Kurs:Lineare Algebra I/Matrix-Kalkül

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Rang und assoziierte Unterräume[Bearbeiten]

a) Matrizen als Vektorraum (zur Wiederholung)

Neben den elementaren Zeilenoperationen sind die folgenden Operationen naheliegend:

Addition von Matrizen mit gleichem Typ:
.
Skalare Multiplikation einer Matrix mit einer Konstanten:
.

Mit diesen Operationen wird die Menge zu einen K-Vektorraum. Testfrage: Welche Dimension hat dieser Vektorraum?

Eine weitere (einstellige) Operation:

Transposition einer Matrizen:
.

Dabei werden die Spalten und Zeilen miteinander vertauscht.

Regeln: und , d.h. ist linear (und bjektiv), also ein Isomorphismus der Vektorräume.

b) Unterräume assoziiert zu einer Matrix

Einer Matrix ordnen wir drei Unterräume zu:

  • - Zeilenvektorraum, erzeugt von den Zeilenvektoren von ,
  • - Spaltenvektorraum, erzeugt von den Spaltenvektoren von ,
  • - Lösungsraum des zu zugehörigen linearen Gleichungssystems.

Bemerkung: Der Zeilenraum einer Matrix ist unter Zeilenoperationen (also beim Gauß-Algorithmus) invariant.

Aus den Sätzen 1.10 und 2.8 erhalten wir:

Satz 3.1 (3. Dimensionsformel)[Bearbeiten]

.

Nur für den Körper der reellen Zahlen (oder dessen Unterkörper wie ) gilt die folgende Aussage:

Lemma 3.2[Bearbeiten]

Sei , dann ist , insbesondere sind und komplementär.

Wir können nun eine vom Gauß-Algorithmus unabhängige Charakterisierung des Ranges geben.

Definition 3.3[Bearbeiten]

Der Rang einer Matrix ist die maximale Zahl linear unabhängiger Zeilen (bzw. Spalten) einer Matrix, d.h. .

Matrixprodukt[Bearbeiten]

Die Multiplikation von Matrizen kann auf die Verknüpfung linearer Abbildungen zurückgeführt werden. Idee: Seien und zwei Matrizen, dann liefert die Verknüpfung eine lineare Abbildung , die gerade vom Produkt der Matrizen induziert sein soll, d.h. die Produktmatrix wird durch die Gleichung eingeführt.

Definition 3.4[Bearbeiten]

Das Produkt zweier Matrizen und ist definiert, falls Spaltenzahl von A gleich Zeilenzahl von B (also ) und ergibt eine Matrix vom Typ Zeilenzahl(A) Spaltenzahl(B): .

Das Produkt von Matrizen induziert Abbildungen .

Sofern die Produkte definiert sind gelten folgende Regeln:

a) ,
b) ,
c) ,
d) ,
e) ,
f) , wobei und die (n, n)-Matrix aus den n Einheitsvektoren.

Achtung: Auch für quadratische Matrizen ist das Produkt in der Regel nicht kommutativ.

Vereinfachte Schreibweisen:

a) Ein lineares Gleichungssystem mit erweiterter Koeffizientenmatrix
b) Die einer Matrix A zugeordnete lineare Abbildung .
c)
d)
e)

Üblicherweise wird der Punkt bei der Matrixmultiplikation weggelassen.

Reguläre Matrizen[Bearbeiten]

Im folgenden Abschnitt werden ausschließlich quadratischen Matrizen betrachtet: . Hier ist die Multiplikation unbeschränkt ausführbar. Wir fragen nach der Existenz einer zu inversen Matrix, d.h. nach einer Lösung der Matrixgleichung .

Satz 3.5[Bearbeiten]

Die Matrixgleichung , , ist lösbar gdw. . Ist die Gleichung lösbar, dann ist die Lösung eindeutig.

Die eindeutige Lösung bezeichnen wir mit , die Inverse von . Quadratische Matrizen mit maximalem Rang nennen wir regulär. Die Menge aller regulären Matrizen bezeichnen wir mit .

Definition 3.6[Bearbeiten]

Eine Matrix heißt regulär, wenn .

Rechenregeln:

Seien , dann sind und ebenfalls regulär und es gilt:
und .

Testfragen:

Wie sieht die reduzierte Zeilen-Stufenform einer regulären Matrix aus?
Welchen Rang hat ? (Begründung?)

Rechenverfahren: Bestimmung der Inversen

Überführe in die reduzierte Zeile-Stufenform. Resultat: .

Bemerkungen: Die Menge aller regulären Matrizen bildet eine Gruppe, die lineare Gruppe. Wir führen den Gruppenbegriff erst später ein, hier bedeutet dies: Das Produkt zweier regulärer Matrizen ist wieder regulär und ebenso ihre Inverse. Bezeichnung: .

Elementarmatrizen[Bearbeiten]

Die elementaren Zeilen- (bzw. Spalten-) operationen werden durch Multiplikation mit den sogenannten Elementarmatrizen induziert.

Definition 3.7[Bearbeiten]

Die Anwendung einer elementaren Zeilenoperation , oder auf die Einheitsmatrix ergibt eine zugehörige Elementarmatrix, die wir entsprechend der Elementaroperation mit , bzw. bezeichnen.

Satz 3.8[Bearbeiten]

Sei eine der elementaren Zeilenoperationen , , und die zugehörige Elementarmatrix, dann gilt: .

Bemerkungen: Für eine analoge Spaltenoperation gilt: , wobei die Transponierte von ist.

Lemma 3.9[Bearbeiten]

a) Jede reguläre Matrix ist Produkt von Elementarmatrizen.
b) Ist ein Folge elementarer Zeilenoperationen, dann existiert eine Matrix mit .
c) Ist eine Folge elementarer Spaltenoperationen, dann existiert eine Matrix mit .
d) Zu jeder Matrix , , gibt es Matrizen und mit
.

Koordinaten-Kalkül[Bearbeiten]

Definition 3.10[Bearbeiten]

Jede Basis eines Vektorraumes induziert durch die Zuordnung einen Koordinatenisomorphismus . Hierbei heißt das n-Tupel Koordinaten von x bzgl. B und ergibt sich aus den Koeffizienten der eindeutigen Darstellung von x als Linearkombination von B: , .

Satz 3.11[Bearbeiten]

Für die Umrechnung von Koordinaten gilt: Sind und zwei Basen von , so ist , wobei die Transformationmatrix die Matrix zur Abbildung ist.

Definition 3.12[Bearbeiten]

Die Matrixdarstellung einer linearen Abbildung bzgl. einer Basis von und einer Basis von ist die zu gehörige Matrix, .

Die Matrixdarstellung lässt sich am einfachsten mit einem Diagramm von Abbildungen erklären.

Die Matrix wird wie folgt aufgestellt: Die Spalten ergeben sich aus den Koordinaten bzgl. der Bilder der Basisvektoren von , abgekürzt . Die Umrechnung der Darstellungen bzgl. verschiedener Basen kann man sich an entsprechenden Abbildungsdiagrammmen verdeutlichen.

Satz 3.13[Bearbeiten]

Es gelten die folgenden Transformationsformeln, dabei sind , Basen von , sowie und Basen von und eine lineare Abbildung:
(1)
(2)
(3)

Bemerkung:

Ist eine Basis von und bezeichne ebenfalls die Matrix, deren Spalten aus den Vektoren der Basis gebildet werden, so gilt: , bezeichne die kanonische Basis .