Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/7/Epsilon beliebig wählen/Studentenfrage/Antwort

Das Verständnis, dass wir ${}\epsilon$ beliebig wählen dürfen ist gefährlich.

Um Konvergenz zu zeigen, müssen wir für alle möglichen ${}\epsilon >0$ eine natürliche Zahl finden können für die alle weiter rechts liegenden Folgenglieder in der Epsilonumgebung ${}[x-\epsilon ,x+\epsilon ]$ liegen. Das bessere Verständnis ist also, dass wir davon ausgehen, dass sich jemand Anderes (ein Bösewicht) ein beliebiges ${}\epsilon >0$ wählt und wir dieser Person in Abhängigkeit davon ein ${}n_{0}$ nennen müssen mit der es funktioniert. Wenn es ein positives Epsilon gibt auf das wir nicht antworten können, dann hat der Bösewicht gewonnen und die Folge ist nicht konvergent.

Wenn wir aber umgekehrt selbst der Bösewicht sind und zeigen wollen, dass eine Folge nicht gegen ${}x$ konvergiert, dann dürfen wir tatsächlich ein beliebiges ${}\epsilon >0$ wählen. Wir wollen aber dann natürlich ein ${}\epsilon$ wählen für dass es egal wie weit wir in der Folge gehen immer Folgenglieder außerhalb der Epsilonumgebung gibt.

Zur beantworteten Studentenfrage