Kurs:Maschinelles Lernen/Lösungen

Diese Seite beinhaltet Lösungen zu allen Aufgaben aus den einzelnen Kapiteln des Kurs Maschinelles Lernen (SoSe 2024).

Mathematische Vorkenntnisse

Ableitungen

Bestimmen durch Differenzenquotient

Der Differenzenquotient kann zu

$\frac{\mathrm{\Delta }f}{\mathrm{\Delta }x}=3x^2+3x\mathrm{\Delta }x+(\mathrm{\Delta }x{)}^2$

bestimmt werden, womit sich die Ableitung

 $f^{\prime }(x)=3x^2$

ergibt.

Bestimmen von Ableitungen durch Ableitungsregeln

• $f^{\prime }(x)=2(x-a)$
• $g^{\prime }(x)=\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{(1+{\mathrm{e}}^{-x}{)}^2}$
• $h^{\prime }(x)=\frac{2x-3{\mathrm{e}}^x}{x^2-3{\mathrm{e}}^x}$

Ermitteln einer Nullstelle

Die Ableitung der Funktion ist durch

 $f^{\prime }(x)=\mathrm{0,5}x-\mathrm{0,5}$

gegeben, sodass für die Nullstelle der Wert

 $f^{\prime }(x)=\mathrm{0,5}(x-1)=0\Rightarrow x=1$

ermittelt werden kann. In die Funktion eingesetzt, kann so

 $f(1)=\mathrm{0,25}-\mathrm{0,5}-\mathrm{1,75}=-2$

gefunden werden. Damit ist das gesuchte Paar $(x,f(x))$ der Nullstelle durch $(1,-2)$ gegeben.

Vektoren

Vektoraddition und Skalarmultiplikation

$3\overrightarrow{a}-2\overrightarrow{b}=\left(\begin{array}{c}1\\ -10\\ 7\end{array}\right)$

Skalarprodukt

$\overrightarrow{a}\cdot \overrightarrow{b}=0$

Die beiden Vektoren stehen senkrecht zueinander.

Geraden und Ebenen

• Gerade im ${ℝ}^2$: Der Punkt $P_1$ liegt in $M_{-}$, der Punkt $P_2$ in $M_{+}$ und der Punkt $P_3$ ist Teil der Gerade.
• Hyperebene im ${ℝ}^5$: der Punkt $P_1$ liegt in der Hypereben, der Punkt $P_2$ liegt in der Menge $M_{-}$ und der Punkt $P_3$ liegt in $M_{+}$
• Abstände zur Hyperebene im ${ℝ}^5$: Beide Punkte haben den Abstand $\frac{1}{2}$ zur Hypereben.

Matrizen

Anwenden einer Matrix auf einen Vektor

$A\overrightarrow{v}=\left(\begin{array}{c}-4\\ 9\end{array}\right)$

Matrixprodukte

Die beiden möglichen Produkte sind

$AB=\left(\begin{array}{cc}0& 17\\ 31& -9\end{array}\right)BA=\left(\begin{array}{ccc}16& 8& -1\\ 13& -14& 12\\ -9& 14& -11\end{array}\right)$

Invertieren von Matrizen

Die Inverse Matrix ist durch

$A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& 1\end{array}\right)$

gegeben und die Gleichung wird durch

$\left(\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{3,5}\\ \mathrm{0,5}\end{array}\right)$

gelöst.

Vektoren als Matrizen

Die Produkte sind durch

${\overrightarrow{a}}^T\overrightarrow{b}={\overrightarrow{b}}^T\overrightarrow{a}=-2\overrightarrow{a}{\overrightarrow{b}}^T=\left(\begin{array}{cc}2& -2\\ 4& -4\end{array}\right)\overrightarrow{b}{\overrightarrow{a}}^T=\left(\begin{array}{cc}2& 4\\ -2& -4\end{array}\right)$

gegeben.

Transponieren von Matrizen

Die gesuchten Größen sind durch

$A^T=\left(\begin{array}{cc}1& -2\\ -1& 1\end{array}\right)B^T=\left(\begin{array}{cc}-2& 1\\ 0& -1\end{array}\right)(AB{)}^T=B^T{A}^T=\left(\begin{array}{cc}-3& 5\\ 1& -1\end{array}\right)AB=\left(\begin{array}{cc}-3& 1\\ 5& -1\end{array}\right)$

gegeben.

Lineare Regression in einer Dimension

Die Werte lauten: $⟨x⟩=\mathrm{1,97}$, $⟨y⟩=\mathrm{2,04}$, $⟨x^2⟩=\mathrm{4,31}$, $⟨x\cdot y⟩=\mathrm{4,23}$, $s(x,x)=\mathrm{0,43}$, $s(x,y)=\mathrm{0,21}$, $w_0=\mathrm{1,08}$ und $w_1=\mathrm{0,49}$