Kurs:Vorkurs Mathematik für Physiker/Modul 1

Aussagenlogik

Aussagen sind beschreibende Sätze von (mathematischen) Umständen. Der Begriff der Aussage meint nur eine Festellung, wie „Das Fenster ist offen.“ und nicht etwa Fragen, Aufforderungen oder anderes. Für Aussagen gilt im wesentlichen, dass man ihnen einen eindeutigen Wahrheitswert zuordnen kann, also entweder wahr oder falsch. Beides, oder keins von beidem ist nicht möglich (bzw. ist dieser Satz dann keine Aussage per Definition).

Als eine Aussage ist ein sprachliches Gebilde definiert, welchem man aufgrund seines Inhaltes entweder wahr oder falsch zuordnen kann.

Beispiele:

• Heute ist Sonntag
• 2 ist die einzig gerade Primzahl
• $1+1=2$

Die Wahrheitsgehalte dieser Aussagen lassen sich leicht überprüfen. Und dieser Wahrheitsgehalt hängt zusätzlich von dem jeweiligen mathematischen Teilgebiet ab, in dem die Aussage verwendet wird.

So ist zum Beispiel die Aussage $2+x=1$ bei Verwendung der natürlichen Zahlen nicht wahr, also falsch — sie ist schlichtweg nicht lösbar, da $-1$ keine natürliche Zahl ist. Unter Verwendung der ganzen Zahlen ist diese Aussage wiederum lösbar, da $-1$ in der Menge der ganzen Zahlen enthalten ist. (Zur Definition von Mengen, natürlichen und ganzen Zahlen kommen wir noch.)

Junktoren

Nun gibt es Operatoren und Verknüpfungen von Aussagen, die sogenannten Junktoren. Durch Verknüpfung von zwei Aussagen entsteht eine neue komplexere Aussage.

Junktoren
Junktoren sind Worte oder Zeichen, die Teilaussagen zu einer Gesamtaussage verknüpfen, so dass sich für die Gesamtaussage ein gültiger Wahrheitsgehalt feststellen lässt. Dieser hängt von dem Wahrheitsgehalt der Teilaussagen ab.

Nehmen wir nun an, wir hätten zwei Aussagen A und B. Diese müssen wir zunächst nicht genauer spezifizieren, denn diese Gesetzte sind allgemein gültig, werden es jedoch tun, um die einzelnen Begriffe an einem praktischen Beispiel zu erläutern.

Konjunktion

Nehmen wir an, dass die beiden Aussagen A und B folgendermaßen aussehen:

A: Heute ist Sonntag.

B: Ich bin zu Hause.

Wir gehen ferner davon aus, dass diese Aussagen wahr sind. Wenn wir diese Aussagen nun zu einer verknüpfen wollten, dann hieße dies:

C: Heute ist Sonntag und ich bin zu Hause.

Da beide Teilaussagen A und B wahr sind, ist die Aussage C wiederum auch wahr. Mathematisch ausgedrückt sieht die Und-Verknüpfung oder Konjunktion so aus:

$C=A\wedge B$

Ausgesprochen dann „A und B“.

Es gilt:

Sind A und B wahr, ist die Aussage, die A und B verknüpft, wiederum wahr.

Merke:

Sind beide Aussagen A und B falsch, so ist auch C falsch. Ist A falsch, B aber wahr, ist C falsch. Ebenso ist C falsch, wenn A wahr, und B falsch ist.

Grafisch dargestellt:

A ist	B ist	So ist C
w	w	w
w	f	f
f	w	f
f	f	f

Disjunktion

(Oder auch Adjunktion) Wollen wir ausdrücken, dass entweder eine oder beide Aussagen gelten, steht uns die Oder-Verknüpfung zur Verfügung. Diese ist entgegen dem Oder der Umgangssprache kein so genanntes ausschließendes Oder (entweder … oder …). D.h. in der Umgangssprache ist entweder A oder B wahr. In der Mathematik kann nun beides wahr sein, damit die Gesamtaussage wahr ist.

Wir nehmen für die Aussagen A und B nun folgendes an:

A: Es regnet.
B: Die Sonne scheint.

