Kurs:Maß- und Integrationstheorie (Osnabrück 2022-2023)/Arbeitsblatt 7/latex
\setcounter{section}{7}
\zwischenueberschrift{Aufwärmaufgaben}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
\bild{ \begin{center}
\includegraphics[width=5.5cm]{\bildeinlesung {Linalg_parallelogram_area.png} }
\end{center}
\bildtext {} }
\bildlizenz { Linalg parallelogram area.png } {Nicholas Longo} {Thenub314} {Commons} {CC-by-sa 2.5} {}
Man begründe anhand des Bildes, dass zu zwei Vektoren \mathkor {} {(x_1,y_1)} {und} {(x_2,y_2)} {} die \definitionsverweis {Determinante}{}{} der durch die Vektoren definierten $2\times 2$-Matrix mit dem Flächeninhalt des von den beiden Vektoren aufgespannten \stichwort {Parallelogramms} {} \zusatzklammer {bis auf das Vorzeichen} {} {} übereinstimmt.
$\,$
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien
\mathl{P_1=(a_1,b_1),\, P_2=(a_2,b_2)}{} und
\mathl{P_3=(a_3,b_3)}{} drei Punkte im $\R^2$. Stelle den Flächeninhalt des zugehörigen Dreiecks mit
\mathl{a_1,b_1,a_2,b_2,a_3,b_3}{} dar.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne das Volumen des von den drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 1 \\2\\ 3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 4 \\-5\\ 6 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 7 \\8\\ 9 \end{pmatrix}} { }
im $\R^3$ erzeugten Parallelotops.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne das Volumen des von den drei Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\0\\ -3 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 4 \\5\\ -1 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} 7 \\7\\ 1 \end{pmatrix}} { }
im $\R^3$ erzeugten Parallelotops.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Zeige, dass die \definitionsverweis {Determinante}{}{} einer \definitionsverweis {linearen Isometrie}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^n } {} gleich \mathkor {} {1} {oder gleich} {-1} {} ist.
}
{} {(Tipp: Betrachte
\mathl{{ L^{ \text{tr} } } \circ L}{).}}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein Beispiel für eine \definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^n } {} derart, dass $\varphi$ \definitionsverweis {volumentreu}{}{,} aber keine \definitionsverweis {Isometrie}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {L} {\R^n} {\R^n
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
und
\mathl{c \in \R_{\geq 0}}{.} Zeige die Gleichheit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ L_*(c \lambda^n)
}
{ = }{c (L_* \lambda^n)
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\maabbdisp {p_1} {\R^2} {\R
} {}
die lineare Projektion auf die erste Komponente. Man skizziere drei messbare Teilmengen
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T_1,T_2,T_3
}
{ \subseteq }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
derart an, dass ihr Flächeninhalt gleich $0$ bzw. $1$ bzw. $\infty$ ist und deren Bild in $\R$ die Länge $1$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei \maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^n } {} ein \definitionsverweis {linearer Endomorphismus}{}{,} der nicht \definitionsverweis {bijektiv}{}{} sei. Zeige, dass das \definitionsverweis {Bildmaß}{}{} $\varphi_*\lambda^n$ nicht $\sigma$-\definitionsverweis {endlich}{}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{n \in \N}{.} Zeige, dass es eine positive reelle Zahl
\mathl{\kappa_n}{} gibt derart, dass das $n$-dimensionale
\definitionsverweis {Volumen}{}{} einer
\definitionsverweis {abgeschlossenen Kugel}{}{} im $\R^n$ mit Radius $r$ und mit einem beliebigen Mittelpunkt gleich
\mathl{\kappa_n r^n}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Berechne den
\definitionsverweis {Flächeninhalt}{}{}
des von den Vektoren
\mathdisp {(1,3,5) \text{ und } (-2,4,1)} { }
im $\R^3$
\definitionsverweis {erzeugten Parallelogramms}{}{}
\zusatzklammer {in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne den
\definitionsverweis {Flächeninhalt}{}{}
des von den Vektoren
\mathdisp {v=(2,3,-4) \text{ und } w=(1,-1,7)} { }
im $\R^3$
\definitionsverweis {erzeugten Parallelogramms}{}{}
\zusatzklammer {in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Volumen}{}{}
des von den Vektoren
\mathdisp {\begin{pmatrix} 2 \\0\\ 0\\1 \end{pmatrix} ,\, \begin{pmatrix} 1 \\-1\\ 2\\0 \end{pmatrix} \text{ und } \begin{pmatrix} -1 \\0\\ 2\\1 \end{pmatrix}} { }
im $\R^4$
\definitionsverweis {erzeugten Parallelotops}{}{}
\zusatzklammer {in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum} {} {.}
}
{} {}
\zwischenueberschrift{Aufgaben zum Abgeben}
\inputaufgabe
{4}
{
Berechne das
\definitionsverweis {Volumen}{}{}
des von den Vektoren
\mathdisp {(2,1,3,4),(4,0,-1,3) \text{ und } (5,-2,-2,0)} { }
im $\R^4$
\definitionsverweis {erzeugten Parallelotops}{}{}
\zusatzklammer {in dem von diesen Vektoren erzeugten Unterraum} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Berechne den Flächeninhalt des von den Vektoren
\mathl{(0,1),\, (2,0), \, (1,3)}{} erzeugten \anfuehrung{Pseudoparallelogramms}{,}
also von
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S
}
{ =} { { \left\{ a(0,1)+b(2,0)+c(1,3) \mid a,b,c \in [0,1] \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^n} {\R^m
} {}
eine
\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{,}
die
\definitionsverweis {surjektiv}{}{,}
aber nicht
\definitionsverweis {injektiv}{}{}
sei. Zeige, dass das
\definitionsverweis {Bildmaß}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \mu
}
{ = }{ \varphi_*\lambda^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
für jede
\definitionsverweis {Borelmenge}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \subseteq }{ \R^m
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
durch
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ \mu(T)
}
{ =} { \begin{cases} 0, \text{ falls } \lambda^m(T) = 0 \, ,\\ \infty , \text{ falls } \lambda^m(T) > 0 \, ,\end{cases}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
bestimmt ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{4}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ S
}
{ = }{ { \left\{ (x,y,z) \in \R^3 \mid x^2+y^2+z^2 = 1 \right\} }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die Oberfläche der
\definitionsverweis {Einheitskugel}{}{.}
Zeige, dass das
\definitionsverweis {Volumen}{}{}
dieser Oberfläche $0$ ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ u
}
{ \in }{ {\mathbb C}
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
eine
\definitionsverweis {komplexe Zahl}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \betrag { u }
}
{ = }{ 1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass die Multiplikationsabbildung
\maabbeledisp {} {{\mathbb C}} {{\mathbb C}
} {z} {uz
} {,}
\definitionsverweis {flächentreu}{}{}
ist.
}
{(Dabei ist
\mathl{{\mathbb C}=\R^2}{} mit dem Borel-Lebesgue-Maß versehen).} {}
\inputaufgabe
{6}
{
Es seien drei Vektoren
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ v_1,v_2,v_3
}
{ \in }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gegeben und es sei
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{S
}
{ =} { { \left\{ av_1 +b v_2 +c v_3 \mid a,b,c \in [0,1] \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
das davon erzeugte \anfuehrung{Pseudoparallelogramm}{.} Zeige, dass der Flächeninhalt von $S$ gleich der Summe der Flächeninhalte der drei Parallelogramme ist, die von je zwei der beteiligten Vektoren aufgespannt werden.
}
{} {}