Kurs:Vorkurs Mathematik für Physiker/Modul 6

Matrizen

Eine Matrix ist ein $n\times m$ Schema mit $n\times m$ Zahlen, welches aus n Spalten und m Zeilen besteht.

Beispiel:

$A=\left[{\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\dots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\dots &a_{mn}\end{array}}\right]$

Alternativ kann eine Matrix auch mit $(a_{ij})$ angegeben werden, wobei der Index $i=1,\dots ,m$ die Zeilen, und der Index $j=1,\dots ,n$ die Spalten kennzeichnet.

Anmerkung:

Die eckige Klammer ist eher in Amerika üblich. Im europäischen Raum nutzt man zumeist runde Klammern, wie unten gezeigt. Grund zur Sorge besteht nicht: Die Form der Klammern spielt keine Rolle. (Ausnahme sind „Betrags-Striche“.)

Vektoren — Eine Sonderform der Matrix

Eine Sonderform der Matrix ist eine Matrix mit einer Spalte. (bzw. drei Zeilen) Dies sind Vektoren (siehe Modul Vektoren).

Zeilenvektor

${\vec {a}}=\left(a_{1}\;\;a_{2}\;\;a_{3}\right)$

Spaltenvektor

${\vec {a}}=\left({\begin{array}{c}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{array}}\right)$

Matrixoperationen

Definition: Eintrag

Die Elemente einer Matrix heißen Einträge.

Die Position eines Eintrags innerhalb der Matrix wird durch einen Doppel-Index i, j angegeben. (wobei i der Index der Zeile, und j Index der Spalte heißt)

$a_{ij}$

Beispiel:

$a_{32}$

(Der Eintrag befindet sich in der dritten Zeile, und in der zweiten Spalte.)

Gleichheit von Matrizen

Definition:

Zwei Matrizen heißen gleich, wenn sie gleichen Typs sind ($m_{A}=m_{B}\;\wedge \;n_{A}=n_{B}$), und wenn ferner alle Elemente gleich sind. ($a_{ij}=b_{ij}$ für alle i, j)

Addition/Subtraktion von Matrizen

Matrizen können nur mit Matrizen gleichen Typs addiert/subtrahiert werden.

Definition: Matrizen gleichen Typs werden addiert/subtrahiert, indem die Elemente der jeweiligen Matrizen mit der selben Position addiert werden.

$A\pm B=(a_{ij})\pm (b_{ij})=(a_{ij}\pm b_{ij})$

Beispiel:

$C=A+B=\left[{\begin{array}{cc}1&17\\42&3\\7&29\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{cc}34&23\\-2&27\\13&11\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}35&40\\40&30\\20&40\end{array}}\right]$

Achtung: Wenn Matrizen unterschiedlichen Typs addiert werden sollen, können die Matrizen mit fehlenden Einträgen mit Nullen erweitert werden: (da gilt: $0+a=a$)

Beispiel:

$\left[{\begin{array}{cc}1&17\\42&3\\7&29\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{ccc}35&40&7\\40&3&10\\20&40&11\\13&42&0\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}1&17&0\\42&3&0\\7&29&0\\0&0&0\end{array}}\right]+\left[{\begin{array}{ccc}35&40&7\\40&3&10\\20&40&11\\13&42&0\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}36&57&7\\82&6&10\\27&69&11\\13&42&0\end{array}}\right]$

Rechenregeln

a) Kommutativität

$A+B=B+A$

b) Assoziativität

$A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C$

Skalarmultiplikation einer Matrix

Sei $\lambda$ ein beliebig großer Skalar (und es gelte $\lambda \in \mathbb {R}$), und A eine Matrize vom Typ $m\times n$ dann ist die Multiplikation einer Matrix mit einem Skalar wie folgt definiert.