Verbinden wir diese Teilaussagen wieder zu einer Gesamtaussage, dann hieße C:

Es regnet oder die Sonne scheint.

Mathematisch ausgedrückt:

$A\vee B$

Ausgesprochen: „A oder B”

Es gilt:

Die Aussage ist wahr, wenn eine der beiden oder beide Aussagen wahr sind.

Der Wahrheitsgehalt der Aussage C ist etwas komplexer als er es bei der Konjunktion war. Deshalb ist dieser in der Wahrheitstabelle ersichtlich.

C ist wahr, wenn A und B wahr sind, wenn A falsch und B wahr ist, und wenn A wahr und B falsch ist.

A ist	B ist	So ist C
w	w	w
w	f	w
f	w	w
f	f	f

Negation

Möchte man das Gegenteil einer Aussage bezeichnen, so steht einem die Negation, also die Verneinung zur Verfügung.

Für diese Begebenheit werden wir kein explizites Beispiel heranführen, sondern für die Aussage A lediglich den Wahrheitsgehalt als wahr festlegen.

Wollen wir nun ausdrücken, dass die Aussage A nicht stimmt, bzw. nur das Gegenteil, dann drücken wir das so aus:

Es ist nicht der Fall, dass A wahr ist.

Oder

Die Gegenteilige Aussage zu A ist wahr.

$\neg A$ — (nicht A)

Der Wahrheitsgehalt lässt sich nun wie folgt festlegen:

A ist	So ist $\neg A$
w	f
f	w

Implikation

Manchmal ist der Wahrheitsgehalt einer Aussage B abhängig vom Wahrheitsgehalt einer anderen Aussage A. Der Wahrheitsgehalt der Aussage A wird also aus dem der Aussage B geschlussfolgert (impliziert).

Es kann auch sein, dass eine Aussage A die Voraussetzungen enthält, damit B gilt. Hierbei wird A die Prämisse genannt, die die Vorraussetzungen enthält, damit die Konklusion gilt, also B.

* A: Prämisse — enthält Vorraussetzungen, dass Konklusion gilt,
* B: Konklusion

$A\Rightarrow B$

Ausgesprochen: „A impliziert B“, „Aus A folgt B“ oder „Wenn A gilt, dann gilt B“.

Der Wahrheitsgehalt soll wieder über eine Wahrheitstabelle definiert werden.

$A$	$B$	$A\Rightarrow B$
w	w	w
w	f	f
f	w	w
f	f	w

Äquivalenz

$A\Leftrightarrow B$ — $A\Rightarrow B$ und $B\Rightarrow A$ gelten (sind gleichwertig bzw. äquivalent)

Antivalenz

(Oder auch Kontravalenz, vollständige Disjunktion) $A\not \equiv B\,bzw.\,A{\dot {\vee }}B$

Ausschliessende Disjunktion.

Weiterführendes

• Kurs:Logik
• Kurs Vorkurs Mathematik, Vorlesung 1: Aussagen (sehr empfehlenswert)

Quantorenlogik

Wenn eine mathematische Aussage für gewisse Elemente gelten soll, dann werden Quantoren verwendet.

Einschub Die Quantorenlogik wird auch Prädiktenlogik genannt.

Nehmen wir als Beispiel die Aussage A

Menschen sind sterblich.

und die Aussage B

Sokrates ist ein Mensch.

Nun ist die Implikation

Sokrates ist sterblich

aber in der Form nicht gültig. Wir müssen dafür sorgen, dass die Aussage A („Menschen sind sterblich“) für alle Menschen gilt. Also

A: Alle Menschen sind sterblich

Nun wäre die Implikation „Sokrates ist sterblich“ korrekt, da er ein Mensch ist, und für alle Menschen gilt, dass sie sterblich sind.

$\forall \,x(M(x)\Rightarrow S(x))$ — ist x ein Mensch, so ist er sterblich.

Der besprochene Quantor wird Allquantor genannt.

Der Allquantor $\forall \,x$ („für alle x“) beschreibt Eigenschaften von allen Elementen x.

