Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/16/Eindeutigkeit der Nullstelle des Kosinus/Studentenfrage/Antwort

Wir zeigen, dass der Kosinus im Intervall ${}[0,2]$ streng fallend ist. Dies wird bewiesen indem die Ableitung betrachtet wird und gezeigt wird, dass sie im offenen Intervall ${}]0,2[$ echt negativ ist. Die Ableitung des Kosinus ist das Negative des Sinus, also ist das äquivalent dazu, dass der Sinus in ${}]0,2[$ echt positiv ist.

Wenn man den Graph des Sinus betrachtet ist das zwar direkt ersichtlich, aber wir wollen es rigoros mithilfe der Definition des Sinus beweisen. Dazu werden immer zwei aufeinanderfolgende Summanden der Potenzreihenentwicklung des Sinus durch Ausklammern des gemeinsamen Faktors zusammengefasst. Dabei ist jeder zusammengefasste Summand von der Form

${\frac {x^{n}}{n!}}{\left(1-{\frac {x^{2}}{(n+1)\cdot (n+2)}}\right)}$

und ${}n=1,5,9,13,\ldots$. Innerhalb der Intervallgrenzen von ${}[0,2]$ ist

${\left(1-{\frac {x^{2}}{(n+1)\cdot (n+2)}}\right)}$

am kleinsten, wenn ${}x=2$ ist. Wir setzen 2 für ${}x$ ein und sehen dass ${}{\frac {2^{2}}{(n+1)\cdot (n+2)}}$ für alle vorkommenden ${}n$ kleiner als ${}1$ ist. Jeder der Summanden ist also nichtnegativ. Weil alle Summanden nichtnegativ sind, ist ${}\sin x\geq {\frac {x}{3}}$, dem ersten Summanden. Dass ${}{\frac {x}{3}}$ auf dem offenen Intervall ${}]0,2[$ echt positiv ist, ist direkt ersichtlich, also muss auch der Sinus auf diesem offenen Intervall echt positiv sein.

Zur beantworteten Studentenfrage