Kurs:Lineare Algebra I/Anwendungen des Gauß'schen Algorithmus (zur Wiederholung)

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Vorbemerkung: Elementare Zeilenoperationen entsprechen einer Multiplikation mit einer regulären Matrix C von links, die sich auch durch die gleichen Zeilenoperatioen bestimmen lässt:

und analog für Spaltenoperationen:

Es gelten die folgenden Bezeichnungen: Sei ein n-dimensionaler -Vektorraum mit einer Basis .

Für eine Menge von Vektoren gelte , d.h. . Der wichtigste Fall ist und die kanonische Basis. sei die Matrix aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren .

Basisbestimmung[Bearbeiten]

Gegeben: .
Gesucht: Basis von .
Verfahren: Bringe auf Zeilenstufenform Ã. Die vom Nullvektor verschiedenen Spalten von à bilden die Koordinaten einer Basis.

Basisauswahl[Bearbeiten]

Gegeben: .
Gesucht: Maximale linear unabhängige Teilmenge.
Verfahren: Bringe A auf Zeilenstufenfom Ã. Diejenigen Vektoren , deren Index j einer Stufenspalte in à entspricht, bilden eine gesuchte Teilmenge.

Basisergänzung[Bearbeiten]

Gegeben: linear unabhängig, sowie eine Basis B von V.
Gesucht: Vektoren , so dass eine Basis von V.
Verfahren: Bringe (A|B) auf Zeilenstufenfom Ã. Diejenigen der Basis B, deren Index j die Eigenschaft hat, dass die (k + j)-te Spalte von à eine Stufenspalte ist, bilden eine Basisergänzung.

Rang und Basis des Bildes einer linearen Abbildung[Bearbeiten]

Gegeben: Sei eine Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung .
Gesucht: und eine Basis vom .
Verfahren: Bringe A in Spaltenstufenform Ã, dann ist die Anzahl der vom Nullvektor verschiedenen Zeilen von à und die Spalten von A, deren Index Stufenindex von à ist, bilden eine Basis von .

Lösungsbasis eines homogenen Systems[Bearbeiten]

Gegeben:
Gesucht: Basis vom Unterraum .
Verfahren: Überführe in eine Zeilenstufenform A' .
,
dann sind die Zeilen von eine Lösungsbasis.

Basis des Kerns einer linearen Abbildung[Bearbeiten]

Gegeben: siehe (4.)
Gesucht: Basis von .
Verfahren: Bestimme eine Lösungsbasis von . Diese sind die Koordinaten einer Basis von .

Inverse einer quadratischen Matrix[Bearbeiten]

Gegeben: .
Gesucht: , falls A invertierbar.
Verfahren: Bringe auf reduzierte Zeilenstufenfom. Falls A invertierbar ist, hat die reduzierte Zeilenstufenform die Gestalt .

Gleichungen eines Unterraumes aus den Erzeugenden[Bearbeiten]

Gegeben: .
Gesucht: Matrix mit der Eigenschaft, dass ; hierbei ist .
Verfahren 1: Bestimme Basislösungen von . Die Basislösungen sind die Zeilen einer gesuchten Matrix C.
Verfahren 2: Bringe auf Zeilenstufenform à . Sei l, , die Anzahl der Stufen unter den ersten k Spalten von Ã, dann ist die rechte untere Teilmatrix von à des Formates eine gesuchte Matrix C.

Basis des Durchschnitts zweier Unterräume aus deren Erzeugenden[Bearbeiten]

Gegeben: Erzeugende für zwei Unterräume und von .
Gesucht: Basis von .
Verfahren 1: Bestimme Matrizen und zu bzw. nach (4.). Dann liefert die Matrix ein Gleichungssystem für . Dessen Basislösungen sind die Koordinaten von einer gesuchten Basis, d.h. ihre Koeffizienten bzgl. ihrer Darstellung in B.
Verfahren 2: Bilde die Matrizen bzw. aus den Erzeugenden von bzw. . Bestimme die Matrix der Basislösungen von , . Sei die Teilmatrix von C der ersten Zeilen, dann sind die Spalten von die Koordinaten einer Basis von .

Basis der Summe zweier Unterräume[Bearbeiten]

Gegeben: siehe (8.).
Gesucht: Basis von .
Verfahren: Bestimme aus der Vereinigung der Erzeugenden nach (1.) oder (2.) eine Basis.