Zum Inhalt springen

Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 12/latex

Aus Wikiversity

\setcounter{section}{W12}






\zwischenueberschrift{Anwesenheitsaufgaben}




\inputaufgabe
{}
{

Es sei $V$ ein endlichdimensionaler $K$-Vektorraum und
\mavergleichskette
{\vergleichskette
{ \varphi }
{ \in }{ \operatorname{End}_{ } { \left( V \right) } }
{ }{ }
{ }{ }
{ }{ }
} {}{}{.} Zeige, dass die folgenden Aussagen äquivalent sind: \aufzaehlungdrei{Die lineare Abbildung $\varphi$ ist ein Isomorphismus. }{$0$ ist kein Eigenwert von $\varphi$. }{Der konstante Term des charakteristischen Polynoms $\chi_\varphi$ ist
\mathl{\neq 0}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte die Matrix
\mathl{A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}_{ 2 \times 2 } ( {\mathbb K} )}{.} Untersuche ob $A$ \definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{} ist in Abhängigkeit von ${\mathbb K}$ (d.h., ${\mathbb K} = \R$ oder ${\mathbb K}={\mathbb C}$). Falls ja, so gebe eine invertierbare Matrix $C$ und eine Diagonalmatrix $D$ mit
\mathl{D=C^{-1}AC}{} an.

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Untersuche, welche der folgenden Abbildungen \maabb {\varphi} { \R^2 \times \R^2 } { \R } {} bilinear sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften alternierend und symmetrisch. \aufzaehlungdrei{
\mathl{\varphi(x,y):=x_1y_1}{.} }{
\mathl{\varphi(x,y):=x_1x_2+y_1y_2}{.} }{
\mathl{\varphi(x,y):=2x_1y_2 + 3x_2y_1}{.} }

}
{} {}




\inputaufgabe
{}
{

Betrachte im $\R^2$ die \definitionsverweis {Bilinearform}{}{}
\mathl{\varphi(x,y):=x_1y_1-x_1y_2-x_2y_1+3x_2y_2}{.} \aufzaehlungzwei {Zeige, dass $\R^2$ bezüglich $\varphi$ ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} ist. } {Berechne die \definitionsverweis {Norm}{}{}
\mathl{\Vert {(4,-2)} \Vert}{} bezüglich $\varphi$. }

}
{} {}





\inputaufgabe
{}
{

Es sei
\mathl{(V, \left\langle - , - \right\rangle)}{} ein euklidischer Vektorraum. Zeige die folgenden Aussagen: \aufzaehlungzwei {
\mathl{\Vert {x} \Vert= \Vert {y} \Vert}{} genau dann, wenn
\mathl{\left\langle x+y , x-y \right\rangle =0}{.} } {
\mathl{\Vert {x+y} \Vert^2= \Vert {x} \Vert^2 + \Vert {y} \Vert^2}{} genau dann, wenn
\mathl{\left\langle x , y \right\rangle=0}{.} }

}
{} {}







\zwischenueberschrift{Hausaufgaben (Korrektur nur für Leute ohne Klausurberechtigung)}





\inputaufgabe
{4}
{

Untersuche, welche der folgenden Abbildungen \maabb {\varphi} { \R^2 \times \R^2 } { \R } {} \definitionsverweis {bilinear}{}{} sind. Wenn ja, so untersuche die jeweilige Abbildung auch auf die Eigenschaften \definitionsverweis {alternierend}{}{} und \definitionsverweis {symmetrisch}{}{.} \aufzaehlungdrei{
\mathl{\varphi(x,y):= x_1-y_1}{.} }{
\mathl{\varphi(x,y):= x_1y_1-x_2y_2}{.} }{
\mathl{\varphi(x,y):= 2x_1y_2-2x_2y_1}{.} }

}
{} {}





\inputaufgabe
{4}
{

Es sei
\mathl{V= \operatorname{Mat}_{ n \times n } (\R)}{.} Zeige, dass $V$ versehen mit der Abbildung \maabbeledisp {\left\langle - , - \right\rangle} {V \times V} {\R } {(A,B)} { \operatorname{Spur} { \left( B^tA \right) } } {} ein \definitionsverweis {euklidischer Vektorraum}{}{} ist.

}
{} {}

PDF-Version dieses Arbeitsblattes