Kurs:Riemannsche Flächen (Osnabrück 2022)/Liste der Hauptsätze

???: Lokale Gestalt von holomorphen Funktionen

Es sei ${}U\subseteq {\mathbb {C} }$ eine zusammenhängende offene Teilmenge, ${}P\in U$ ein Punkt und ${}f\colon U\rightarrow {\mathbb {C} }$ eine nichtkonstante holomorphe Funktion.

Dann gibt es eine offene Umgebung ${}P\in V\subseteq U$ derart, dass die Einschränkung von ${}f$ auf ${}V$ biholomorph äquivalent zu einer Potenzabbildung ist.

Das bedeutet, dass es ein ${}k\in \mathbb {N} _{+}$ und biholomorphe Abbildungen

$\theta \colon V\longrightarrow V'$

mit ${}V'\subseteq {\mathbb {C} }$ eine offene Kreisscheibe um ${}0$ und eine Verschiebung

$\varphi \colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

derart gibt, dass

${}\varphi \circ f\circ \theta ^{-1}=w^{k}\,$

auf ${}V'$ gilt (wobei ${}w$ die Variable auf ${}V'$ bezeichnet).

 

???: Fasern und differenzierbare Mannigfaltigkeiten

Es sei ${}G\subseteq {\mathbb {C} }^{n}$ offen und sei

$\varphi \colon G\longrightarrow {\mathbb {C} }^{m}$

eine stetig differenzierbare Abbildung. Es sei ${}Z=\varphi ^{-1}(Q)$ die Faser über einem Punkt ${}Q\in {\mathbb {C} }^{m}$. Das totale Differential ${}\left(D\varphi \right)_{P}$ sei surjektiv für jeden Punkt ${}P\in Z$.

Dann ist ${}Z$ eine komplexe Mannigfaltigkeit der Dimension ${}n-{m}$.

 

???: Satz über die Nullstellen einer holomorphen Funktion

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche und sei

$f\colon X\longrightarrow {\mathbb {C} }$

eine von der Nullfunktion verschiedene holomorphe Funktion auf ${}X$.

Dann ist die Nullstellenmenge von ${}f$ eine diskrete Teilmenge von ${}X$.

 

???: Holomorphe Funktionen auf kompakter riemannscher Fläche

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann gibt es auf ${}X$ nur die konstanten holomorphen Funktionen.

 

???: Umkehrabbildung zu holomorpher Abbildung

Es seien ${}X$ und ${}Y$ riemannsche Flächen und sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine bijektive holomorphe Abbildung.

Dann ist auch die Umkehrabbildung ${}\varphi ^{-1}\colon Y\rightarrow X$ holomorph.

 

???: Offenheit von holomorphen Abbildungen

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen zusammenhängenden riemannschen Flächen.

Dann ist ${}\varphi$ offen.

 

???: Mannigfaltigkeitsstruktur auf projektiven Räumen

Die reell-projektiven Räume sind reell ${}C^{\infty }$- differenzierbare Mannigfaltigkeiten und die komplex-projektiven Räume sind komplexe Mannigfaltigkeiten.

 

???: Ebene projektive Kurven und riemannsche Flächen

Es sei ${}F\in {\mathbb {C} }[X,Y,Z]$ ein homogenes Polynom vom Grad ${}d$. Für jeden Punkt ${}P\in V_{+}(F)\subset {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{2}$ sei zumindest eine partielle Ableitung ${}{\frac {\partial F}{\partial X}}(P),{\frac {\partial F}{\partial Y}}(P),{\frac {\partial F}{\partial Z}}(P)$ ungleich ${}0$.

Dann ist ${}V_{+}(F)$ eine kompakte riemannsche Fläche.

 

???: Wegeliftungssatz

Es sei ${}p\colon E\rightarrow X$ eine Überlagerung, ${}\gamma \colon I\rightarrow X$ ein stetiger Weg und ${}z\in E$ ein Punkt mit ${}p(z)=\gamma (0)$.

Dann gibt es genau einen stetigen Weg

${\tilde {\gamma }}\colon I\longrightarrow E$

mit der Eigenschaft, dass ${}p\circ {\tilde {\gamma }}=\gamma$ und ${}{\tilde {\gamma }}(0)=z$ ist.

 

???: Decktransformation und Fixpunkte

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine Überlagerung. Dabei sei ${}Y$ hausdorffsch, lokal wegzusammenhängend und zusammenhängend.

