Kurs:Mathematik für Anwender/Teil I/5/Klausur/latex
%Daten zur Institution
%\input{Dozentdaten}
%\renewcommand{\fachbereich}{Fachbereich}
%\renewcommand{\dozent}{Prof. Dr. . }
%Klausurdaten
\renewcommand{\klausurgebiet}{ }
\renewcommand{\klausurtyp}{ }
\renewcommand{\klausurdatum}{ . 20}
\klausurvorspann {\fachbereich} {\klausurdatum} {\dozent} {\klausurgebiet} {\klausurtyp}
%Daten für folgende Punktetabelle
\renewcommand{\aeins}{ 3 }
\renewcommand{\azwei}{ 3 }
\renewcommand{\adrei}{ 2 }
\renewcommand{\avier}{ 3 }
\renewcommand{\afuenf}{ 2 }
\renewcommand{\asechs}{ 4 }
\renewcommand{\asieben}{ 4 }
\renewcommand{\aacht}{ 3 }
\renewcommand{\aneun}{ 6 }
\renewcommand{\azehn}{ 2 }
\renewcommand{\aelf}{ 4 }
\renewcommand{\azwoelf}{ 4 }
\renewcommand{\adreizehn}{ 5 }
\renewcommand{\avierzehn}{ 4 }
\renewcommand{\afuenfzehn}{ 5 }
\renewcommand{\asechzehn}{ 6 }
\renewcommand{\asiebzehn}{ 4 }
\renewcommand{\aachtzehn}{ 64 }
\renewcommand{\aneunzehn}{ }
\renewcommand{\azwanzig}{ }
\renewcommand{\aeinundzwanzig}{ }
\renewcommand{\azweiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\adreiundzwanzig}{ }
\renewcommand{\avierundzwanzig}{ }
\renewcommand{\afuenfundzwanzig}{ }
\renewcommand{\asechsundzwanzig}{ }
\punktetabellesiebzehn
\klausurnote
\newpage
\setcounter{section}{0}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Definiere die folgenden \zusatzklammer {kursiv gedruckten} {} {} Begriffe. \aufzaehlungsechs{Die \stichwort {leere} {} Menge.
}{Die \stichwort {Konvergenz} {} einer reellen Folge
\mathl{{ \left( x_n \right) }_{n \in \N }}{} gegen $x$.
}{Das
\stichwort {Maximum} {}
der Funktion
\maabbdisp {f} {M} {\R
} {}
wird im Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ \in }{M
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\stichwort {angenommen} {.}
}{Eine
\stichwort {Treppenfunktion} {}
\maabbdisp {f} {I} {\R
} {}
auf einem beschränkten reellen Intervall
\mathl{I \subseteq \R}{.}
}{Eine \stichwort {Linearkombination} {} in einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{.}
}{Ein \stichwort {Eigenwert} {} zu einer \definitionsverweis {linearen Abbildung}{}{} \maabbdisp {\varphi} {V} {V } {} auf einem $K$-\definitionsverweis {Vektorraum}{}{} $V$. }
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Formuliere die folgenden Sätze. \aufzaehlungdrei{Der Satz über die Eindeutigkeit des Grenzwertes einer reellen Folge.}{Der Satz über die Differenz zwischen Stammfunktionen.}{Der Satz über die Dimension des Standardraumes.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Begründe das Beweisprinzip der vollständigen Induktion.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Zwei Personen, \mathkor {} {A} {und} {B} {,} liegen unter einer Palme, $A$ besitzt $2$ Fladenbrote und $B$ besitzt $3$ Fladenbrote. Eine dritte Person $C$ kommt hinzu, die kein Fladenbrot besitzt, aber $5$ Taler. Die drei Personen werden sich einig, für die $5$ Taler die Fladenbrote untereinander gleichmäßig aufzuteilen. Wie viele Taler gibt $C$ an $A$ und an $B$?
