Kurs:Logik/Beweise

Hier werden die im Abschnitt - Gesetze - des Kurses Logik behandelten Rechenregeln und Gesetze bewiesen. Dieser Abschnitt wurde eingeführt, da bei der Bearbeitung des Kurses viel zu viele Tabellen genutzt werden, welche den Quelltext vollkommen unleserlich machen würden. Ausserdem ist dies ein geeignetes Nachschlagewerk zu den Gesetzen der Aussagenlogik.

Beweise haben stets ein Axiomensystem als Ausgangspunkt. Die Logik, besonders die hier stark an der Schaltalgebra orientierte, geht von den Werten wahr und falsch aus. Diesen beiden Werten sind dann die Zahlenwerte 0 (falsch) und 1 (wahr) einfach zugeordnet worden. Für Beweise reichen derart willkürliche Zuordnungen natürlich nicht aus. Andererseits darf hier auch ein tiefer Einstieg in die Erörterung all der Axiomatiken für Logik erfolgen. Aber ein qed muss zu gewährleisten sein.

Die Basis bildet die Mengenlehre. Als erstes ist die Negation zu beweisen, denn auf ihr beruhen die De Morganschen Gesetze. Sie wurden übrigens für die Mengenalgebra formuliert.

Mengenalgebra

Die De Morganschen Gesetze werden oft als

${\overline {A\cap B}}={\overline {A}}\cup {\overline {B}}$

${\overline {A\cup B}}={\overline {A}}\cap {\overline {B}}$

formuliert. Der Zusatz: ${\overline {A}}$ ist das Komplement von $A\$ ist für eine Beweisführung zu wenig. Es fehlt die Klärung des Komplements.

Differenzmenge

Ohne Betrachtung der Elemente, also ohne Existenz- und Allaussagen, darf die Komplementmenge über

wenn

$A\subseteq M$,

dann gilt

$M\cap M\setminus A={\overline {A}}$.

erklärt werden. Eigentlich nur die Bildung der Differenzmenge, aber weil A Teilmenge von M ist, darf ${\overline {A}}$ als Differenzmenge von $A\$ bezüglich $M\$ angenommen werden. Allerdings müssen abschließend noch die beteiligten Elemente betrachtet werden.

Für die hier betrachtete Logik gibt es erst einmal nur wahr und falsch. Damit ist

$M=\lbrace \ wahr\ falsch\ \rbrace$,

Also gleich mal überprüfen:

1. $A=\lbrace \ wahr\ \rbrace ;\ \,\,M\setminus A=\lbrace \ wahr\ falsch\ \rbrace \setminus \lbrace \ wahr\ \rbrace \,\,\,=\lbrace \ falsch\ \rbrace$
2. $A=\lbrace \ falsch\ \rbrace ;M\setminus A=\lbrace \ wahr\ falsch\ \rbrace \setminus \lbrace \ falsch\ \rbrace =\lbrace \ wahr\ \rbrace$

Die Bildung der Differenzmenge funktioniert mit den angenommenen Elementen. Es darf also auch wahr mit 1 und falsch mit 0 assoziiert werden. Allerdings können die Assoziationspartner auch vertauscht werden, ohne gegen die Differenzbildung zu verstoßen. Diese Zuordnung ist also immer noch willkürlich.

Ganz wichtig ist in diesem Zusammenhang, dass es sich bei 1 und 0 keinesfalls um Zahlenwerte handelt. Es sind nur Elemente einer Menge, die bisher noch keine weiteren Eigenschaften haben. Es kann mit der Differenzbildung zwar aus jeder 1 eine 0 und aus jeder 0 eine 1 werden, aber was repräsentiert 1 bzw. 0? Es muss ein Mittel gegen die Willkür her.

Hilfreich sind die "asymmetrischen" Operatoren. Dort wird behauptet, dass Relationen existieren, die Aussagen über die Größe des einen gegenüber dem anderen Operanden erlauben. Zweifellos wird der Begriff Wahrheit einer hier gestellten Alternative Falschheit gegenüber höher bewertet. Das ist jedoch nur sprachlicher Natur. Mathematisch sind beide gleichwertig, denn wahr und falsch sind in der Bezugsmenge M enthalten. Es gibt also keinen Grund den Wert 1 dem Element wahr zuzuordnen.

Das Problem ist, dass die einzige Alternative zu wahr eben falsch ist. Die Aussagenlogik beschäftigt sich mit dem Wahrheitsgehalt von Aussagen, nicht mit dem Falschheitsgehalt.

Bezugsmenge

Damit stellt sich die Frage nach der Menge, die nicht wahr enthält. Was soll das denn sein? "Die Menge aller geplatzten Autoreifen?" oder "Alle Elektronen im Universum mit dem Spin links?" oder was? Beides durchaus korrekte Alternativen zu wahr. Mathematiker sind aber auch Minimalisten. Wenn Die sowas sagen, dann hat das meistens auch Sinn. Die Bezugsmenge

$M=\lbrace \ wahr\ falsch\ \rbrace$,

wird einfach auf

$M=\lbrace \ wahr\ \rbrace$,

verkleinert. Das sei nun die Menge aller möglichen Elemente die wahr sind.

