Kurs:Vorkurs Mathematik (Bielefeld 2009)/Binomische Formeln

Aufgabe

Schreibe ${}\left((1-t)a+tb\right)^{3}$ als eine Summe von reellen Koeffizienten mal Potenzen von ${}t$. Was passiert, wenn ${}t$ den Bereich von 0 bis 1 durchläuft?

Lösung:

${}a^{3}-3a^{2}(a-b)t+3a(a-b)^{2}t^{2}-(a-b)^{3}t^{3}$

 

Aufgabe

Schreiben Sie ${}(a+b+c)^{4}$ als Summe von Termen der Art ${}a^{n}b^{m}c^{k}$.

Lösung:

${}a^{4}+b^{4}+c^{4}+4(a^{3}b+ab^{3}+a^{3}c+b^{3}c+ac^{3}+bc^{3})+6(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})+12(a^{2}bc+ab^{2}c+abc^{2})$

 

Aufgabe

Vereinfachen Sie so weit wie möglich:

${\frac {(a+b)^{2}}{a-b}}+{\frac {(a-b)^{2}}{a+b}}$

Lösung:

${}{\frac {2a^{3}+6ab^{2}}{a^{2}-b^{2}}}$