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Skizziere möglichst viele wesentlich verschiedene Konfigurationen von fünf Geraden in der Ebene, die sich insgesamt in vier Schnittpunkten treffen.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Zeige durch Induktion über $n$, dass es zu natürlichen Zahlen $a,n$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ > }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
natürliche Zahlen $q,r$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r
}
{ < }{a
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und mit
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{n
}
{ =} { aq+r
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Es seien die beiden komplexen Polynome
\mathdisp {P=X^3-2 { \mathrm i} X^2+4X-1 \text{ und } Q= { \mathrm i} X-3+2 { \mathrm i}} { }
gegeben. Berechne
\mathl{P(Q)}{}
\zusatzklammer {es soll also $Q$ in $P$ eingesetzt werden} {} {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{3}
{
Entscheide, ob die
\definitionsverweis {Folge}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ x_n
}
{ \defeq} { { \frac{ 3 \sin^{ 4 } n -7n^3 +11n }{ 5 n^3 -4n^2 - \cos n } }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
in $\R$
\definitionsverweis {konvergiert}{}{}
und bestimme gegebenenfalls den
\definitionsverweis {Grenzwert}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6}
{
Beweise den Zwischenwertsatz.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{2}
{
Bestimme die \definitionsverweis {Ableitung}{}{} der Funktion \maabbeledisp {f} {\R_+} {\R } {x} {f(x) = { \frac{ \ln { \left( 2x^2 \right) } }{ 7^x } } } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme die lokalen und globalen Extrema der Funktion \maabbeledisp {f} {\R} {\R } {t} {f(t) = t^2e^{-t} } {.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme das
\definitionsverweis {Taylor-Polynom}{}{}
der Ordnung $4$ zur Funktion
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ =} { e^{x^2} -x
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
im Entwicklungspunkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{a
}
{ = }{1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{f(x)
}
{ \defeq }{ { \frac{ x^2+4x-3 }{ x^2+7 } }
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
Bestimme ein Polynom $h$ vom Grad $\leq 3$, das in den beiden Punkten
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{0
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{x
}
{ = }{2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
die gleichen linearen Approximationen wie $f$ besitzt.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
Bestimme eine Stammfunktion von
\mathl{\sin^{ 3 } x}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{5}
{
Es sei
\maabbdisp {\varphi} {\R^2} {\R^2
} {}
die durch die Matrix
\mathl{M= \begin{pmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}}{}
\zusatzklammer {bezüglich der Standardbasis} {} {}
festgelegte lineare Abbildung. Bestimme die beschreibende Matrix zu $\varphi$ bezüglich der Basis
\mathl{\begin{pmatrix} 1 \\4 \end{pmatrix}}{} und
\mathl{\begin{pmatrix} 4 \\2 \end{pmatrix}}{.}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{6 (2+4)}
{
Es sei
\mathl{K}{} ein Körper,
\mathkor {} {V} {und} {W} {}
seien
$K$-\definitionsverweis {Vektorräume}{}{}
und
\maabbdisp {\varphi} {V} {W
} {}
sei eine
$K$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{.}
a) Zeige, dass der Kern von $\varphi$ ein Untervektorraum von $V$ ist.
b) Beweise das Injektivitätskriterium für eine lineare Abbildung.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{4}
{
a) Bestimme, ob die
\definitionsverweis {komplexe}{}{}
\definitionsverweis {Matrix}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{M
}
{ =} {\begin{pmatrix} 2+5 { \mathrm i} & 1-2 { \mathrm i} \\ 3-4 { \mathrm i} & 6-2 { \mathrm i} \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {invertierbar}{}{}
ist.
b) Finde eine Lösung für das
\definitionsverweis {inhomogene lineare Gleichungssystem}{}{}
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ M \begin{pmatrix} z_1 \\z_2 \end{pmatrix}
}
{ =} { \begin{pmatrix} 54 +72 { \mathrm i} \\0 \end{pmatrix}
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
}
{} {}