Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2011-2012)/Teil I/Zusatzblatt

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Zusatzblatt

Es werden maximal 40 Punkte angerechnet, d.h. wer bisher 157 Punkte hat, kann die Zulassung noch erreichen.

Abgabeschluss ist am Dienstag, den 13.03.2012 um 16:00 Uhr im Postkasten der Veranstaltung.

Es dürfen (und dies ist auch explizit erwünscht) neue Gruppen (max. 6 Mitglieder) gebildet werden. In diesem Fall schreibt alle Namen GUT LESERLICH auf die erste Seite.

Aufgabe (2 Punkte)

Beweise durch Induktion die folgende Formel.


Aufgabe (4 Punkte)

Gegeben seien die Abbildungen und , die durch

definiert sind.
  1. Bestimme die Abbildungsvorschriften der Hintereinanderschaltungen und .
  2. Sind die Abbildungen , injektiv oder surjektiv?


Aufgabe (3 Punkte)

Führe in die Division mit Rest durch “ für die beiden Polynome und durch.


Aufgabe (4 Punkte)

Entscheide, ob die folgenden Vektoren linear unabhängig sind.

  1. , , , im -Vektorraum .
  2. , im -Vektorraum .
  3. , im -Vektorraum .
  4. , im -Vektorraum .


Aufgabe (4 Punkte)

Berechne zur (komplexen) Matrix

die Determinante und die inverse Matrix.


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die lineare Abbildung

Man bestimme Basen für und für und ergänze sie zu Basen des .


Aufgabe (6 Punkte)

Wir betrachten die Vektorenfamilien

im bzw. . Die Standardbasen seien mit und bezeichnet. Die lineare Abbildung

sei durch die Matrix

bezüglich der Standardbasen gegeben. Bestimme die beschreibenden Matrizen von bezüglich der Basen

a) und ,

b) und ,

c) und .


Aufgabe (4 Punkte)

Eine Schnecke sitzt am Anfang eines 10000m langen Gummibandes. Jeden Tag kriecht sie einen Meter voran. Nachts, wenn sie ruht, dehnt ein Dämon das Band gleichmäßig so aus, dass es 10000m länger wird. Der Dämon und die Schnecke seien unsterblich und das Band unbegrenzt dehnbar. Erreicht dann die Schnecke jemals das Ende des Bandes?

Tipp: Betrachte das Verhältnis zwischen der zurückgelegten Strecke und der Länge des Bandes.

Aufgabe (4 Punkte)

In einen Klärteich mit einem Fassungsvermögen von werden zu Beginn eines jeden Tages Wasser eingelassen, das einen bestimmten Schadstoff in einer Volumen-Konzentration von enthält und vollständig mit dem vorhandenen Wasser vermischt. Im Laufe eines Tages reduziert sich durch biologische Reaktion die vorhandene Schadstoffmenge jeweils um . Gegen Ende eines Tages werden dann Wasser aus dem Klärteich abgepumpt. Welche Schadstoffkonzentration (in Prozent) stellt sich auf Dauer bei dem abgepumptem Wasser ein, wenn ganz am Anfang der Teich mit klarem Wasser gefüllt war?


Aufgabe (4 Punkte)

Untersuche die Reihe

auf Konvergenz und absolute Konvergenz.


Aufgabe (3 Punkte)

Berechne die Koeffizienten der Potenzreihe , die das Cauchy-Produkt der Sinusreihe mit der Kosinusreihe ist.


Aufgabe (4 Punkte)

Gegeben sei die Abbildung mit

Zeige mit Hilfe des Zwischenwertsatzes, dass jeden Wert an mindestens zwei Stellen annimmt.


Aufgabe (3 Punkte)

Betrachte die Funktion

Bestimme die

Nullstellen und die lokalen (globalen) Extrema von . Fertige eine grobe Skizze für den Funktionsverlauf an.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme das Taylor-Polynom bis zur vierten Ordnung der Umkehrfunktion des Kosinus im Punkt .


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme, für welches die Funktion

ihr globales Maximum annimmt.


Aufgabe (5 Punkte)

Bestimme eine Stammfunktion für die Funktion


Aufgabe (3 Punkte)

Finde die Lösungen der inhomogenen linearen Differentialgleichung

Welche Lösung hat das Anfangswertproblem ?


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme alle Lösungen der Differentialgleichung

mit dem Lösungsansatz für getrennte Variablen. Welche Lösung hat das Anfangswertproblem ?




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