Dann ist eine Decktransformation, die einen Fixpunkt besitzt, bereits die Identität.

 

???: Charakterisierung von endlichen Überlagerungen

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine surjektive stetige Abbildung zwischen topologischen Räumen mit ${}Y$ ein Hausdorffraum und ${}X$ lokal wegzusammenhängend. Dann sind folgende Aussagen äquivalent.

1. ${}p$ ist eine endliche Überlagerung.
2. ${}p$ ist eine Überlagerung und endlich.
3. ${}p$ ist ein lokaler Homöomorphismus, der endlich ist.

 

???: Quotienten zu einem komplexen Gitter

Zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$

ist die kanonische Abbildung ${}\pi \colon {\mathbb {C} }\rightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma$ eine Überlagerung und der Quotientenraum ${}{\mathbb {C} }/\Gamma$ ist in natürlicher Weise eine eindimensionale kompakte komplexe Mannigfaltigkeit. Dabei wird ${}\pi$ zu einer holomorphen Abbildung.

 

???: Isogenie zu Untergitter

Zu Gittern ${}\Gamma _{1}\subseteq \Gamma _{2}\subseteq {\mathbb {C} }$

ist der kanonische Gruppenhomomorphismus

${\mathbb {C} }/\Gamma _{1}\longrightarrow {\mathbb {C} }/\Gamma _{2}$

eine endliche Überlagerung, deren Fasern gleich ${}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$ sind. Die Gruppe der Decktransformationen ist isomorph zu ${}\Gamma _{2}/\Gamma _{1}$.

 

???: Endlichkeit von Polynomen

Eine nichtkonstante Polynomfunktion

$f\colon {\mathbb {C} }\longrightarrow {\mathbb {C} }$

ist eine endliche Abbildung.

 

???: Verzweigungsverhalten bei endlichen holomorphen Abbildungen

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen den riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$ mit ${}Y$ zusammenhängend.

Dann ist die Summe ${}\sum _{x\in \varphi ^{-1}(y)}\operatorname {Verz} {\left(x{|}y\right)}$ konstant, also unabhängig von ${}y\in Y$.

 

???: Halm der Strukturgarbe einer riemannschen Fläche

Zu einem Punkt ${}P\in X$ auf einer riemannschen Fläche ${}X$ ist der Halm ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$ der Strukturgarbe ${}{\mathcal {O}}_{X}$ der holomorphen Funktionen

isomorph zum Ring der konvergenten Potenzreihen in einer Variablen.

 

???: Linksexaktheit der globalen Auswertung

Es sei ${}X$ ein topologischer Raum. Es sei

$0\longrightarrow {\mathcal {F}}{\stackrel {d}{\longrightarrow }}{\mathcal {G}}{\stackrel {d'}{\longrightarrow }}{\mathcal {H}}$

ein exakter Komplex von Garbenhomomorphismen von Garben von kommutativen Gruppen auf ${}X$.

Dann ist auch der Komplex

$0\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {F}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {G}}\right)}\longrightarrow \Gamma {\left(X,{\mathcal {H}}\right)}$

exakt.

 

???: Ausbreitungsraum zur Strukturgarbe

Der Ausbreitungsraum zur Garbe der holomorphen Funktionen auf einer riemannschen Fläche

ist in eindeutiger Weise eine riemannsche Fläche derart, dass ${}p\colon E\rightarrow X$ eine holomorphe Abbildung und ein lokaler Homöomorphismus ist. Die Auswertungsabbildung

$E\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(x,f)\longmapsto f(x),$

ist eine holomorphe Funktion auf ${}E$.

 

???: Algebraische Relation unter analytischer Fortsetzung

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche, es seien ${}a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n}$ holomorphe Funktionen auf ${}X$ und sei ${}f$ ein holomorpher Funktionskeim im Punkt ${}P\in X$, der im Halm ${}{\mathcal {O}}_{X,P}$ die algebraische Relation

${}a_{n}f^{n}+a_{n-1}f^{n-1}+\cdots +a_{1}f+a_{0}=0\,$

erfülle.

Dann erfüllt jede analytische Fortsetzung von ${}f$ ebenfalls diese Relation.

 

???: Liftungseigenschaft analytischer Fortsetzung

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche mit dem Ausbreitungsraum ${}p\colon E\rightarrow X$ zur Strukturgarbe. Es sei

$\gamma \colon [0,1]\longrightarrow X$

ein stetiger Weg mit ${}\gamma (0)=x$, ${}\gamma (1)=y$ und seien ${}f\in {\mathcal {O}}_{X,x}$ und ${}g\in {\mathcal {O}}_{X,y}$ holomorphe Keime in den Endpunkten.

