Kurs:Lineare Algebra I/Lineare Abbildungen

Lineare Abbildungen

Zu Vektorräumen gehört eine Klasse von Abbildungen, die die Rechenoperationen respektieren, die sogenannten linearen Abbildungen. Im reellen Standardraum $\mathbb {R} ^{n}$ sind genau die stetigen Abbildungen, die Geraden und Parallelität erhalten und den Ursprung fixieren, linear.

Definition 2.18

Eine Abbildung $f:V\rightarrow W$ zweier $\,K\!$-Vektorräume heißt linear oder genauer $\,K\!$-linear, wenn für alle $v,v'\in V$ und $\lambda \in K$ gilt:

($\,l_{1}\!$) $\,f(v+v')=f(v)+f(v')$,

($\,l_{2}$) $\,f(\lambda v)=\lambda f(v)$.

Beispiele

– Nullabbildung: $v\mapsto 0$.

– Homothetien: $v\mapsto \lambda v$, ($\,\lambda$ = ein fixiertes Körperelement).

– Projektionen auf eine Komponente: $x\in K^{n}\mapsto x_{i}\in K$.

– Jede Matrix $A=(a_{ij})\in Mat(m,n)$ bestimmt eine lineare Abbildung (wichtig!)

$f_{A}:K^{n}\rightarrow K^{m};(x_{1},...,x_{n})\mapsto (\sum _{j=1}^{n}a_{1j}x_{j},...,\sum _{j=1}^{n}a_{mj}x_{j})$

– Die Ableitung einer Funktion induziert eine lineare Abbildung auf dem Vektorraum der reellen differenzierbaren Funktionen, insbesondere auf dem Raum der reellen Polynome:

$\partial /\partial x:\mathbb {R} [X]\rightarrow \mathbb {R} [X],f(X)\mapsto f'(X)$

Lemma 2.19

Für jede lineare Abbildung $f:V\rightarrow W$ gelten:

(1) $\,f(0)=0$,

(2) $\,U\subset V$ Unterraum $\Rightarrow f(U)\subset W$ Unterraum,

(3) $\,Z\subset W$ Unterraum $\Rightarrow f^{-1}(Z)\subset V$ Unterraum,

(4) $\,f$ bijektiv (eineindeutig) $\Rightarrow f^{-1}$ linear,

(5) $\,g:W\rightarrow Z$ linear $\Rightarrow g\circ f:V\rightarrow Z$ linear.

Bezeichnung: Eine bijektive lineare Abbildung heißt Isomorphismus.

Definition 2.20

Der Kern bzw. das Bild einer linearen Abbildung $f:V\rightarrow W$ sind definiert durch $Ker(f):=\{v\in V|f(v)=0\}$ bzw. $Im(f):=\{f(v)\in W|v\in V\}$.

Bemerkungen:

• Nach Lemma 2.19 sind $\,Ker(f)$ und $\,Im(f)$ Unterräume.
• Eine lineare Abbildung $\,f$ ist injektiv gdw. $\,Ker(f)=\{0\}$.
• Die Menge aller linearen Abbildungen von $\,V$ nach $\,W$ ist selbst ein Vektorraum und Unterraum des Vektorraumes aller Abbildungen:

$Hom(V,W):=\{f|f:V\rightarrow W,f~{\mbox{linear}}\}\subset Abb(V,W)$.

Dabei ist die Addition und die Skalarmultiplikation von Abbildungen durch die Operationen im Bildraum gegeben, also durch $\,(f+g)(v):=f(v)+g(v)$ und $\,(\lambda f)(v):=\lambda (f(v))$.

• Nach Lemma 2.19 (5) induziert die Verknüpfung linearer Abbildungen eine Abbildung

$\circ :Hom(V,W)\times Hom(W,Z)\rightarrow Hom(V,Z)$ $(f,g)\mapsto g\circ f$.

• Fixiert man jetzt $\,f$ (bzw. $\,g$), so erhält man jeweils Abbildung

$\circ f:Hom(W,Z)\rightarrow Hom(V,Z)$ bzw. $g\circ :Hom(V,W)\rightarrow Hom(V,Z)$

Diese Abbildungen sind jeweils linear.

Satz 2.21 (2. Dimensionsformel)

$\,\dim(V)=\dim(Ker(f))+\dim(Im(f))$.

Satz 2.22 (Prinzip der linearen Fortsetzung)

Ist $\,\{v_{1},...,v_{n}\}$ eine Basis von $\,V$, so existiert zu jeder Auswahl von $\,n$ Vektoren $w_{1},...,w_{n}\in W$ genau eine lineare Abbildung $\,f:V\rightarrow W$, so dass $\,f(v_{i})=w_{i}$ für $\,i=1,...,n$.

Korollar 2.23

Jeder $\,n$-dimensionale $\,K\!$-Vektorraum $\,V$ ist isomorph zu $\,K^{n}$.

Beweis

Nach dem Existenzsatz für Basen (siehe Kurs:Lineare_Algebra_I/Endlich_erzeugte_Vektorräume#Lineare_Unabh.C3.A4ngigkeit.2C_Basis.2C_Dimension) besitzt $\,V$ eine Basis aus $\,n$ Vektoren, sagen wir $\,v_{1},\ldots ,v_{n}$. Nach dem Prinzip der linearen Fortsetzbarkeit gibt es eine $\,K\!$-lineare Abbildung

$\,\varphi :K^{n}\rightarrow V,e_{i}\mapsto v_{i},\,i=1,\ldots n$.

Diese Abbildung ist surjektiv, da $\,v_{1},\ldots ,v_{n}$ ein |Erzeugendensystem von $\,V$ ist, und injektiv, da $\,v_{1},\ldots ,v_{n}$ |linear unabhängig sind. Damit ist $\,\varphi$ ein Isomorphismus.

Korollar 2.24

Die Zuordnung $A\mapsto f_{A}$ induziert einen Isomorphismus des Vektorraumes der Matrizen auf den Vektorraum der linearen Abbildungen: $Mat(m,n;K)\cong Hom(K^{n},K^{m})$.

Man überzeugt sich leicht: $\,f_{A}(e_{i})=a_{i}$ ist die $\,i$-te Spalte von $\,A$. Daher ergibt sich die inverse Abbildung aus der Zuordnung:

$\,f\mapsto M(f):=(f(e_{1}),...,f(e_{n}))$,

$\,M(f)$ ist also die Matrix, deren Spalten den Bildern der Einheitsvektoren entsprechen.

Standardaufgaben

(1) Teste $M\subset K^{n}$ auf lineare Unabhängigkeit.

(2) Bestimme eine Basis von $Lin(M)\subset K^{n}$.

(3) Auswahl einer linear unabhängigen Teilmenge aus $M\subset K^{n}$.

(4) Ergänzung einer linear unabhängigen Teilmenge $M\subset K^{n}$ zu einer Basis.

(5) Teste die Zugehörigkeit eines Vektors v zu einem Unterraum $U\subset V$ .

(6) Stelle für einen Unterraum $U\subset K^{n}$ ein homogenes lineares Gleichungssystem auf, dessen Lösungsmenge $U$ ist (implizite Darstellung von $U$).

(7) Bestimme Basen des Durchschnitts, der Summe von Unterräumen, bzw. von komplementären Räumen.

(8) Bestimme Kern und Bild einer linearen Abbildung.