a) Matrizen als Vektorraum (zur Wiederholung)
Neben den elementaren Zeilenoperationen sind die folgenden Operationen naheliegend:
- Addition von Matrizen mit gleichem Typ:
.
- Skalare Multiplikation einer Matrix mit einer Konstanten:
.
Mit diesen Operationen wird die Menge
zu einen K-Vektorraum.
Testfrage: Welche Dimension hat dieser Vektorraum?
Eine weitere (einstellige) Operation:
- Transposition einer Matrizen:
.
Dabei werden die Spalten und Zeilen miteinander vertauscht.
Regeln:
und
, d.h.
ist linear (und bjektiv), also ein Isomorphismus der Vektorräume.
b) Unterräume assoziiert zu einer Matrix
Einer Matrix
ordnen wir drei Unterräume zu:
- Zeilenvektorraum, erzeugt von den Zeilenvektoren von
,
- Spaltenvektorraum, erzeugt von den Spaltenvektoren von
,
- Lösungsraum des zu
zugehörigen linearen Gleichungssystems.
Bemerkung: Der Zeilenraum einer Matrix ist unter Zeilenoperationen (also beim Gauß-Algorithmus) invariant.
Aus den Sätzen 1.10 und 2.8 erhalten wir:
.
Nur für den Körper der reellen Zahlen (oder dessen Unterkörper wie
) gilt die folgende Aussage:
- Sei
, dann ist
, insbesondere sind
und
komplementär.
Wir können nun eine vom Gauß-Algorithmus unabhängige Charakterisierung des Ranges geben.
- Der Rang einer Matrix ist die maximale Zahl linear unabhängiger Zeilen (bzw. Spalten) einer Matrix, d.h.
.
Die Multiplikation von Matrizen kann auf die Verknüpfung linearer Abbildungen zurückgeführt werden.
Idee: Seien
und
zwei Matrizen, dann liefert die Verknüpfung
eine lineare Abbildung
, die gerade vom Produkt der Matrizen
induziert sein soll, d.h. die Produktmatrix
wird durch die Gleichung
eingeführt.
- Das Produkt zweier Matrizen
und
ist definiert, falls Spaltenzahl von A gleich Zeilenzahl von B (also
) und ergibt eine Matrix vom Typ
Zeilenzahl(A)
Spaltenzahl(B):
.
Das Produkt von Matrizen induziert Abbildungen
.
Sofern die Produkte definiert sind gelten folgende Regeln:
- a)
,
- b)
,
- c)
,
- d)
,
- e)
,
- f)
, wobei
und
die (n, n)-Matrix aus den n Einheitsvektoren.
Achtung: Auch für quadratische Matrizen ist das Produkt in der Regel nicht kommutativ.
Vereinfachte Schreibweisen:
- a) Ein lineares Gleichungssystem mit erweiterter Koeffizientenmatrix
![{\displaystyle x={\begin{pmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{pmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1de7fb906e6b1e096128f0fd193acd1f03b5abea)
- b) Die einer Matrix A zugeordnete lineare Abbildung
.
- c)
![{\displaystyle Ker(f_{A})={\mathcal {H}}(A,0)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e94ae305466eb04c5c5dfd49d8ce550547cb76e5)
- d)
![{\displaystyle Im(f_{A})={\mathcal {S}}(A)=\{b|{\mathcal {H}}(A,b)\neq \emptyset \}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/238b9bbe955e32109da64a88ab0b3ac4caf12d71)
- e)
![{\displaystyle f_{A}^{-1}(b)={\mathcal {H}}(A,b)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aede9cf58a7342d84d325ea119379927e889392d)
Üblicherweise wird der Punkt bei der Matrixmultiplikation weggelassen.
Im folgenden Abschnitt werden ausschließlich quadratischen Matrizen betrachtet:
. Hier ist die Multiplikation unbeschränkt ausführbar. Wir fragen nach der Existenz einer zu
inversen Matrix, d.h. nach einer Lösung der Matrixgleichung
.
- Die Matrixgleichung
,
, ist lösbar gdw.
. Ist die Gleichung lösbar, dann ist die Lösung eindeutig.