Genau dann ist ${}g$ eine analytische Fortsetzung von ${}f$ längs ${}\gamma$, wenn es eine Liftung

${\tilde {\gamma }}\colon [0,1]\longrightarrow E$

zu ${}\gamma$ mit ${}(x,f),(y,g)\in E$ als Endpunkte gibt.

 

???: Zusammenhangskomponente im Ausbreitungsraum zu einem Keim

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche, ${}P\in X$ und ${}f\in {\mathcal {O}}_{X,P}$ ein holomorpher Funktionskeim. Dann besitzt diejenige Zusammenhangskomponente ${}Z$ des Ausbreitungsraumes ${}E$ zur Strukturgarbe, die den Punkt ${}(P,f)$ enthält, folgende Eigenschaften.

1. Es gibt eine holomorphe Funktion ${}g\colon Z\rightarrow {\mathbb {C} }$, die den Keim ${}f$ (aufgefasst in ${\mathcal {O}}_{Z,(P,f)}$) fortsetzt.
2. Das Bild von

   $Z\longrightarrow X$

   besteht aus allen Punkten ${}Q\in X$, für die es eine analytische Fortsetzung von ${}f$ zu einem Keim in ${}Q$ gibt.

 

???: Fortsetzung für endliche holomorphe Abbildungen

Es sei ${}p\colon Y\rightarrow X$ eine endliche holomorphe Abbildung zwischen riemannschen Flächen

${}X$ und ${}Y$. Es sei ${}X\subseteq {\tilde {X}}$ eine offene Einbettung von ${}X$ in einer riemannschen Fläche ${}{\tilde {X}}$, wobei ${}D={\tilde {X}}\setminus X$ diskret sei.

Dann gibt es eine eindeutig bestimmte riemannsche Fläche ${}Y\subseteq {\tilde {Y}}$ und eine endliche holomorphe Abbildung

${\tilde {p}}\colon {\tilde {Y}}\longrightarrow {\tilde {X}},$

die ${}p$ fortsetzt.

 

???: Holomorphe Differentialformen auf Torus

Auf einem komplexen Torus ${}X={\mathbb {C} }/\Gamma$ zu einem Gitter ${}\Gamma \subseteq {\mathbb {C} }$

sind die holomorphen Differentialformen gleich ${}sdz$ mit ${}s\in {\mathbb {C} }$, wobei ${}dz$ die durch die ${}\Gamma$-invariante Differentialform ${}dz$ auf ${}{\mathbb {C} }$ induzierte Form auf ${}X$ bezeichnet.

Insbesondere ist der Raum der holomorphen Differentialformen auf ${}X$ eindimensional.

 

???: Dolbeault-Komplex

Es sei ${}X$ eine riemannsche Fläche.

Dann ist der Komplex

$0\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {O}}_{X}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}\,{\stackrel {d^{a}}{\longrightarrow }}\,{\mathcal {E}}^{(0,1)}\,{\stackrel {}{\longrightarrow }}\,0$

exakt.

 

???: Wegintegrale zu homotopen Wegen

Es sei ${}M$ eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und ${}\omega$ eine geschlossene Differentialform auf ${}M$ mit Werten in ${}{\mathbb {K} }$. Es seien

$\gamma _{1},\gamma _{2}\colon [a,b]\longrightarrow M$

stetige differenzierbare homotope Wege.

Dann ist

${}\int _{\gamma _{1}}\omega =\int _{\gamma _{2}}\omega \,.$

 

???: Der Residuensatz für kompakte riemannsche Flächen

Es sei ${}X$ eine kompakte riemannsche Fläche, es sei

${}D=\{P_{1},\ldots ,P_{n}\}\subseteq X\,$

eine endliche Teilmenge in ${}X$ und ${}\omega$ eine holomorphe Differentialform auf ${}X\setminus D$.

Dann ist

${}\sum _{i=1}^{n}\operatorname {Res} _{P_{i}}\left(\omega \right)=0\,.$

 

???: Meromorphe Funktionen und projektive Gerade

Es sei ${}X$ eine zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann gibt es eine natürliche Korrespondenz zwischen meromorphen Funktionen auf ${}X$ und holomorphen Abbildungen von ${}X$ nach ${}{\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$, die nicht konstant gleich ${}\infty$ sind.

