Kurs:Maschinelles Lernen/Lösungen

Diese Seite beinhaltet Lösungen zu allen Aufgaben aus den einzelnen Kapiteln des Kurs Maschinelles Lernen (SoSe 2024).

Mathematische Vorkenntnisse

Ableitungen

Bestimmen durch Differenzenquotient

Der Differenzenquotient kann zu

${\frac {\Delta f}{\Delta x}}=3x^{2}+3x\Delta x+(\Delta x)^{2}$

bestimmt werden, womit sich die Ableitung

 $f'(x)=3x^{2}$

ergibt.

Bestimmen von Ableitungen durch Ableitungsregeln

• $f'(x)=2(x-a)$
• $g'(x)={\frac {\mathrm {e} ^{-x}}{(1+\mathrm {e} ^{-x})^{2}}}$
• $h'(x)={\frac {2x-3\mathrm {e} ^{x}}{x^{2}-3\mathrm {e} ^{x}}}$

Ermitteln einer Nullstelle

Die Ableitung der Funktion ist durch

 $f'(x)=0{,}5x-0{,}5$

gegeben, sodass für die Nullstelle der Wert

 $f'(x)=0{,}5(x-1)=0\quad \Rightarrow \quad x=1$

ermittelt werden kann. In die Funktion eingesetzt, kann so

 $f(1)=0{,}25-0{,}5-1{,}75=-2$

gefunden werden. Damit ist das gesuchte Paar $(x,f(x))$ der Nullstelle durch $(1,-2)$ gegeben.

Vektoren

Vektoraddition und Skalarmultiplikation

$3{\vec {a}}-2{\vec {b}}={\begin{pmatrix}1\\-10\\7\end{pmatrix}}$

Skalarprodukt

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=0$

Die beiden Vektoren stehen senkrecht zueinander.

Geraden und Ebenen

• Gerade im $\mathbb {R} ^{2}$: Der Punkt $P_{1}$ liegt in $M_{-}$, der Punkt $P_{2}$ in $M_{+}$ und der Punkt $P_{3}$ ist Teil der Gerade.
• Hyperebene im $\mathbb {R} ^{5}$: der Punkt $P_{1}$ liegt in der Hypereben, der Punkt $P_{2}$ liegt in der Menge $M_{-}$ und der Punkt $P_{3}$ liegt in $M_{+}$
• Abstände zur Hyperebene im $\mathbb {R} ^{5}$: Beide Punkte haben den Abstand ${\frac {1}{2}}$ zur Hypereben.

Matrizen

Anwenden einer Matrix auf einen Vektor

$A{\vec {v}}={\begin{pmatrix}-4\\9\end{pmatrix}}$

Matrixprodukte

Die beiden möglichen Produkte sind

$AB={\begin{pmatrix}0&17\\31&-9\end{pmatrix}}\quad \quad BA={\begin{pmatrix}16&8&-1\\13&-14&12\\-9&14&-11\end{pmatrix}}$

Invertieren von Matrizen

Die Inverse Matrix ist durch

$A^{-1}={\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}}$

gegeben und die Gleichung wird durch

${\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3{,}5\\0{,}5\end{pmatrix}}$

gelöst.

Vektoren als Matrizen

Die Produkte sind durch

${\vec {a}}^{T}{\vec {b}}={\vec {b}}^{T}{\vec {a}}=-2\quad \quad {\vec {a}}{\vec {b}}^{T}={\begin{pmatrix}2&-2\\4&-4\end{pmatrix}}\quad \quad {\vec {b}}{\vec {a}}^{T}={\begin{pmatrix}2&4\\-2&-4\end{pmatrix}}$

gegeben.

Transponieren von Matrizen

Die gesuchten Größen sind durch

$A^{T}={\begin{pmatrix}1&-2\\-1&1\end{pmatrix}}\quad \quad B^{T}={\begin{pmatrix}-2&1\\0&-1\end{pmatrix}}\quad \quad (AB)^{T}=B^{T}A^{T}={\begin{pmatrix}-3&5\\1&-1\end{pmatrix}}\quad \quad AB={\begin{pmatrix}-3&1\\5&-1\end{pmatrix}}$

gegeben.

Lineare Regression in einer Dimension

Die Werte lauten: $\langle x\rangle =1{,}97$, $\langle y\rangle =2{,}04$, $\langle x^{2}\rangle =4{,}31$, $\langle x\cdot y\rangle =4{,}23$, $s(x,x)=0{,}43$, $s(x,y)=0{,}21$, $w_{0}=1{,}08$ und $w_{1}=0{,}49$