Kurs:Vorkurs Mathematik (Bielefeld 2009)/Quadratische Gleichungen

Aufgabe

Von einem Rechteck sind der Umfang ${}U$ und die Fläche ${}A$ bekannt. Bestimme die Längen der Seiten des Rechtecks.

Lösung:

Zwei Seiten haben die Länge ${}a$, zwei andere Seiten die Länge ${}b$; gegebenenfalls ist ${}a=b$. Es gilt ${}U=2a+2b$ und ${}A=ab$.

Auflösen der ersten Gleichung nach ${}b$ ergibt ${}b={\frac {U}{2}}-a$. Einsetzen in die zweite Gleichung: ${}A=a\left({\frac {U}{2}}-a\right)=a{\frac {U}{2}}-a^{2}$. Umstellen in die Normalform einer quadratischen Gleichung: ${}a^{2}-{\frac {U}{2}}a+A=0$.

Man beachte, dass der Wert unter der Wurzel nie negativ wird und nur für den Speziallfall eines Quadrats null wird: Alle allgemeinen Rechtecke haben im Verhältnis zum Quadrat bei gleicher Fläche einen größeren Umfang.

Also hat diese Gleichung typischerweise zwei Lösungen für ${}a$, nämlich ${}{\frac {U}{4}}\pm {\sqrt {{\frac {U^{2}}{16}}-A}}$. Eine der beiden Lösungen ist dann ${}a$, die andere ist ${}b$. Wenn unter der Wurzel der Wert null steht, hat man ein Quadrat und es gibt nur eine Lösung ${}a=b=U/4$.