Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Arbeitsblatt 8/latex
\setcounter{section}{8}
\zwischenueberschrift{Aufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1, \Gamma_2
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {vollständige Gitter}{}{.}
Zeige, dass es eine
$\R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} { \R^n} { \R^n
} {}
gibt, die einen
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {\Gamma_1} { \Gamma_2
} {}
induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mathl{\Gamma_1, \Gamma_2 \subseteq \R^n}{} rationale
\definitionsverweis {vollständige Gitter}{}{.}
Zeige, dass es eine
$\Q$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {} { \Q^n} { \Q^n
} {}
gibt, die einen
\definitionsverweis {Gruppenisomorphismus}{}{}
\maabbdisp {} {\Gamma_1} { \Gamma_2
} {}
induziert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es seien
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma_1, \Gamma_2
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
rationale
\definitionsverweis {vollständige Gitter}{}{.}
Zeige, dass es ein rationales Gitter
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma_1, \Gamma_2
}
{ \subseteq }{ \Gamma
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Alle Springmäuse leben in $\Z^2$ und verfügen über zwei Sprünge, nämlich den Sprung
\mathl{\pm (3,4)}{} und den Sprung
\mathl{\pm (5,2)}{.} Wie viele Springmaus-Populationen gibt es? Die Springmäuse Albert, Beate, Erich, Heinz, Sabine und Frida sitzen in den Positionen
\mathdisp {(14,11),\, (13,15),\, (17, 12),\,(15,19 ) ,\, (16,16) \mbox{ und } (12,20)} { . }
Welche Springmäuse können sich begegnen?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{\Gamma
}
{ = }{ \langle r+s { \mathrm i} , t+u { \mathrm i} \rangle
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ein
\definitionsverweis {Gitter}{}{}
in ${\mathbb C}$ mit
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{r,s,t,u
}
{ \in }{\Z
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
und
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ ru-st
}
{ =} {1
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{.}
Zeige, dass $\Gamma$ das Standardgitter
\mathl{\langle 1, { \mathrm i} \rangle}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die Untergruppe
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{\Z + \Z \cdot \sqrt{3}
}
{ \subseteq} {\R
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {dicht}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass der Einheitskreis
\mavergleichskettedisp
{\vergleichskette
{ S^1_\R
}
{ =} { { \left\{ z \in \R[ { \mathrm i} ] \cong {\mathbb C} \mid \betrag { z } = 1 \right\} }
}
{ } {
}
{ } {
}
{ } {
}
}
{}{}{}
\definitionsverweis {isomorph}{}{}
zu
\mathl{\R/\Z}{} ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Charakterisiere die
\definitionsverweis {Restklassengruppe}{}{}
eines
\definitionsverweis {Gitters}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \Gamma
}
{ \subseteq }{ \R^n
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {Kreislinie}{}{}
$S^1$. Definiere eine \stichwort {differenzierbare Gruppenstruktur} {} auf $S^1$, also ein neutrales Element
\mathl{P \in S^1}{,} eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\alpha} {S^1} {S^1
} {x} { \alpha (x)
} {,}
und eine differenzierbare Abbildung
\maabbeledisp {} {T = S^1 \times S^1} {S^1
} {(x,y)} { \varphi(x,y)
} {,}
derart, dass $S^1$ mit diesen Daten zu einer
\definitionsverweis {kommutativen Gruppe}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
\mathl{(\R,+)}{,}
\mathl{(\R \setminus \{0\}, \cdot)}{,}
\mathl{( {\mathbb C} ,+)}{,}
\mathl{( {\mathbb C} \setminus \{0\}, \cdot)}{,}
\mathl{(\R^n,+)}{,}
\mathl{(S^1,\text{ mit der Winkeladdition} )}{,} die
\definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( \R \right) }}{} bzw.
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{}
\definitionsverweis {topologische Gruppen}{}{}
sind.
}
{} {}
Eine \definitionsverweis {differenzierbare Mannigfaltigkeit}{}{} $G$, die zugleich eine \definitionsverweis {Gruppe}{}{} ist, für die die Inversenabbildung und die Gruppenverknüpfung \definitionsverweis {differenzierbare Abbildungen}{}{} sind, heißt \zusatzklammer {reelle} {} {} \definitionswort {Lie-Gruppe}{.}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass die
\definitionsverweis {Gruppen}{}{}
\mathl{(\R,+)}{,}
\mathl{(\R \setminus \{0\}, \cdot)}{,}
\mathl{( {\mathbb C} ,+)}{,}
\mathl{( {\mathbb C} \setminus \{0\}, \cdot)}{,}
\mathl{(\R^n,+)}{,}
\mathl{(S^1,\text{ mit der Winkeladdition} )}{,} die
\definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{}
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( \R \right) }}{} bzw.
\mathl{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( {\mathbb C} \right) }}{}
\definitionsverweis {Lie-Gruppen}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{} auf einer \definitionsverweis {Lie-Gruppe}{}{} \definitionsverweis {trivial}{}{} ist.