Nun gibt es noch einen weiteren grundlegenden Quantor, den Existenzquantor. Es sagt aus, dass es mindestens ein Element geben muss, für dass die Eigenschaft $E(x)$ gilt.

Beispiel: Nehmen wir an, dass es zu jedem Element $a$ genau ein negatives Element geben soll. Dazu wird der Existenzquantor erweitert von „Es gibt mindestens ein ...“ zu „Es gibt genau ein …“.

$\forall \,a\;\exists !a'(a+a'=0)$ — Für alle a existiert mindestens ein $a'$ mit $a+a'=0$.

Zahlen

TODO: natürliche, ganze, rationale, irrationale, reelle, komplexe (extra modul)…

Mengenlehre

Georg Cantor, der Begründer der Mengenlehre definierte den Begriff der Menge wie folgt:

Definition: Menge

Unter einer ‚Menge‘ verstehen wir jede Zusammenfassung M von
bestimmten wohlunterschiedenen Objekten m unserer Anschauung oder
unseres Denkens (welche die ‚Elemente‘ von M genannt werden) zu einem Ganzen.

Eine Menge M fasst also bestimmte mathematische Objekte zusammen. Diese müssen wohl unterscheidbar sein, dass heißt es muss klar sein, was das für ein Element gemeint ist, und welches nicht gemeint ist.

Definition einer Menge

Allgemein gilt, dass wir eine Menge kennen, wenn wir ihre Elemente kennen. Also kennen wir die Elemente nicht, kennen wir auch die Menge nicht. Demnach müssen die Elemente beschrieben werden. Können sie beschrieben werden, kennen wir sie auch.

Es gibt zwei Formen, um eine Menge zu definieren. Zum einen können die Elemente einfach aufgezählt werden:

• $M_{1}=\{1,2,3\}$ (Die Menge M₁ besteht aus den Elementen 1,2 und 3.)

Besitzt die Menge zu viele Elemente um sie aufzählen zu können, wird das Auslassungszeichen »...« verwendet.

Es bietet sich ferner an, eine allgemeine Beschreibung der Elemente zu geben.

• $M_{2}=\{x\in \mathbb {N} |1<x<23\}=\{2,3,4,5,...,21,22\}$ (Die Menge M₂ besteht aus den Elementen x, für die gilt, x ist in $\mathbb {N}$ — den natürlichen Zahlen — enthalten, x ist größer als 1, und kleiner als 23.)

• Aufzählend:
  $M_{2}=\{1,2,3\}$ (Die Menge M₂ besteht aus den Elementen 1,2 und 3.)

Ist nach der Aufzählung der Elemente einer Menge ein »…« gegeben, so heißt sie unendlich, andernfalls endlich.

• Endliche Menge:
  $M_{e}=\{1,2,3,...,17,18,19,20\}$

• Unendliche Menge:
  $M_{u}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9,...\}$

Die Anzahl der Elemente einer Menge A heißt Mächtigkeit der Menge und wird mit $|A|$ bezeichnet.

Ist ein Element teil einer Menge, so heißt es: $x\in M_{2}$ (x ist in M2 enthalten)

Teilmenge

Enthält eine Menge A dieselben Elemente wie eine Menge B, so heißt B Teilmenge von A.

$B\subseteq A$

Eine Menge, die eine andere Menge inkludiert, heißt Obermenge. Die inkludierte Menge Teilmenge oder Untermenge. (siehe nebenstehende Grafik: A ist eine Obermenge, B eine Untermenge)

$A\supseteq B$

Enthält die Obermenge A zudem noch weitere Objekte, so ist sie eine echte Obermenge, und B ist eine echte Teilmenge.

$B\subset A$ bzw. $A\supset B$

Definition

$A\subseteq B:\Longleftrightarrow \forall x\in A:x\in B$

$A\subset B:\Longleftrightarrow A\subseteq B\wedge A\neq B$

Eigenschaften

• Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge: $\emptyset \subseteq A$
• Jede Menge ist Teilmenge von sich selbst: $A\subseteq A$

Ausführlichere Informationen: Teilmenge auf Wikipedia

Schnittmenge

Die Schnittmenge zweier Mengen A, B ist eine Menge, die die Elemente enthält, die in beiden Mengen A, B vorkommen.