Einer meromorphen Funktion ${}f$ wird dabei die Abbildung zugeordnet, die auf dem polstellenfreien Ort die holomorphe Funktion

$X\setminus \operatorname {Pol} (f)\longrightarrow {\mathbb {C} }\subseteq {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}$

ist und die die Polstellen von ${}f$ auf ${}\infty$ abbildet.

 

???: Grad eines Hauptdivisors

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann ist der Grad eines Hauptdivisors gleich ${}0$.

 

???: Der Endlichkeitssatz für die Kohomologie von riemannschen Flächen

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann ist ${}H^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X})$ ein endlichdimensionaler ${}{\mathbb {C} }$- Vektorraum.

 

???: Existenzsatz für meromorphe Funktionen

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}P\in X$ ein Punkt.

Dann gibt es eine nichtkonstante meromorphe Funktion auf ${}X$, die außerhalb von ${}P$ holomorph ist.

 

???: Endliche Realisierung einer riemannschen Fläche

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann gibt es eine surjektive endliche holomorphe Abbildung

$X\longrightarrow {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}.$

 

???: Körper der meromorphen Funktionen auf kompakter riemannscher Fläche

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann ist der Körper der meromorphen Funktionen ${}{\mathcal {M}}(X)$ eine endliche Körpererweiterung vom Körper der rationalen Funktionen ${}{\mathbb {C} }(t)$.

 

???: Der Satz von Riemann-Roch für kompakte riemannsche Flächen

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche vom Geschlecht ${}g$ und sei ${}D$ ein Divisor auf ${}X$ mit der zugehörigen invertierbaren Garbe ${}{\mathcal {O}}_{X}(D)$.

Dann ist

${}h^{0}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))-h^{1}(X,{\mathcal {O}}_{X}(D))=\operatorname {Grad} \,(D)+1-g\,.$

 

???: Serre-Dualität

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche und ${}{\mathcal {L}}$ eine invertierbare Garbe auf ${}X$.

Dann definiert die natürliche Abbildung

$\operatorname {Hom} {\left({\mathcal {L}},\Omega _{X}\right)}\times H^{1}(X,{\mathcal {L}})\longrightarrow {\mathbb {C} },\,(\theta ,c)\longmapsto \operatorname {Res} _{}\left(H^{1}(\theta )(c)\right),$

eine vollständige Dualität.

 

???: Kohomologisches und differentielles Geschlecht

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann stimmt das kohomologische Geschlecht von ${}X$ mit dem differentiellen Geschlecht von ${}X$ überein.

 

???: Riemann-Hurwitz-Formel

Es sei ${}\varphi \colon X\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung zwischen den kompakten zusammenhängenden riemannschen Flächen ${}X$ und ${}Y$.

Dann gilt für die Geschlechter die Beziehung

${}2g(X)-2=\operatorname {Grad} \,(\varphi )(2g(Y)-2)+\operatorname {Grad} \,(R)\,.$

 

???: Satz von Lüroth

Es sei ${}\varphi \colon {\mathbb {P} }_{\mathbb {C} }^{1}\rightarrow Y$ eine nichtkonstante holomorphe Abbildung, wobei ${}Y$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche sei.

Dann ist ${}Y$ ebenfalls die projektive Gerade.

 

???: Algebraisches und analytisches Geschlecht

Es sei ${}X_{\text{alg}}$ eine zusammenhängende glatte projektive Kurve über ${}{\mathbb {C} }$ und sei ${}X_{\text{an}}$ die zugehörige kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann stimmt das algebraisch definierte Geschlecht von ${}X_{\text{alg}}$ mit dem analytisch definierten Geschlecht von ${}X_{\text{an}}$ überein.

 

???: Satz von Abel-Jacobi

Es sei ${}X$ eine kompakte zusammenhängende riemannsche Fläche.

Dann ist die Abel-Jacobi-Abbildung

$\operatorname {DKG} {\left(X\right)}_{0}\longrightarrow J(X),\,[\sum _{i\in I}P_{i}-\sum _{i\in I}Q_{i}]\longmapsto {\left(\omega \mapsto \sum _{i\in I}\int _{P_{i}}^{Q_{i}}\omega \right)},$

von der Divisorenklassengruppe auf ${}X$ vom Grad ${}0$ in die Jacobische Varietät ${}J(X)$ ein Gruppenisomorphismus.