Kurs:Vorkurs Mathematik für Physiker/Modul 5

Vektoralgebra

Skalare

Es gibt physikalische Größen, die durch eine einzige Zahl beschrieben werden können.

• Masse
• Dichte
• Tempereratur

usw.

Ein Skalar ist eine reelle Zahl, die eine solche Angabe repräsentiert. Er wird zumeist durch einen kleinen griechischen Buchstaben beschrieben: $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta ,\epsilon$

Vektoren

Vektoren sind physikalische Größen, die nicht mit einer einzigen Angabe beschrieben werden können.

• Verschiebungen
• Krafteinwirkungen

Man kann sich Vektoren als Pfeile im Raum vorstellen. Die Richtung des Vektors ist dabei die Richtung des Pfeils. Der Betrag des Vektors entspricht der Länge des Pfeils. Dem Betrag des Vekors kann auch eine Maßeinheit zugeordnet werden (Beispiel: "gehe fünf Meter in diese Richtung"). Ein Vektor wird oft als Buchstabe mit einem Pfeil geschrieben: ${\vec {a}}$. In der Literatur ist es aber eher üblich statt des Pfeils oberhalb des Buchstabens den Buchstaben fett zu schreiben: a.

Vektoren sind Zahlenpaare, auch n-Tupel genannt (Aufzählung n mathematischer Objekte in einer festen Reihenfolge). Diese Zahlen werden Komponenten des Vektors genannt. Die Komponenten geben die Position der Punktverschiebung in einem Bezugssystem wieder. Für jede Dimension des Bezugssystems eine Komponente.

Zeilenschreibweise:

${\vec {r}}=(r_{1},r_{2},r_{3})$

Spaltenschreibweise:

${\vec {r}}=\left({\begin{array}{c}r_{1}\\r_{2}\\r_{3}\end{array}}\right)$

$r_{1},r_{2},r_{3}$ sind hier die Komponenten bzw. Koordinaten des Vektors ${\vec {r}}$.

Die Komponentendarstellung eines Vektors (also das Zahlentripel $r_{1},r_{2},r_{3}$) wird durch $\langle {\vec {r}}\rangle$ bezeichnet. Zumeist wird zwischen dem Vektor und seiner Komponentendarstellung jedoch nicht unterschieden. Beide Darstellungen haben verschiedene Rechenmethoden. (Bei dem Vektor wird mit dem Betrag gerechnet, bei der Komponentendarstellung mit den einzelnen Komponenten)

Die einzelnen Komponenten können ebenfalls Vektoren sein. Sie werden addiert. Es ist ferner aber auch möglich, die Vektorkomponenten mithilfe von Einheitsvektoren zu konstruieren. (Siehe Einheitsvektoren)

Ortsvektoren

Sei O der Koordinatenursprung, und P ein beliebiger Punkt. So ist jeder Vektor, der die Position von P beschreibt, (die Punktverschiebung ${\vec {O}}P$), ein Ortsvektor. Ein Ortsvektor wird zumeist mit ${\vec {r}}$ bezeichnet.

${\vec {O}}P={\vec {r}}$

Einheitsvektoren/Basisvektor

Einheitsvektoren sind Vektoren mit einem Betrag von 1. Mit ihnen können Vektorkomponenten an einer bestimmten Achse ausgerichtet werden.

Es ist ferner aber auch möglich, mit Hilfe von Einheitsvektoren eine Basis für ein Bezugssystem zu konstruieren. Seien die Achsen 1,2,3 genannt, so heißen die entsprechenden Einheitsvektoren ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}$. Jede Achse hat einen eigenen Einheitsvektor.

