Kurs:Mathematik für Anwender (Osnabrück 2019-2020)/Teil II/Woche 6/Rückmeldung

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Rückmeldung zur Abgabe der Woche 6

Bei den Abgaben dieser Woche kam es teilweise zu Unsicherheiten beim Potenzreihenansatz, insbesondere beim zugehörigen Koeffizientenvergleich. Beim Potenzreihenansatz macht man die Annahme, dass die in einer Differentialgleichung auftretende Funktion von der Form ist, also eine Potenzreihe mit unendlich vielen, a priori unbekannten Koeffizienten , . Nun lassen sich Funktionen, die von abhängen, anders darstellen. Zum Beispiel gilt für die Funktion die Beziehung

indem wir das Cauchy-Produkt von Potenzreihen berechnen. Außerdem kann zum Beispiel die Funktion umgeformt werden zu

Dabei fällt auf, dass wir die Koeffizienten zu niedrigen Potenzen von als formale Ausdrücke in den Unbekannten , , ausdrücken. Falls wir nun beispielsweise die Differentialgleichung , also , mit dem Potenzreihenansatz angehen wollen, so müssen wir für jede (niedrige) Potenz von die zugehörigen Koeffizienten (die von den abhängen) vergleichen. Für die Koeffizienten zur nullten Potenz muss also

gelten, für die Koeffizienten zu gilt

für ergibt sich

usw. Wir erhalten also viele Gleichungen in den Unbekannten , zu jeder Potenz von eine, die wir schrittweise lösen können. In diesem Fall gilt zum Beispiel , , , usw. Die Koeffizienten der Potenzreihe lassen sich also schrittweise umformen zu Ausdrücken, die nur noch von dem einen unbekannten Parameter abhängen.

Hat man ein Differentialgleichungssystem wie etwa

gegeben, so funktioniert der Ansatz ganz analog. Man hat nun noch eine zweite Potenzreihe mit Unbekannten . Die Gleichungen, die beim Koeffizientenvergleich zu Potenzen von auftreten, hängen daher sowohl von also auch ab. Das Lösen wird dadurch ein bisschen komplizierter, aber funktioniert analog zu obigem Beispiel, also schrittweise für die Potenzen . Eine etwaige Anfangsbedingung kann dabei möglicherweise ausgenutzt werden, um die Gleichungen direkt ein bisschen zu vereinfachen, indem man etwa einen Koeffizienten direkt eliminiert. So impliziert etwa , dass gelten muss.


Bei Aufgabe 42.19 war teilweise die Aufgabenstellung nicht ganz klar. Hier sollte eine neue Differentialgleichung zu der Funktion ermittelt werden. Das bedeutet, dass eine Differentialgleichung gefunden werden muss, in der und vorkommen, nicht aber oder . Die Ableitung lässt sich unter Verwendung von , der Kettenregel und den vorgegeben Ausdrücken für und berechnen und zu einem Ausdruck umformen, der nur von abhängt. Die so gewonnene Differentialgleichung in lässt sich lösen und kann helfen, im zweiten Teil der Aufgabe eine Lösung für das vorliegende Differentialgleichungssystem in und zu finden.