Kurs:Wiederholertutorium Mathematik I (Osnabrück 2010)/Arbeitsblatt 13/latex
\setcounter{section}{W13}
\zwischenueberschrift{Wiederholungsaufgaben}
\inputaufgabe
{}
{
Überprüfe die Folge
\mathl{x_n=\sqrt[n]{2^n+3^n}}{} auf Konvergenz.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Die Folge $(x_n)_{n \in \N}$ sei rekursiv gegeben durch
\mathdisp {x_0:=x, x_1:= y, x_n:=\frac{1}{2}(x_{n-1}+x_{n-2}) \mbox{ für } n \geq 2,} { }
wobei $x,y \in \R$. Zeige, dass $(x_n)_{n \in \N}$ konvergiert und berechne den Grenzwert.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Bestimme den Konvergenzradius der Potenzreihe $\sum_{n=1}^{\infty} \left(\sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \right) z^n \, .$
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Untersuche die Funktion $g: \R \rightarrow \R, x \mapsto \betrag { (x+1)^3(x-1) }$ auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit. Bestimme (falls möglich) die Ableitung.
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Es sei die lineare Abbildung
\maabb {f} {\R^3 } {\R^4
} {}
durch $f(x,y,z)=(x+2z,y-z,x+y,2x+3z)$ definiert.
\aufzaehlungzwei {Bestimme die zu $f$ korrespondierende Matrix $A$. Ist $f$ injektiv?
} {Es sei $\mathcal{B}=\{v_1,v_2,v_3\}$ eine Basis des $\R^3$ gegeben durch
\mathdisp {v_1=\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1 \end{pmatrix}, \, v_2=\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0 \end{pmatrix}, \, v_3=\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0 \end{pmatrix}} { }
und sei $\mathcal{B}'=\{w_1,w_2,w_3,w_4\}$ eine Basis des $\R^4$ gegeben durch
\mathdisp {w_1=\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1\\1 \end{pmatrix}, \, w_2=\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 1\\0 \end{pmatrix}\, ,w_3=\begin{pmatrix} 1 \\1\\ 0\\0 \end{pmatrix}, \, w_4=\begin{pmatrix} 1 \\0\\ 0\\0 \end{pmatrix}} { . }
Berechne $A^\mathcal{B}_{\mathcal{B}'}(f)$.
}
}
{} {}
\inputaufgabe
{}
{
Betrachte die Matrix
\mathl{A = \begin{pmatrix} -5 & 2 & -2 \\ -4 & 1 & 0 \\4 & -4 & 5 \end{pmatrix} \in \operatorname{Mat}_{3 \times 3}({\mathbb K})}{.} Untersuche ob $A$
\definitionsverweis {diagonalisierbar}{}{}
ist in Abhängigkeit von ${\mathbb K}$ (d.h., ${\mathbb K} = \R$ oder ${\mathbb K}={\mathbb C}$). Falls ja, so gebe eine invertierbare Matrix $C$ und eine Diagonalmatrix $D$ mit
\mathl{D=C^{-1}AC}{} an.
}
{} {}