}
{} {Tipp: Zeige, dass man den Tangentialraum am neutralen Element in sinnvoller Weise in die anderen Tangentialräume transportieren kann.}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die
\definitionsverweis {allgemeine lineare Gruppe}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{G
}
{ = }{\operatorname{GL}_{ n } \! { \left( \R \right) }
}
{ \subseteq }{ \R^{n^2}
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
als
\definitionsverweis {offene Untermannigfaltigkeit}{}{}
des $\R^{n^2}$. Definiere eine \stichwort {differenzierbare Gruppenstruktur} {} auf $G$, also ein neutrales Element
\mathl{P \in G}{,} eine
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbeledisp {\alpha} {G} {G
} {x} { \alpha (x)
} {,}
und eine differenzierbare Abbildung
\maabbeledisp {\varphi} {G \times G} {G
} {(x,y)} { \varphi(x,y)
} {,}
derart, dass $G$ mit diesen Daten zu einer
\definitionsverweis {Gruppe}{}{}
wird.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass das \definitionsverweis {Tangentialbündel}{}{} auf einer \definitionsverweis {Lie-Gruppe}{}{} \definitionsverweis {trivial}{}{} ist.
}
{} {Tipp: Zeige, dass man den Tangentialraum am neutralen Element in sinnvoller Weise in die anderen Tangentialräume transportieren kann.}
\inputaufgabe
{}
{
Beschreibe den Torus
\mathl{S^1 \times S^1}{} als
\definitionsverweis {Rotationsmenge}{}{}
im $\R^3$.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei
\mathl{R>0}{} und betrachte die Abbildung
\maabbeledisp {} {\R^3} {\R
} {(x,y,z)} { { \left( \sqrt{x^2+y^2}- R \right) }^2 +z^2
} {.}
Bestimme die
\definitionsverweis {regulären Punkte}{}{}
der Abbildung und die Gestalt der Faser über
\mathl{s \in \R}{.} Wie ändert sich die Gestalt beim Übergang von
\mathl{\sqrt{s} < R}{} zu
\mathl{\sqrt{s} > R}{.}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Definiere die Abbildung
\maabbdisp {} {S^1 \times S^1} { S^2
} {,}
die zu einem Winkelpaar
\mathl{(\alpha, \beta)}{} die erste Komponente als Äquatorpunkt interpretiert und von dort aus mit der zweiten Komponente auf dem Großkreis Richtung Norden wandert. Ist die Abbildung
\definitionsverweis {differenzierbar}{}{?}
Wie sehen die Fasern der Abbildung aus?
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Man gebe ein heuristisches Argument, dass die Einheitssphäre
\mathl{S^2}{} und der Torus
\mathl{S^1 \times S^1}{} nicht
\definitionsverweis {homöomorph}{}{}
sind.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zu welcher
\definitionsverweis {differenzierbaren Mannigfaltigkeit}{}{}
ist
\mathl{S^1 \times S^1 \setminus \triangle}{,} also der Torus ohne die
\definitionsverweis {Diagonale}{}{,}
\definitionsverweis {diffeomorph}{}{?}
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es sei $X$ ein
\definitionsverweis {Torus}{}{.}
Man gebe eine surjektive
\definitionsverweis {differenzierbare Abbildung}{}{}
\maabbdisp {\varphi} {\R^2} {X
} {}
derart an, dass auch die
\definitionsverweis {Tangentialabbildung}{}{}
\maabbdisp {T_P(\varphi)} { T_P\R^2 } { T_{\varphi(P)}X
} {}
in jedem Punkt
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ P
}
{ \in }{ \R^2
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
surjektiv ist.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Zeige, dass es auf einem \definitionsverweis {Torus}{}{} \definitionsverweis {bijektive}{}{} \definitionsverweis {stetig differenzierbare}{}{} Abbildungen ohne \definitionsverweis {Fixpunkt}{}{} gibt.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei $T$ ein
\definitionsverweis {Torus}{}{.}
Zeige, dass die Vorgabe einer Basis der
\definitionsverweis {Fundamentalgruppe}{}{}
von $T$ im Wesentlichen äquivalent zur Angabe einer
\definitionsverweis {Homöomorphie}{}{}
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ T
}
{ \cong }{ S^1 \times S^1
}
{ }{
}
{ }{
}
{ }{
}
}
{}{}{}
ist.
}
{} {}
\inputaufgabegibtloesung
{}
{
Es seien \mathkor {} {V} {und} {W} {} \definitionsverweis {endlichdimensionale}{}{} \definitionsverweis {reelle Vektorräume}{}{} und sei \maabb {\varphi} {V} {W } {} ein \definitionsverweis {stetiger}{}{} \definitionsverweis {Gruppenhomomorphismus}{}{.} Zeige, dass dann $\varphi$ eine $\R$-\definitionsverweis {lineare Abbildung}{}{} ist.
}
{} {}