Kurs:Mathematik (Osnabrück 2009-2011)/Teil II/Zusatzaufgaben

Aus Wikiversity
Zur Navigation springen Zur Suche springen



Zusatzaufgaben

Aufgabe (4 Punkte)

Eine -Schokolade ist ein rechteckiges Raster, das durch Längsrillen und Querrillen in () mundgerechte kleinere Rechtecke eingeteilt ist. Ein Teilungsschritt an einer Schokolade ist das vollständige Durchtrennen einer Schokolade längs einer Längs- oder Querrille. Eine vollständige Aufteilung einer Schokolade ist eine Folge von Teilungsschritten (an der Ausgangsschokolade oder an einer zuvor erhaltenen Zwischenschokolade), deren Endprodukt aus den einzelnen Mundgerechtecken besteht. Zeige durch Induktion, dass jede vollständige Aufteilung einer -Schokolade aus genau Teilungsschritten besteht.


Aufgabe (3 Punkte)

Es seien  und zwei Mengen und sei eine Teilmenge. Zu sei . Zeige, dass die Faser der Hintereinanderschaltung

über ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Berechne durch geeignete Substitutionen eine Stammfunktion zu


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme die komplexe und die reelle Partialbruchzerlegung von


Aufgabe (7 Punkte)

Berechne das uneigentliche Integral


Aufgabe (4 Punkte)

Bestimme die Lösungen der Differentialgleichung ()

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Was ist der Definitionsbereich der Lösungen?


Aufgabe (6 Punkte)

Bestätige die Kettenregel anhand der beiden Abbildungen

und

und ihrer Komposition in folgenden Schritten.

  1. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  2. Berechne für einen beliebigen Punkt das totale Differential mit Hilfe von partiellen Ableitungen.
  3. Berechne explizit die Komposition .
  4. Berechne direkt mit partiellen Ableitungen in einem Punkt das totale Differential von .
  5. Berechne das totale Differential von in einem Punkt mit Hilfe der Kettenregel und den Teilen (1) und (2).


Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die Funktion

auf Extrema.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige, dass die Abbildung

ein Diffeomorphismus ist.


Aufgabe (5 Punkte)

Betrachte die Abbildung

Zeige, dass im Punkt lokal umkehrbar ist, und bestimme das totale Differential der Umkehrabbildung im Punkt .


Aufgabe * (8 Punkte)

Wir betrachten die Funktion

Für welche , , besitzt die zugehörige dreistufige (maximale) untere Treppenfunktion zu den maximalen Flächeninhalt? Welchen Wert besitzt er?


Aufgabe (7 Punkte)

Betrachte die differenzierbare Kurve

Bestimme einen Kreis (mit Mittelpunkt und Radius) und eine Parametrisierung dieses Kreises derart, dass und für bis zur zweiten Ableitung übereinstimmen.

PDF-Version dieses Arbeitsblattes