Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil I/Repetitorium/7/Maximum Schranke Epsilon/Studentenfrage/Antwort

Im Beweis von Lemma 7.9 wird

${}B:=\max _{n<n_{0}}\{\vert {x_{n}}\vert ,\,\vert {x}\vert +\epsilon \}\,$

verwendet. Das ist einfach das Maximum der Menge der Beträge aller Folgenglieder, wobei wir zu der Menge noch das eine Element ${}\vert {x}\vert +\epsilon$ hinzufügen. Das Maximum einer Teilmenge eines angeordneten Körpers ist das Größte Element in der Teilmenge.

Endliche Teilmengen haben immer ein Maximum. Um das auszunutzen haben wir direkt davor im Beweis festgestellt, dass nur endlich viele Folgenglieder absolut (also betragsmäßig) größer als ${}\vert {x}\vert +\epsilon$ sein können. Also kommen als Maximum der Menge nur noch diese endlich vielen und ${}\vert {x}\vert +\epsilon$ in Frage, deshalb muss das Maximum existieren.

Bei den oberen Schranken meinst du wahrscheinlich ${}x+\epsilon$ und ${}x-\epsilon$, weil wir hier der Grenzwert ja allgemein nicht 0 sein muss. Aber das müssen nicht die Schranken der Folge sein. Die Konvergenz sagt uns ja, dass ab einem ${}n_{0}$ alle Folgenglieder in der Epsilonumgebung enthalten sind. Für manche ${}\epsilon$ kann es also am Anfang der Folge Folgenglieder geben, die außerhalb der Epsilonumgebung liegen. Diese - endlich vielen - Ausreißer am Anfang der Folge müssen wir noch berücksichtigen, weshalb die Schranken ${}B$ und ${}-B$ im Beweis mit dem Maximum wie oben konstruiert wurden.

Zur beantworteten Studentenfrage