Die eindeutige Lösung bezeichnen wir mit
, die Inverse von
. Quadratische Matrizen mit maximalem Rang nennen wir regulär. Die Menge aller regulären Matrizen bezeichnen wir mit
.
- Eine Matrix
heißt regulär, wenn
.
Rechenregeln:
- Seien
, dann sind
und
ebenfalls regulär und es gilt:
und
.
Testfragen:
- Wie sieht die reduzierte Zeilen-Stufenform einer regulären Matrix aus?
- Welchen Rang hat
? (Begründung?)
Rechenverfahren: Bestimmung der Inversen
- Überführe
in die reduzierte Zeile-Stufenform. Resultat:
.
Bemerkungen: Die Menge aller regulären Matrizen bildet eine Gruppe, die lineare Gruppe. Wir führen den Gruppenbegriff erst später ein, hier bedeutet dies: Das Produkt zweier regulärer Matrizen ist wieder regulär und ebenso ihre Inverse. Bezeichnung:
.
Die elementaren Zeilen- (bzw. Spalten-) operationen werden durch Multiplikation mit den sogenannten Elementarmatrizen induziert.
- Die Anwendung einer elementaren Zeilenoperation
,
oder
auf die Einheitsmatrix
ergibt eine zugehörige Elementarmatrix, die wir entsprechend der Elementaroperation mit
,
bzw.
bezeichnen.
- Sei
eine der elementaren Zeilenoperationen
,
,
und
die zugehörige Elementarmatrix, dann gilt:
.
Bemerkungen:
Für eine analoge Spaltenoperation gilt:
, wobei
die Transponierte von
ist.
- a) Jede reguläre Matrix ist Produkt von Elementarmatrizen.
- b) Ist
ein Folge elementarer Zeilenoperationen, dann existiert eine Matrix
mit
.
- c) Ist
eine Folge elementarer Spaltenoperationen, dann existiert eine Matrix
mit
.
- d) Zu jeder Matrix
,
, gibt es Matrizen
und
mit
.
- Jede Basis
eines Vektorraumes
induziert durch die Zuordnung
einen Koordinatenisomorphismus
. Hierbei heißt das n-Tupel
Koordinaten von x bzgl. B und ergibt sich aus den Koeffizienten der eindeutigen Darstellung von x als Linearkombination von B:
,
.
- Für die Umrechnung von Koordinaten gilt: Sind
und
zwei Basen von
, so ist
, wobei die Transformationmatrix
die Matrix zur Abbildung
ist.
- Die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung
bzgl. einer Basis
von
und einer Basis
von
ist die zu
gehörige Matrix,
.
Die Matrixdarstellung lässt sich am einfachsten mit einem Diagramm von Abbildungen erklären.
Die Matrix
wird wie folgt aufgestellt: Die
Spalten ergeben sich aus den Koordinaten bzgl.
der Bilder der Basisvektoren
von
, abgekürzt
. Die Umrechnung der Darstellungen bzgl. verschiedener Basen kann man sich an entsprechenden Abbildungsdiagrammmen verdeutlichen.
- Es gelten die folgenden Transformationsformeln, dabei sind
,
Basen von
, sowie
und
Basen von
und
eine lineare Abbildung:
- (1)
![{\displaystyle (f(x))_{C}=M_{C}^{B}(f)\cdot (x)_{B}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d4156b1061eb92d90c6d527180099b9f66345ca1)
- (2)
![{\displaystyle M_{C'}^{B'}(f)=T_{C'}^{C}\cdot M_{C}^{B}(f)\cdot T_{B}^{B'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af00593905a778014afa25816f7430c73e74e4f1)
- (3)
![{\displaystyle M_{B'}^{B}(id_{V})=T_{B'}^{B}=(T_{B}^{B'})^{-1}=M_{B}^{B'}(id_{V})^{-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0880732f93b195827d4e94faf8dc84ac0b70ef92)
Bemerkung:
Ist
eine Basis von
und bezeichne
ebenfalls die Matrix, deren Spalten aus den Vektoren der Basis
gebildet werden, so gilt:
,
bezeichne die kanonische Basis
.