Wobei die Komponentendarstellung der einzelnen Vektoren wie folgt aussieht: ${\vec {e}}_{1}=\left({\begin{array}{c}e_{11}=1\\e_{12}=0\\e_{13}=0\end{array}}\right),{\vec {e}}_{2}=\left({\begin{array}{c}e_{21}=0\\e_{22}=1\\e_{23}=0\end{array}}\right),{\vec {e}}_{3}=\left({\begin{array}{c}e_{31}=0\\e_{32}=0\\e_{33}=1\end{array}}\right)$

Je nachdem, in welche Richtung der Vektor gerichtet sein soll, ist ein Wert 0. Diese Vektoren bilden eine Basis B.

Die Vektoren sind zueinander Orthogonal. (Zwei Vektoren heißen zueinander orthogonal, wenn der (kleinere) Winkel zwischen ihnen 90° beträgt.)

Orthonormalbasis

Eine Basis B heißt normiert, wenn ihre Basisvektoren (${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},{\vec {e}}_{3}$) normiert sind. Die Basis B heißt orthogonal, wenn ihre Basisvektoren paarweise orthogonal sind.

Ist die Basis B sowohl normiert als auch orthogonal, so soll sie Orthonormalbasis heißen. (Orthongonalbasis = orthogonale aber nicht normierte Basis)

Koordinatensystem

Ursprung O und Basis B bilden zusammen ein Koordinatensystem K. (Der Unterschied zwischen einer Basis und einem Koordinatensystem ist der fehlende Ursprung O)

Ist das Koordinatensystem orthogonal, so heißt es kartesisches Koordinatensystem.

Normierter Vektor

Ein normierter Vektor ist ein Vektor mit einer Länge von 1.

Gegenvektor/Neutrales Element/Negativer Vektor

Der Gegenvektor ist der zu dem Ausgangsvektor ${\vec {a}}$ antiparallele Vektor, also mit entgegengesetzter Richtung.

$-{\vec {a}}=(-1\cdot {\vec {a}})$

Nullvektor

Wird ein Vektor ${\vec {b}}$ von sich selbst subtrahiert, entsteht ein Nullvektor. Der Nullvektor ${\vec {0}}$ hat jede Richtung und eine Länge von 0.

Ein Nullvektor heißt zu jedem Vektor orthogonal.

Betrag eines Vektors

Der Betrag des Vektors ${\vec {r}}={\vec {OP}}$ gibt die Länge der Puntkverschiebung ${\vec {OP}}$ an.

Nach dem Satz des Pythagoras gilt: $r:=|{\vec {r}}|={\sqrt {r_{x}^{2}+r_{y}^{2}+r_{z}^{3}}}$

(Sofern die Achsen x,y,z heißen)

Richtung eines Vektors

Teilt man einen Vektor durch seinen Betrag erhält man die Richtung des Vektors, d.h. einen Einheitsvektor in Richtung des Vektors. (Sei $a:=|{\vec {a}}|$)

${\vec {e}}_{a}:={\frac {\vec {a}}{a}}$

Klarerweise ist der Vektor ${\vec {a}}$ das $a$-fache des Einheitsvektors ${\vec {e}}_{a}$:

${\vec {a}}=a\cdot {\vec {e}}_{a}$

Vektoraddition

Da Vektoren in Bezugssystemen durchaus als Pfeile darstellbar sind, ist die Addition von Vektoren wie folgt definiert:

Bei der Addition von zwei (und mehr) Vektoren wird das Ende des einen Vektors in die Spitze des anderen Vektors gelegt. Der Additionsvektor bzw. die Summe wird nun durch Verbinden vom Anfang des ersten Vektors mit der Spitze des zweiten Vektors gebildet.

Da die Addition von Vektoren kommutativ ist, spielt die Reihenfolge keine Rolle. ${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}$

${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}$

${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}$

Addition von Vektoren in der Komponentendarstellung

Seien ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$ zwei Vektoren, und $a_{1},a_{2},a_{3}$ bzw. $b_{1},b_{2},b_{3}$ ihre Komponenten.

