Kurs:Lineare Algebra I/Determinanten

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Begriff, Eigenschaften, Hauptsatz[Bearbeiten]

Motivationen: Flächeninhalt eines Parallelogramms oder Parallelotops, Charakterisierung linear unabhängiger Vektoren, Bestimmung des Rangs einer linearen Abbildung.

Definition 5.1[Bearbeiten]

Eine n-te Determinantenfunktion über K ist eine Abbildung
mit folgenden Eigenschaften:
(d1) ist linear in jeder Spalte von ;
(d2) , falls in zwei Spalten gleich sind;
(d3) .

In der obigen Definition und dem Lemma ändert sich nichts, wenn das Wort Spalte jeweils durch das Wort Zeile ersetzt wird.

Theorem 5.2 (Hauptsatz über Determinantenfunktionen)[Bearbeiten]

Eine n-te Determinantenfunktion existiert und ist eindeutig bestimmt.

Lemma 5.3[Bearbeiten]

Eine Determinantenfunktion erfüllt die folgenden Regeln:
(d4) Der Wert von ändert sich nicht bei Anwendung einer Spaltenoperation auf .
(d5) Die Vertauschung zweier Spalten von ändert das Vorzeichen von .
(d6) , wenn eine Spalte von der Nullvektor ist.

Damit kann die Determinante mittels des Gauß-Algorithmus berechnet werden. Verfahren 1:

Unter Anwendung von Zeilenoperationen nur der Typen ’p’ und ’q’ wird auf (nicht normierte) reduzierte Zeilen-Stufenform gebracht. Nach (d1) und (d5) gilt: , wobei k = Anzahl der benutzten Vertauschungen ’p’. ist entweder Diagonalmatrix oder enthält eine Nullzeile. Im ersten Fall gilt nach (d1) und (d3), ansonsten ist nach (d2).

Warum reicht es aus, nur auf Dreieckform zu bringen?

Hauptsatz und Folgerungen[Bearbeiten]

Theorem 5.3 (Hauptsatz über Determinantenfunktionen)[Bearbeiten]

Eine n-te Determinantenfunktion existiert und ist eindeutig bestimmt.

Korollar 5.4 (Folgerungen aus dem Hauptsatz)[Bearbeiten]

(1) (Leibniz-Formel)
.
(2) , Dreiecksmatrix.
(3) .
(4) .
(5) gdw. .
(6) .

Erläuterung der Notation:

bezeichnet eine Permutation, d. h. eine Umordnung der Zahlen . Das Signum ist das Vorzeichen der Permutation , d. h. oder . Eine quadratische Matrix ist obere (resp. untere) Dreiecksmatrix, wenn für alle (resp. ).

Im Beweis werden folgende Aussagen über Permutationen verwendet:

(1) , wobei die Anzahl der Vertauschungen in ist und ist unabhängig von der Auswahl der Vertauschungen.
(2) Es gilt .

Geometrische Deutung der Determinante[Bearbeiten]

Determinant parallelepiped.svg

Die Determinante einer reellen Matrix beschreibt das orientierte (d.h. mit einem Vorzeichen versehenen) Volumen des Parallelotops, das durch die Spaltenvektoren von aufgespannt wird.

, .

Entwicklungssatz und Anwendungen[Bearbeiten]

Theorem 5.5 (Entwicklungssatz von Laplace)[Bearbeiten]

;
Untermatrix von nach Streichen der i-ten Zeile und j-ten Spalte.

Beispiel zur Berechnung der Determinante einer 3 x 3 Matrix.

Determinant-adj.png

Satz 5.6 (Cramersche Regel)[Bearbeiten]

Sei , dann ist die eindeutige Lösung von gegeben durch
.

Corollar 5.7[Bearbeiten]

, wobei die Matrix der Adjunkten ist.

(Transposition beachten!)

Bemerkung: Zur Berechnung konkreter Determinanten wird der Entwicklungssatz nur für spezielle Matrizen angewendet, so, wenn die Matrix dünn besetzt ist oder eine spezielle Struktur aufweist. Für die Auswertung von Determinanten kleinerer Matrizen ’mit Hand’ kann die Kombination von Entwicklungssatz und Gauß Algorithmus nützlich sein.