$A=\lbrace \ wahr\ \rbrace ;\ \,\,M\setminus A=\lbrace \ wahr\ \rbrace \setminus \lbrace \ wahr\ \rbrace \,\,\,=\lbrace \ \rbrace$

$A=\lbrace \ \rbrace ;\qquad \quad \ M\setminus A=\lbrace \ wahr\ \rbrace \setminus \lbrace \ \rbrace \qquad \ \ \ \,=\lbrace \ wahr\ \rbrace$

Die Bildung der Differenzmenge funktioniert wie beim ersten mal. Die Basis für die Beweisführung ist vorhanden.

Negation

Weil hier nur Mengen mit höchstens einem und dann stets gleichem Element beteiligt sind, entspricht die Bildung der Differenzmenge auch einer Komplementierung. Das 1er-Komplement ist die logische Negation.

Arithmetik

Die Arithmetik setzt sich mit Problemen des Berechnens auseinander. Rechnen selbst erfolgt über Beträge (hat hier nichts mit dem Absolutwert zu tun). Der "Betrag einer Menge" ist einfach die Anzahl der enthaltenen Elemente. Damit entspricht eine

wahre Aussage der Menge

$A=\lbrace \ wahr\ \rbrace$

mit dem Betrag

$|A|=|\lbrace \ wahr\ \rbrace |=1$

Von jeder nicht wahren Aussage B kann jetzt erwartet werden, dass ihr Betrag kleiner oder gleich dem jeder anderen (logischen) Aussage ist.

$B=\neg A=\neg \lbrace \ wahr\ \rbrace =\lbrace \ \rbrace$

Damit ist

$|B|\leq |A|$.

Warum eine wahre Aussage, höher bewertet wird als eine nicht wahre ist nun klarer. Es ist nicht die höhere "Wertschätzung" der Wahrheit, es ist einfach der "Wahrheigehalt". In jedem Fall sind jetzt die willkürlichen Zuordnungen 1 für wahr und 0 für "falsch" nicht mehr so willkürlich. Für logische Werte lassen sich die "asymmetrieschen" Operatoren anders nur schwerlich erklären.

Trichotomie

Jetzt ist die Anwendung der Trichotomiegesetze möglich. Bei einem Vergleich von zwei Aussagen kann zwar immer noch nicht gesagt werden welche der beiden "größer" ist, aber es kann festgestellt werden, welche den größeren Wahrheitsgehalt hat.

Diese Feststellung sei hier getroffen, womit hier die Relationen auf dem Vergleich der Wahrheitsgehalte beruhen.

Für eine vollständige Erklärung muss die Mathematik noch ihre Hausaufgaben machen. Wenn nämlich gilt

${\frac {2}{6}}\leq {\frac {1}{2}}$

dann ist unter der Prämisse

$A=\lbrace \ wahr\ \rbrace \ ;\ \ B=\neg A$

auch

$B\leq A$

gültig.

Begründung: Die Menge der rationalen Zahlen enthält zwar das Element ${\frac {2}{6}}$, es ist also

${\frac {2}{6}}\in \mathbb {C}$

eine wahre Aussage, aber über den "Wert" des Elements ist keine Aussage getroffen. Damit kann die o.g. Relation nur dann wahr sein, wenn vorher der Wert von ${\frac {2}{6}}$ ermittelt wird. Die Ermittlung der Mächtigkeit oder des Betrags einer Menge stellt den gleichen Vorgang dar und deshalb kann auch die Mengenrelation als korrekt angesehen werden.

to be continued

Beweise zu den Grundgesetzen

Es gibt bei den Grundgesetzen immer zwei Formen der Gesetze. Die eine bezieht sich auf UND- Verknüpfungen (Konjunktion), die andere auf ODER- Verknüpfungen (Disjunktion). Es wird aber nur jeweils eine der beiden Formen bewiesen, der Beweis der anderen Form wird euch überlassen... :-P

Kommutativitätsgesetz

Konjunktion:$a\land b\equiv b\land a$

Disjunktion:$a\lor b\equiv b\lor a$

Beweis (Konjunktion):

$a$	$b$	$a$	$\land$	$b$	$\equiv$	$b$	$\land$	$a$
1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	0	1	0	0	1	0	0	1
0	1	0	0	1	1	1	0	0
0	0	0	0	0	1	0	0	0

Assoziativitätsgesetz

Konjunktion:$a\land (b\land c)\equiv (a\land b)\land c$

Disjunktion:$a\lor (b\lor c)\equiv (a\lor b)\lor c$

$a$	$b$	$c$	$a$	$\land$	$(b$	$\land$	$c)$	$\equiv$	$(a$	$\land$	$b)$	$\land$	$c$
1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
1	1	0	1	0	1	0	0	1	1	1	1	0	0
1	0	1	1	0	0	0	1	1	1	0	0	0	1
1	0	0	1	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0
0	1	1	0	0	1	1	1	1	0	0	1	0	1
0	1	0	0	0	1	0	0	1	0	0	1	0	0
0	0	1	0	0	0	0	1	1	0	0	0	0	1
0	0	0	0	0	0	0	0	1	0	0	0	0	0