Kurs:Vektor-Algebra/Basis

Multiplikation eines Vektors mit einer skalaren Größe

Es sei V ein Vektor und S eine skalare Größe mit dem Zahlenwert {S} und der Einheit [S], also

$S=\left\{S\right\}\cdot \left[S\right].$

(Gelesen: Größenwert von S = Zahlenwert von S mal Einheit von S.)

Der Größenwert des Vektors V sei analog V = {V}·[V]. Dann ist der Vektor W = S·V ein Vektor von der Richtung des Vektors V und dem Größenwert W = {S}·{V}·[S]·[V]. Anders ausgedrückt:

Der Größenwert des Vektors W ist gleich dem Größenwert von S multipliziert mit dem Größenwert von V, die Richtung des Vektors W ist dieselbe wie des Vektors V, wenn der Zahlenwert von S größer null ist, anderenfalls entgegengesetzt.

Beispiel: Die Kraft F, die eine elektrische Ladung Q in einem Punkt eines elektrischen Feldes mit der Feldstärke E erfährt, ist

${\mathbf {F} }=Q\cdot {\mathbf {E} }.$

Für Q > 0 ist ${\mathbf {F} }\uparrow \uparrow {\mathbf {E} }$, anderen falls ist ${\mathbf {F} }\uparrow \downarrow {\mathbf {E} }$.

Es sei zum Beispiel E = 4,0·10⁵ V/m und Q = 3,2·10^-8 As, dann ist der Größenwert des Vektors F

$F=3,2\cdot 10^{-8}{\mbox{As}}\cdot 4,0\cdot 10^{5}{\mbox{V/m = 3}}{\mbox{,2}}\cdot {\mbox{10}}^{\mbox{ - 8}}\cdot 4,0\cdot 10^{5}{\frac {\mbox{AsV}}{\mbox{m}}}$ $F=12,8\cdot 10^{-3}{\mbox{N}}\,{\mbox{.}}$

Jeder Vektor V kann dann dargestellt werden als das Produkt seines Größenwertes mit dem Einheitsvektor e_V= V₀, das ist ein Vektor mit derselben Richtung wie der Vektor V und dem Größenwert 1:

(3.1)

${\mathbf {V} }=V\cdot {\mathbf {e} }_{\mathbf {V} }.$

Umgekehrt ist der Einheitsvektor von der Richtung des Vektors V:

(3.2)

${\mathbf {e} }_{\mathbf {V} }={\mathbf {V} }_{0}={\frac {\mathbf {V} }{V}}={\frac {1}{V}}{\mathbf {V} }.$

Die (bisher noch nicht definierte) Division eines Vektors durch einen Skalar wird dabei interpretiert als Multiplikation mit dem Kehrwert des Skalars. Diese Definition wird hiermit nachgeholt: Es sei

(3.3)

${\frac {\mathbf {V} }{S}}={\frac {1}{S}}{\mathbf {V} }.$

Beispiel: Die Feldstärke E in einem Punkt eines elektrischen Feldes ist der Quotient aus der Kraft F , die eine elektrische Ladung Q dort erfährt, und der Ladung:

${\mathbf {E} }={\frac {\mathbf {F} }{Q}}={\frac {1}{Q}}{\mathbf {F} }$