Kurs:Wirtschaftsinformatik WS09 Induktive Statistik/Lernskript

1 Grundlegende Begriffe und Sätze der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Übergang von der deskriptiven zur induktiven Statistik

• Methoden, die es erlauben von den Beobachtungen einer Teilgesamtheit (=Stichprobe) auf bestimmte Charakteristika der dazugehörenden Gesamtheit (=Grundgesamtheit) zu schließen.

• Induktives schließen, statistische Inferenz, Repr¨asentationsschluss Schluss von einer Teilgesamtheit auf die Grundgesamtheit

Zufallsvorgänge und Stichprobenraum

Informelle Charakterisierung: Zufallsvorgang (ZV)

• besitzt verschiedene, sich gegenseitig ausschließende Ausgänge, die vorher schon bekannt sind
• nicht vorhersehbar, welcher Ausgang eintreten wird

Informelle Charakterisierung: Zufallsexperiment (ZE)

• Liegt vor, wenn ein Zufallsvorgang unter gleichen Bedingungen beliebig oft wiederholbar ist.

Informalle Charakterisierung: Stichprobenraum Ω

• Menge der Ausgänge (die mit $\omega _{i}$ bezeichnet werden) eines ZV bzw. ZE:

Ω = { $\omega _{1},...,\omega _{m},...$ }

Der Stichprobenraum kann endlich, abzählbar unendlich oder überabzählbar unendlich viele Ausgänge enthalten.

Beispiele:

• (1) Zufallsvorgang ”Werfen eines Würfels“ : sechs mögliche Ausgänge; Ω ist endlich und lässt

sich schreiben als:

Ω = { $\omega _{1},...,\omega _{6}$ } = {$\omega _{i}$, i = 1,2,...,6} = {1,2,3,...,6}

• (2) Wirft man eine M¨unze, deren Seiten mit Zahl (Z) und Kopf (K) geprägt sind, so oft, bis

zum ersten Mal der Ausgang ”Zahl“ erscheint, lauten die möglichen Ausgänge:

$\omega _{1}$ = Z , (zum ersten Mal ”Zahl“ im ersten Wurf)

$\omega _{2}$ = KZ , (zum ersten Mal ”Zahl“ im zweiten Wurf)

.

.

.

$\omega _{m}$ = K...KZ , (zum ersten Mal ”Zahl“ im k-ten Wurf), (n-1)-mal K

.

.

.

Der Stichprobenraum ist hier abzählbar unendlich:

Ω = { $\omega _{1},...,\omega _{m},...$ }

(3) Zufallsvorgang ” in Minuten gemessene Verspätung eines Zuges“ mit Ausgängen des geschlossenen Intervalls [0 min, 10 min]. Bei unendlicher Messgenauigkeit sind überabzählbar unendlich viele Verspätungen/Ausgänge möglich, da das Intervall [0;10] Teilmenge der reellen Zahlen ist.

Ereignis– und σ–Algebra

(Zufalls–)Ereignis

Ein Ereignis ist eine Teilmenge des Stichprobenraumes Ω.

• Sicheres Ereignis: Ω
• Unmögliches Ereignis: ∅
• Elementarereignis: { $\omega _{i}$ }
• Zusammengesetztes Ereignis: { $\omega _{1},\omega _{2}$ }

Potenzmenge PM(Ω) Die Menge aller möglichen Ereignisse (=Teilmengen) stellt die Potenzmenge dar.

Berechnung: | PM(Ω) | = $2^{m}$ mit m: Anzahl der möglichen Ausgänge $\omega _{i}$ eines ZV/ZE

Aufgabe 1.1

Geben Sie für das ZE einmaliger Würfelwurf die Potenzmenge an! Aus welchen Ereignissen besteht die Potenzmenge?

Ω = {K,Z}

PM(Ω) = { ∅, K, Z, Ω} , insgesamt $2^{2}=4$ Elemente in der Potenzmenge

Beziehungen zwischen den möglichen Ereignissen

• Vereinigungsereignis: $A_{i}\cup A_{j}$
• Durchschnittsereignis: $A_{i}\cap A_{j}$
• Komplementärereignis: $A_{i}={\overline {A}}_{j}$
• Disjunkte Ereignisse: $A_{i}\cap A_{j}$ = ∅
• Differenzereignis (=Relatives Komplement): $A_{i}\cap {\overline {A}}_{j}=A_{i}\setminus A_{j}$

Borelsche Algebra

Eine Borel'sche Algebra ist eine abzählbar unendliche $\sigma$ Algebra. Die Borel'sche Algebra definieren wir intutionistisch mit der Konstruktionsvorschrift. Die Borel'sche Algebra enthält Wunschereignisse und gleichzeitig die minimale Anzahl weiterer Ereignisse, die durch die Mengenoperationen Komplement, Durchschnitt und Vereinigung erzeugt wurden.

Kontruktionsvorschrift:

• Wunschereignisse gehören zur Borelschen Algebra $\mathbb {A}$
• Komplementereignisse ${\overline {A}}_{i}$ gehören zur Borelschen Algebra $\mathbb {A}$
• $\cap$ Ereignisse gehören zur Borelschen Algebra
• $\cup$ Ereignisse gehören zur Borelschen Algebra