Kurs:Vorkurs Mathematik für Physiker/Modul 3

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Folgen

Eine endliche oder unendliche geordnete Menge heißt Zahlenfolge. Die Zahlen einer Zahlenfolge heißen Glieder. Eine Folge wird zumeist nicht durch Aufzählung ihrer Glieder definiert, sondern durch Angabe eines Allgemeinen Glieds , dem Bildungsgesetz der Folge. Durch Angabe eines allgemeinen Glieds ist die Folge definiert.

$a_{n}=(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},...)$

Beispiele

• (1) $a_{n}=((-1)^{n})=-1,1,-1,1,...$, eine simple alternierende Folge.
• (2) $a_{n}=(q^{n})=q,q^{2},q^{3},q^{4},...$, die geometrische Folge. Sie ist erst durch Angabe von q eindeutig bestimmt.
• (3) $a_{n}=(n)=1,2,3,4,...$, die Folge der natürlichen Zahlen.
• (4) $a_{n}=\left({\frac {1}{n}}\right)=1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},...$, die so genannte Harmonische Folge, die Folge der inversen natürlichen Zahlen.
• (5) $a_{n}=\left({\frac {1}{n!}}\right)=1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{24}},...$, die Folge der inversen Fakultäten.
• (6) $a_{n}=\left({\frac {n}{n+1}}\right)={\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},...$, die Folge der echten Brüche.

-- ab hier weitermachen -- Spezielle Bezeichnungen Endliche Folge — Folge mit endlich vielen Gliedern Unendliche Folge — Folge mit unendlich vielen Gliedern Reelle Folge — Folge, die ausschließlich aus reellen Zahlen besteht Alternierende Folge — Bei zwei aufeinander-folgenden Gliedern unterscheiden sich die Vorzeichen (siehe Beispiel 1) Geometrische Folge — Bei zwei aufeinander-folgenden Gliedern ist der Quotient q konstant. (siehe Beispiel 2)

Monotonie einer Folge Wenn aufeinander-folgende Glieder mit steigender Nummer immer größer werden, heißt die Folge monoton steigend.

Die Folge heißt monoton steigend, wenn gilt:

Die Folge heißt streng monoton steigend, wenn gilt:

Sofern die Glieder einer Folge immer kleiner werden, so heißt die Folge monoton fallend bzw. monoton sinkend.

Die Folge heißt monoton fallend, wenn gilt:

Die Folge heißt streng monoton fallend, wenn gilt:

Wenn aufeinander-folgende Glieder äquivalent sind, heißt die Folge konstant.

Beispiele Die geometrische Folge für ist streng monoton steigend. Die Folge der natürlichen Zahlen (3) ist streng monoton steigend.

Beschränktheit einer Folge Liegen alle Werte einer Folge über einer bestimmten Grenze, so heißt die Folge nach unten beschränkt.

Liegen jedoch alle Werte einer Folge unter einer bestimmten Grenze, so heißt die Folge nach oben beschränkt.

Eine Folge, die sowohl nach oben, als auch nach unten beschränkt ist, heißt beschränkt.