Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Woche 6/Rückmeldung

Rückmeldung zur Abgabe der Woche 6

Bei den Abgaben dieser Woche kam es teilweise zu Unsicherheiten beim Potenzreihenansatz, insbesondere beim zugehörigen Koeffizientenvergleich. Beim Potenzreihenansatz macht man die Annahme, dass die in einer Differentialgleichung auftretende Funktion ${}y$ von der Form ${}y(t)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}t^{n}$ ist, also eine Potenzreihe mit unendlich vielen, a priori unbekannten Koeffizienten ${}a_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$. Nun lassen sich Funktionen, die von ${}y$ abhängen, anders darstellen. Zum Beispiel gilt für die Funktion ${}f(y)=y^{2}$ die Beziehung

$f(y)=y^{2}=a_{0}^{2}+(a_{0}a_{1}+a_{1}a_{0})t+(a_{0}a_{2}+a_{1}^{2}+a_{2}a_{0})t^{2}+(a_{0}a_{3}+a_{1}a_{2}+a_{2}a_{1}+a_{3}a_{0})t^{3}+\cdots ,$

indem wir das Cauchy-Produkt von Potenzreihen berechnen. Außerdem kann zum Beispiel die Funktion ${}g(y)=y'$ umgeformt werden zu

$g(y)=y'=a_{1}+2a_{2}t+3a_{3}t^{2}+4a_{4}t^{3}+\cdots .$

Dabei fällt auf, dass wir die Koeffizienten zu niedrigen Potenzen von ${}t$ als formale Ausdrücke in den Unbekannten ${}a_{n}$, ${}n\in \mathbb {N}$, ausdrücken. Falls wir nun beispielsweise die Differentialgleichung ${}y'=y^{2}$, also ${}g(y)=f(y)$, mit dem Potenzreihenansatz angehen wollen, so müssen wir für jede (niedrige) Potenz von ${}t$ die zugehörigen Koeffizienten (die von den ${}a_{n}$ abhängen) vergleichen. Für die Koeffizienten zur nullten Potenz ${}t^{0}=1$ muss also

$a_{1}=a_{0}^{2}$

gelten, für die Koeffizienten zu ${}t^{1}$ gilt

$2a_{2}=2a_{0}a_{1},$

für ${}t^{2}$ ergibt sich

$3a_{3}=2a_{0}a_{2}+a_{1}^{2}$

usw. Wir erhalten also viele Gleichungen in den Unbekannten ${}a_{n}$, zu jeder Potenz von ${}t$ eine, die wir schrittweise lösen können. In diesem Fall gilt zum Beispiel ${}a_{1}=a_{0}^{2}$, ${}a_{2}=a_{0}^{3}$, ${}a_{3}=a_{0}^{5}$, usw. Die Koeffizienten der Potenzreihe ${}y(t)$ lassen sich also schrittweise umformen zu Ausdrücken, die nur noch von dem einen unbekannten Parameter ${}a_{0}$ abhängen.

Hat man ein Differentialgleichungssystem wie etwa

${}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}'={\begin{pmatrix}t&t^{2}\\t^{3}&t^{4}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\,$

gegeben, so funktioniert der Ansatz ganz analog. Man hat nun noch eine zweite Potenzreihe ${}x(t)=\sum _{k=0}^{\infty }b_{k}t^{k}$ mit Unbekannten ${}b_{k}$. Die Gleichungen, die beim Koeffizientenvergleich zu Potenzen von ${}t$ auftreten, hängen daher sowohl von ${}a_{n}$ also auch ${}b_{k}$ ab. Das Lösen wird dadurch ein bisschen komplizierter, aber funktioniert analog zu obigem Beispiel, also schrittweise für die Potenzen ${}t^{0},t^{1},t^{2},\dots$. Eine etwaige Anfangsbedingung kann dabei möglicherweise ausgenutzt werden, um die Gleichungen direkt ein bisschen zu vereinfachen, indem man etwa einen Koeffizienten direkt eliminiert. So impliziert etwa ${}x'(0)=0$, dass ${}b_{0}=0$ gelten muss.

Bei Aufgabe 42.19 war teilweise die Aufgabenstellung nicht ganz klar. Hier sollte eine neue Differentialgleichung zu der Funktion ${}z(t)=x^{2}(t)+y^{2}(t)$ ermittelt werden. Das bedeutet, dass eine Differentialgleichung gefunden werden muss, in der ${}z$ und ${}z'$ vorkommen, nicht aber ${}x$ oder ${}y$. Die Ableitung ${}z'(t)$ lässt sich unter Verwendung von ${}z(t)=x^{2}(t)+y^{2}(t)$, der Kettenregel und den vorgegeben Ausdrücken für ${}x'(t)$ und ${}y'(t)$ berechnen und zu einem Ausdruck umformen, der nur von ${}z$ abhängt. Die so gewonnene Differentialgleichung in ${}z$ lässt sich lösen und kann helfen, im zweiten Teil der Aufgabe eine Lösung für das vorliegende Differentialgleichungssystem in ${}x$ und ${}y$ zu finden.