${\vec {a}}=a_{1}{\vec {e}}_{1}+a_{2}{\vec {e}}_{2}+a_{3}{\vec {e}}_{3}$ bzw. ${\vec {b}}=b_{1}{\vec {e}}_{1}+b_{2}{\vec {e}}_{2}+b_{3}{\vec {e}}_{3}$

Wenn wir nun jeweils die Einheitsvektoren ausklammern, und die Komponenten addieren, ergibt sich

${\vec {a}}+{\vec {b}}=\left({\begin{array}{c}a_{1}{\vec {e}}_{1}\\a_{2}{\vec {e}}_{2}\\a_{3}{\vec {e}}_{3}\end{array}}\right)+\left({\begin{array}{c}b_{1}{\vec {e}}_{1}\\b_{2}{\vec {e}}_{2}\\b_{3}{\vec {e}}_{3}\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{c}(a_{1}+b_{1}){\vec {e}}_{1}\\(a_{2}+b_{2}){\vec {e}}_{2}\\(a_{3}+b_{3}){\vec {e}}_{3}\end{array}}\right)=(a_{1}+b_{1})e_{1}+(a_{2}+b_{2})e_{2}+(a_{3}+b_{3})e_{3}$

Skalarprodukt/Inneres Produkt

Seien ${\vec {a}},{\vec {b}}$ zwei Vektoren, und φ der von ihnen eingeschlossene Winkel. Das Skalarprodukt ist wie folgt definiert:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}:=a\cdot b\cdot cos\phi$ (gesprochen: a in b)

Das Ergebnis ist ein Skalar, daher der Name Skalarprodukt.

wobei:

• $\phi =\sphericalangle ({\vec {a}},{\vec {b}})$ (Phi ist der eingeschlossene Winkel der Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}}$)
• $a:=|{\vec {a}}|,b:=|{\vec {b}}|$ (a,b sind definiert als Betrag der Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}}$)

Das Ergebnis ist eine reelle Zahl bzw. ein Skalar (deshalb Skalarprodukt).

Anmerkungen:

• Haben die Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}}$ dieselbe Richtung, sprich $\phi =0$, ist der Cosinus von φ eins.

• Ist einer der Vektoren ${\vec {a}},{\vec {b}}$ antiparallel zu dem anderen Vektor, sprich $\phi \geq 180$, so ist der Cosinus von φ negativ, ergo wirkt die Kraft bremsend.

Inneres Produkt in der Komponentendarstellung

Die einzelnen Komponenten von ${\vec {a}}$ werden jeweils mit dem entsprechendem Komponenten von ${\vec {b}}$ multipliziert:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=(a_{1}+a_{2}+a_{3})\cdot (b_{1}+b_{2}+b_{3})=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

bzw.

$\sum _{i=1}^{n=3}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}$

Herleitung

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist definiert als

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}$

Sei der Vektor ${\vec {b}}$ in Richtung des Einheitsvektors ${\vec {e}}_{1}$, und habe den Betrag 2:

${\vec {b}}=2{\vec {e}}_{1}$

Daraus folgt:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}={\vec {a}}\cdot 2{\vec {e}}_{1}=a_{1}\cdot 2+a_{2}\cdot 0+a_{3}\cdot 0=2a_{1}$

Somit ist in diesem Fall das Skalarprodukt das gleiche wie das Produkt aus dem Betrag des Vektors ${\vec {b}}$ mit der Projektion des Vektors ${\vec {a}}$ auf die Richtung von ${\vec {b}}$. Mit anderen Worten:

Skalarprodukt = projiziere ${\vec {a}}$ auf Richtung von ${\vec {b}}$ und multipliziere mit $b$.

Demnach kann man das Skalarprodukt auch wie folgt schreiben:

${\vec {a}}\cdot {\vec {b}}=a\cdot b\cdot \cos(\alpha )$,

dabei ist $\alpha$ der Winkel zwischen ${\vec {a}}$ und ${\vec {b}}$.