Kurs:Lineare Algebra I/Lineare Abbildungen

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Lineare Abbildungen[Bearbeiten]

Zu Vektorräumen gehört eine Klasse von Abbildungen, die die Rechenoperationen respektieren, die sogenannten linearen Abbildungen. Im reellen Standardraum sind genau die stetigen Abbildungen, die Geraden und Parallelität erhalten und den Ursprung fixieren, linear.

Definition 2.18[Bearbeiten]

Eine Abbildung zweier -Vektorräume heißt linear oder genauer -linear, wenn für alle und gilt:
() ,
() .

Beispiele[Bearbeiten]

– Nullabbildung: .
– Homothetien: , ( = ein fixiertes Körperelement).
– Projektionen auf eine Komponente: .
– Jede Matrix bestimmt eine lineare Abbildung (wichtig!)
– Die Ableitung einer Funktion induziert eine lineare Abbildung auf dem Vektorraum der reellen differenzierbaren Funktionen, insbesondere auf dem Raum der reellen Polynome:

Lemma 2.19[Bearbeiten]

Für jede lineare Abbildung gelten:
(1) ,
(2) Unterraum Unterraum,
(3) Unterraum Unterraum,
(4) bijektiv (eineindeutig) linear,
(5) linear linear.

Bezeichnung: Eine bijektive lineare Abbildung heißt Isomorphismus.

Definition 2.20[Bearbeiten]

Der Kern bzw. das Bild einer linearen Abbildung sind definiert durch bzw. .

Bemerkungen:

  • Nach Lemma 2.19 sind und Unterräume.
  • Eine lineare Abbildung ist injektiv gdw. .
  • Die Menge aller linearen Abbildungen von nach ist selbst ein Vektorraum und Unterraum des Vektorraumes aller Abbildungen:
.
Dabei ist die Addition und die Skalarmultiplikation von Abbildungen durch die Operationen im Bildraum gegeben, also durch und .
  • Nach Lemma 2.19 (5) induziert die Verknüpfung linearer Abbildungen eine Abbildung
.
  • Fixiert man jetzt (bzw. ), so erhält man jeweils Abbildung
bzw.
Diese Abbildungen sind jeweils linear.

Satz 2.21 (2. Dimensionsformel)[Bearbeiten]

.

Satz 2.22 (Prinzip der linearen Fortsetzung)[Bearbeiten]

Ist eine Basis von , so existiert zu jeder Auswahl von Vektoren genau eine lineare Abbildung , so dass für .

Korollar 2.23[Bearbeiten]

Jeder -dimensionale -Vektorraum ist isomorph zu .

Beweis[Bearbeiten]

Nach dem Existenzsatz für Basen (siehe Kurs:Lineare_Algebra_I/Endlich_erzeugte_Vektorräume#Lineare_Unabh.C3.A4ngigkeit.2C_Basis.2C_Dimension) besitzt eine Basis aus Vektoren, sagen wir . Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzbarkeit gibt es eine -lineare Abbildung

.

Diese Abbildung ist surjektiv, da ein |Erzeugendensystem von ist, und injektiv, da |linear unabhängig sind. Damit ist ein Isomorphismus.

Korollar 2.24[Bearbeiten]

Die Zuordnung induziert einen Isomorphismus des Vektorraumes der Matrizen auf den Vektorraum der linearen Abbildungen: .

Man überzeugt sich leicht: ist die -te Spalte von . Daher ergibt sich die inverse Abbildung aus der Zuordnung:

,

ist also die Matrix, deren Spalten den Bildern der Einheitsvektoren entsprechen.

Standardaufgaben[Bearbeiten]

(1) Teste auf lineare Unabhängigkeit.
(2) Bestimme eine Basis von .
(3) Auswahl einer linear unabhängigen Teilmenge aus .
(4) Ergänzung einer linear unabhängigen Teilmenge zu einer Basis.
(5) Teste die Zugehörigkeit eines Vektors v zu einem Unterraum .
(6) Stelle für einen Unterraum ein homogenes lineares Gleichungssystem auf, dessen Lösungsmenge ist (implizite Darstellung von ).
(7) Bestimme Basen des Durchschnitts, der Summe von Unterräumen, bzw. von komplementären Räumen.
(8) Bestimme Kern und Bild einer linearen Abbildung.