Kurs:Lineare Algebra I/Anwendungen des Gauß'schen Algorithmus (zur Wiederholung)

Vorbemerkung: Elementare Zeilenoperationen entsprechen einer Multiplikation mit einer regulären Matrix C von links, die sich auch durch die gleichen Zeilenoperatioen bestimmen lässt:

$(A|I_{m})\Rightarrow ...\Rightarrow (CA|C)$

und analog für Spaltenoperationen:

${\begin{pmatrix}A\\I_{m}\end{pmatrix}}\Rightarrow ...\Rightarrow {\begin{pmatrix}AC\\C\end{pmatrix}}$

Es gelten die folgenden Bezeichnungen: Sei $V$ ein n-dimensionaler $K$-Vektorraum mit einer Basis $B=\{b_{1},...,b_{n}\}$.

Für eine Menge von Vektoren $v_{1},...,v_{k}\in V$ gelte $v_{j}=a_{1j}b_{1}+...+a_{nj}b_{n}$, d.h. $(v_{j})_{B}={\begin{pmatrix}a_{1j}\\\vdots \\a_{nj}\end{pmatrix}}$. Der wichtigste Fall ist $V=K^{n}$ und $B=I$ die kanonische Basis. $A=(a_{ij})\in Mat(n,k;K)$ sei die Matrix aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren $v_{1},...,v_{k}$.

Basisbestimmung

Gegeben: $v_{1},...,v_{k}\in V$ .

Gesucht: Basis von $Lin(v_{1},...,v_{k})\subset V$ .

Verfahren: Bringe $A^{t}$ auf Zeilenstufenform Ã$^{t}$. Die vom Nullvektor verschiedenen Spalten von à bilden die Koordinaten einer Basis.

Basisauswahl

Gegeben: $v_{1},...,v_{k}\in V$ .

Gesucht: Maximale linear unabhängige Teilmenge.

Verfahren: Bringe A auf Zeilenstufenfom Ã. Diejenigen Vektoren $v_{j}$ , deren Index j einer Stufenspalte in à entspricht, bilden eine gesuchte Teilmenge.

Basisergänzung

Gegeben: ${v_{1},...,v_{k}}\subset V$ linear unabhängig, sowie eine Basis B von V.

Gesucht: Vektoren $v_{k+1},...,v_{n}$, so dass $\{v_{1},...,v_{n}\}$ eine Basis von V.

Verfahren: Bringe (A|B) auf Zeilenstufenfom Ã. Diejenigen $b_{j}$ der Basis B, deren Index j die Eigenschaft hat, dass die (k + j)-te Spalte von à eine Stufenspalte ist, bilden eine Basisergänzung.

Rang und Basis des Bildes einer linearen Abbildung

Gegeben: Sei $A=M(f)$ eine Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung $f:V\rightarrow W$.

Gesucht: $rg(f):=dim(Im(f))$ und eine Basis vom $Im(f)=f(V)$.

Verfahren: Bringe A in Spaltenstufenform Ã, dann ist $rg(f)$ die Anzahl der vom Nullvektor verschiedenen Zeilen von à und die Spalten von A, deren Index Stufenindex von à ist, bilden eine Basis von $Im(f)$.

Lösungsbasis eines homogenen Systems

Gegeben: $Ax=0$

Gesucht: Basis vom Unterraum $\{x|Ax=0\}$.

Verfahren: Überführe $A^{t}$ in eine Zeilenstufenform A' .

$(A^{t}|I_{n})\Rightarrow ...\Rightarrow (A'|C)={\begin{pmatrix}A'_{1}&|&C_{1}\\0&|&C_{2}\end{pmatrix}}$,

dann sind die Zeilen von $C_{2}$ eine Lösungsbasis.

Basis des Kerns einer linearen Abbildung

Gegeben: siehe (4.)

Gesucht: Basis von $Ker(f)=f^{-1}(0)$.

Verfahren: Bestimme eine Lösungsbasis von $Ax=0$. Diese sind die Koordinaten einer Basis von $Ker(f)$.

Inverse einer quadratischen Matrix

Gegeben: $A\in Mat(n,n;K)$.

Gesucht: $A^{-1}$, falls A invertierbar.

Verfahren: Bringe $(A|\mathbb {E} _{n})$ auf reduzierte Zeilenstufenfom. Falls A invertierbar ist, hat die reduzierte Zeilenstufenform die Gestalt $(\mathbb {E} _{n}|A^{-1})$.

Gleichungen eines Unterraumes aus den Erzeugenden

Gegeben: $U=Lin(v_{1},...,v_{k})$.

Gesucht: Matrix $C\in Mat(p,n)$ mit der Eigenschaft, dass $U=\{x|C\cdot (x)_{B}=0\}$; hierbei ist $p=n-dim(U)$.

Verfahren 1: Bestimme Basislösungen von $A^{t}x=0$. Die Basislösungen sind die Zeilen einer gesuchten Matrix C.

Verfahren 2: Bringe $(A|\mathbb {E} _{n})$ auf Zeilenstufenform à $\in Mat(n,k+n)$. Sei l, $l\leq k$, die Anzahl der Stufen unter den ersten k Spalten von Ã, dann ist die rechte untere Teilmatrix von à des Formates $(n-l,n)$ eine gesuchte Matrix C.

Basis des Durchschnitts zweier Unterräume aus deren Erzeugenden

Gegeben: Erzeugende für zwei Unterräume $U_{1}$ und $U_{2}$ von $V$ .

Gesucht: Basis von $U_{1}\cap U_{2}$.

Verfahren 1: Bestimme Matrizen $C_{1}\in Mat(p_{1},n)$ und $C_{2}\in Mat(p_{2},n)$ zu $U_{1}$ bzw. $U_{2}$ nach (4.). Dann liefert die Matrix $(C_{1}^{t}|C_{2}^{t})^{t}\in Mat(p1+p2,n)$ ein Gleichungssystem für $U_{1}\cap U_{2}$. Dessen Basislösungen sind die Koordinaten von einer gesuchten Basis, d.h. ihre Koeffizienten bzgl. ihrer Darstellung in B.

Verfahren 2: Bilde die Matrizen $A_{1}\in Mat(n,k_{1})$ bzw. $A_{2}\in Mat(n,k_{2})$ aus den Erzeugenden von $U_{1}$ bzw. $U_{2}$. Bestimme die Matrix $C\in Mat(k_{1}+k_{2},r)$ der Basislösungen von ${\mathcal {H}}(A,0)$, $A:=(A_{1}|A_{2})$. Sei $C_{1}\in Mat(k_{1},r)$ die Teilmatrix von C der ersten $k_{1}$ Zeilen, dann sind die Spalten von $A_{1}C_{1}\in Mat(n,r)$ die Koordinaten einer Basis von $U_{1}\cap U_{2}$.

Basis der Summe zweier Unterräume

Gegeben: siehe (8.).

Gesucht: Basis von $U_{1}+U_{2}$.

Verfahren: Bestimme aus der Vereinigung der Erzeugenden nach (1.) oder (2.) eine Basis.