$A\cap B:=\{x|(x\in A)\wedge (x\in B)\}$ (gelesen: A geschnitten B bzw. Der Durchschnitt von A und B ist die Menge aller Elemente, die sowohl in A, als auch in B enthalten sind.)

Vereinigungsmenge

Die Vereinigungsmenge zweier Mengen ist die Menge, die alle Elemente der beiden Mengen enthält.

$A\cup B:=\{x|(x\in A)\vee (x\in B)\}$

(gelesen: A vereinigt mit B bzw. Die Vereinigung von A und B ist die Menge aller Elemente, die in A oder in B enthalten sind. Das „oder“ ist hier nicht-ausschließend zu verstehen. Die Vereinigung umfasst auch die Elemente, die in beiden Mengen enthalten sind.)

Differenzmenge

Die Differenzmenge bzw. Restmenge zweier Mengen A, B enthält die Elemente die in A, aber nicht in B enthalten sind.

$A\backslash B:=\{x|(x\in A)\wedge (x\notin B)\}$

(gelesen: A ohne B ist die Menge aller Elemente, die in A, aber nicht in B enthalten sind.) Die Differenz von A und B wird auch Komplement genannt.

Kartesisches Produkt

Das kartesische Produkt (Verbindungsmenge/Produktmenge) ist eine Verknüpfung von n Mengen.

Die Produktmenge von A, B ist die Menge aller geordneten Paare, deren erstes Element aus A und deren zweites Element aus B ist.

Die Elemente des kartesischen Produkts sind also keine Elemente der Ausgangsmenge mehr, sonder weitaus komplexer, sie sind nämlich geordnete Paare.

$A\times B:=\{(a,b)|(a\in A)\wedge (b\in B)\}$

Unter der Verwendung von n-Tupeln lässt sich der Begriff leicht für die Verknüpfung endlich vieler Mengen verallgemeinern:

$A_{1}\times A_{2}\times ...\times A_{n}:=\{(a_{1},a_{2},...,a_{n})|a_{1}\in A_{1}\wedge a_{2}\in A_{2}\wedge ...\wedge a_{n}\in A_{n}\}$

Beispiel:

Seien die Mengen $M_{1}=\{1,2\}$, $M_{2}=\{1,2,3\}$ gegeben. So ist das kartesische Produkt:

$M_{1}\times M_{2}=\{(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3)\}$

bzw.

$M_{2}\times M_{1}=\{(1,1),(1,2),(2,1),(2,2),(3,1),(3,2)\}$

D.h. $M_{1}\times M_{2}\neq M_{2}\times M_{1}$

Ein weiteres wichtiges Beispiel ist der 3-dimensionale Raum $\mathbb {R} ^{3}$:

$\mathbb {R} ^{3}:=\mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R}$

Potenzmenge

Die Potenzmenge ${\mathcal {P}}(A)$ einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A.

Die Potenzmenge einer Menge A enthält immer die leere Menge, und sich selbst.

Somit ist ${\mathcal {P}}(\emptyset )=\{\emptyset \}$, also eine einelementige Menge. Die Potenzmenge einer einelementigen Menge $\{a\}$ ist ${\mathcal {P}}(\{a\})=\{\emptyset ,\{a\}\}$, enthält also zwei Elemente.

Mächtigkeit einer Potenzmenge

Die Mächtigkeit einer Potenzmenge gibt die Anzahl der Teilmengen an, aus der die Potenzmenge besteht. Besitzt also die Menge A genau n Elemente, so ist die Mächtigkeit der Potenzmenge auf bemessen. So hat die Potenzmenge also genau Teilmengen.

Beispiel: Sei $M:=\{1,2\}$, so lautet die Potenzmenge von M:

${\mathcal {P}}(M)=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{1,2\}\}$

sprich $2^{M}=4$ (Die Potenzmenge der Menge M enthält genau 4 Elemente — siehe Oben).