die Familie
\mathbed {v_i} {}
{i \in I} {}
{} {} {} {,}
ist genau dann ein Erzeugendensystem von $V$, wenn
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \langle v_i ,\, i\in I \rangle
}
{ =} { V
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
ist.
}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{}
und $V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.} Zeige, dass die folgenden Eigenschaften gelten
\zusatzklammer {dabei sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}} {} {.}
\aufzaehlungvier{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ 0v
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s 0
}
{ = }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Es ist
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ (-1) v
}
{ = }{ -v
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}{Aus
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
folgt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s v
}
{ \neq }{ 0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Wir betrachten im $\Q^4$ die
\definitionsverweis {Untervektorräume}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{U
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 3 \\1\\ -5\\2 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 2 \\-2\\ 4\\-3 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 \\0\\ 3\\2 \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{W
}
{ =} { \langle \begin{pmatrix} 6 \\-1\\ 2\\1 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\-2\\ -2\\-7 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 9 \\2\\ -1\\10 \end{pmatrix} \rangle
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{U
}
{ = }{W
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Man gebe ein Beispiel für einen \definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$ und von drei Teilmengen in $V$ an, die jeweils zwei der Untervektorraumaxiome erfüllen, aber nicht das dritte.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Drücke in $\Q^3$ den Vektor
\mathdisp {(2,5,-3)} { }
als
\definitionsverweis {Linearkombination}{}{}
der Vektoren
\mathdisp {(1,2,3), (0,1,1) \text{ und } (-1,2,4)} { }
aus. Zeige, dass man ihn nicht als Linearkombination von zweien der drei Vektoren ausdrücken kann.
}
{} {}
\inputaufgabe
{3}
{
Es sei $K$ ein
\definitionsverweis {Körper}{}{,}
$V$ ein
$K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{}
und $M$ eine Menge mit einer
\definitionsverweis {Verknüpfung}{}{}
\maabbdisp {+} {M \times M} {M
} {}
und einer Abbildung
\maabbdisp {\cdot} {K \times M} {M
} {.}
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {V} {M
} {}
eine
\definitionsverweis {surjektive Abbildung}{}{}
mit
\mathdisp {\varphi(x+y) = \varphi(x) + \varphi(y) \text{ und } \varphi(s x) = s \varphi(x)} { }
für alle
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ x,y
}
{ \in }{ V
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ s
}
{ \in }{ K
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $M$ ein $K$-Vektorraum ist.
}
{} {}