$\lambda \cdot A:=\left[{\begin{array}{cccc}\lambda \cdot a_{11}&\lambda \cdot a_{12}&\dots &\lambda \cdot a_{1n}\\\lambda \cdot a_{21}&\lambda \cdot a_{22}&\dots &\lambda \cdot a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\lambda \cdot a_{m1}&\lambda \cdot a_{m2}&\dots &\lambda \cdot a_{mn}\\\end{array}}\right]$

Ergo $\lambda \cdot A:=\lambda \cdot a_{ij}$ für alle i, j.

Beispiel:

$4\cdot A=4\cdot \left[{\begin{array}{ccc}1&2&3\\4&17&8\\12&23&42\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}4\cdot 1&4\cdot 2&4\cdot 3\\4\cdot 4&4\cdot 17&4\cdot 8\\4\cdot 12&4\cdot 23&4\cdot 42\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{ccc}4&8&12\\16&68&32\\48&92&168\end{array}}\right]$

Rechenregeln

a) Distributivität

$\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$

$(\alpha +\beta )A=\alpha A+\beta A$

b) Assoziativität

$\alpha (\beta A)=\beta (\alpha A)=(\beta \alpha )A$

Multiplikation von Matrizen

Das Produkt zweier Matrizen kann nur gebildet werden, wenn die Zeilenanzahl der ersten Matrix der Spaltenanzahl der zweiten Matrix entspricht.

${\displaystyle }$ Seien die Matrizen $A=\left[{\begin{array}{cc}2&5\\3&9\end{array}}\right]$ und $B=\left[{\begin{array}{cc}3&2\\6&1\end{array}}\right]$ gegeben. So ist $A\cdot B$:

$A\cdot B:=\left[{\begin{array}{cc}2&5\\3&9\end{array}}\right]\cdot \left[{\begin{array}{cc}3&2\\6&1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}2\cdot 3&5\cdot 2\\3\cdot 6&9\cdot 1\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{cc}6&10\\18&9\end{array}}\right]$

Anmerkung:

Sind die Matrizen nicht vom gleichen Typ, so können sie abermals mit Nulleinträgen erweitert werden.

Besondere Matrizen

Nullmatrix

Definition:

Eine Matrix, deren Elemente alle gleich Null sind, wird Nullmatrix genannt.

$a_{ij}=0$

Diagonalmatrix

Definition:

Eine Diagonalmatrix ist eine Matrix, wo alle Einträge außerhalb der Haupt-Diagonale 0 betragen.

$a_{ij}=0$ für alle $i\neq j$.

Beispiel: Sei $a\neq 0$.

$\left[{\begin{array}{cc}a&0\\0&a\end{array}}\right]$

Einheitsmatrix E

Definition:

Eine Einheitsmatrix ist eine Diagonalmatrix, wo jeder Eintrag der Hauptdiagonale 1 beträgt.

$\delta _{ij}={\begin{cases}1,&{\text{für }}i=j\\0,&{\text{für }}i\neq j\end{cases}}$

Anmerkung:
Das verwendete Symbol heißt Kronecker-Symbol. Es wird repräsentativ für die dahinter beschriebenen Rechenregeln verwendet.

Beispiel:

$\left[{\begin{array}{cc}1&0\\0&1\end{array}}\right]$

Quadratische Matrix

Definition:

Eine quadratische Matrix ist eine Matrix, wo die Spaltenanzahl der Zeilenanzahl entspricht.

$m=n$

Transponierte Matrix

Definition:

Bei einer transponierten Matrix sind Zeilen und Spalten vertauscht.

$A=(a_{ij})\Leftrightarrow A^{T}=(a_{ji})$

Beispiel:

Sei $A=\left[{\begin{array}{cc}1&2\\3&4\end{array}}\right]$ gegeben, so ist $A^{T}$:

$A^{T}=A'=\left[{\begin{array}{cc}1&3\\2&4\end{array}}\right]$

Symmetrische Matrix

Definition:

Eine Matrix heißt symmetrisch, wenn gilt:

$A=A^{T}$, also $a_{ij}=a_{ji}$ für alle i, j.

Antisymmetrische Matrix

Definition:

Eine Matrix heißt antisymmetrisch, wenn gilt:

$-A=A^{T}$