Kurs:Wirtschaftsinformatik WS09 Induktive Statistik/Probeklausuren

[[Image:]]Prof. Dr. W. Assenmacher

Statistik und Ökonometrie

Name:

Vorname:

Matrikel-Nr.:

Universität Essen

FB Wirtschaftswissenschaften

Punkte:

Note: Induktive Statistik

Klausur

Hinweise:

1. Die Klausur besteht aus 6 Aufgaben mit jeweils 20 Punkten.

2. Von den maximal erreichbaren 120 Punkten sind für die Note „sehr

gut" nur 100 Punkte notwendig.

3. Bearbeiten Sie die Klausuraufgaben so, wie sie gestellt sind, selbst wenn

Sie einen Tippfehler vermuten! Die Bearbeitung erfolgt auf dem freien Platz unter jeder Aufgabe. Reicht der Platz nicht aus, ist die Rückseite des Aufgabenblattes zu verwenden. Geben Sie bei jeder Berechnung maximal 4 Stellen hinter dem Komma an ! Bei jeder Aufgabe sind Lösungsweg und/oder Begründung anzugeben. Fehlen diese Angaben, gilt die Aufgabe als nicht bearbeitet.

4. Hilfsmittel: Die mit der Klausur ausgegebene Formelsammlung und ein

nicht programmierbarer Taschenrechner.

5. Bearbeitungszeit: 120 Minuten; zusätzlich 15 Minuten Durchlesezeit. [[Image:]]Aufgabe 1

(a) Ein Tanztheater hat für 30 Zuschauer Sitzplätze, die durch Reservie-

rung vergeben werden. Aus Erfahrung weißman, dass 10% der Reser- vierungen nicht eingehalten werden. Für eine ganz bestimmte Auffüh- rung sind 33 Reservierungen angenommen worden.

(1) Wie viele Zuschauer können für die Au¤ührung erwartet werden? (2)

(2) Wie großst die Wahrscheinlichkeit, dass alle Zuschauer einen Sitz- i

platz haben ? (2)

(3) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens 2 und höch-

stens 3 Sitzplätze frei bleiben ! (3)

(4) Wie großst die Wahrscheinlichkeit, dass das Ensemble vor einem i

überfüllten Saal tanzt ?

(b) Im Durchschnitt sind in Deutschland pro Ausspielung auf 2 Lotto-

scheinen 6 richtige Zahlen angekreuzt. Geben Sie mit Begründung die Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsvariablen X : „Anzahl der Lot-

toscheine mit 6 richtigen Zahlen pro Ausspielung" an !

Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass

(1) höchstens 2 Scheine,

(2) mehr als 3 Scheine 6 richtige Zahlen aufweisen !

(3)

(4)

(3)

(3) 2[[Image:]]Aufgabe 2

(a) Gegeben ist die Wahrscheinlichkeitsfunktion

<1 ; für (x; y) = (0; 3); (1; 2); (2; 1); (3; 0) 8f (x; y) = :4 0 ; sonst. Berechnen Sie E(X), E(Y ), var(X), var(Y ), cov(X; Y ) und den Korre-

lationskoe¢ zienten !

(b) Die gemeinsame Dichtefunktion für die stetigen Zufallsvariablen X und

Y lautet:

(10) f (x; y) = 4xy ; 0 < x < 1; 0 < y < 1 (0

; sonst. (1) Prüfen Sie, ob f (x; y) tatsächlich eine Dichtefunktion darstellt ! (2) (2) Berechnen Sie: P (0

X

1; 1 24

Y

1) und P (X

Y) !

(6) (3) Ermitteln Sie die Randdichte für X ! (2)

3[[Image:]]Aufgabe 3

Eine Füllmaschine füllt Flüssigkeit in 1-Liter Flaschen. Die abgefüllte Menge pro Flasche ist normalverteilt mit einem Erwartungswert von einem Liter; in 10,03% aller Abfüllungen sind mehr als 1,064 Liter in einer Flasche.

(1) Wie großist die Standardabweichung ?(4)

(2) Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass die abgefüllte Menge um we-

niger als 0,01 Liter vom Erwartungswert abweicht ?

(3) Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass weniger als 0,9 Liter in der

Flasche sind ?

(4) Welche Abfüllmenge wird von 95% aller Flaschen nicht unterschritten

?

(5) Enthält eine Flasche weniger als 0,95 Liter, gilt sie als Ausschuss. Wie

großist die Wahrscheinlichkeit, dass bei 10 zufällig entnommenen Fla-

schen mit Zurücklegen 2 Flaschen Ausschuss sind ?

(4)

(3)

(4)

(5) 4[[Image:]]Aufgabe 4

(a) Am 17.6.1994 sahen 25% der Bewohner der Bundesrepublik Deutsch- land das Erö¤nungsspiel der Fußallweltmeisterschaft zwischen Deutsch- b

land und Bolivien. Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass von fünf

zufällig ausgewählten Personen (Ziehen ohne Zurücklegen)

(1) zwei Personen das Spiel sahen,

(2) mindestens 2 Personen das Spiel sahen

(3) die zweite Person, die das Spiel sah, als fünfte Person befragt

wurde,

(4) erst die fünfte Person das Spiel sah ?

(b) Eine Grundgesamtheit besteht aus den Personen Pi , i=1,...,12. In wie

vielen Stichproben ohne Zurücklegen mit dem Umfang n = 3

(1) be¼ndet sich die Person P1,

(2) be¼nden sich die Personen P1 und P2 ?

(3) In wie vielen Stichproben mit Zurücklegen be¼ndet sich die Person

P1 ?

(3)

(2)

(3)

(3) 5[[Image:]]Aufgabe 5

(a) Was versteht man unter einer einfachen Zufallsstichprobe ?

(b) Wie großist die Wahrscheinlichkeit, dass ein bestimmtes Element der

Grundgesamtheit in eine Stichprobe mit Zurücklegen und in eine Stich-

probe ohne Zurücklegen aufgenommen wird ?

(5)

(5) (c) Ein Merkmal X hat in einer Grundgesamtheit den Mittelwert und

die Varianz 2. Bestimmen Sie für die Stichprobenfunktion

n1 X = 1(X1 + Xn) + n 1 2 2

Xi=2

Xi; der eine einfache Zufallsstichprobe zugrunde liegt, E(X) und var(X)! (10)

6[[Image:]]Aufgabe 6

(a) Was versteht man unter einer erwartungstreuen Schätzfunktion ?

(b) ^1 und ^2 sind erwartungstreue Schätzfunktionen für den Parameter .

Prüfen Sie, ob die folgenden Schätzfunktionen ebenfalls erwartungstreu

sind !

(3) (1)

^1 + ^2

(2)

^1 ^2 (3) 3^1 2^2

(4) 1 (^1 + ^2) 2

(5) (5) 3 1 2 2 2^ + 1^

(c) Entwickeln Sie auf der Basis einer einfachen Stichprobe die Schätzfunk-

tion für einer beliebig verteilten Grundgesamtheit gemäß er Methode d

der kleinsten Quadrate ! Zeigen Sie, dass diese Schätzfunktion erwar-

tungstreu ist ! Gilt dies auch für die Schätzfunktion X=n11

Xn

i=1

Xi; Xi : Stichprobenvariablen, ?

(d) Das Merkmal X ist in einer Grundgesamtheit normalverteilt mit unbe-

kanntem und einer Varianz 2 = 16. Eine einfache Zufallsstichprobe

lieferte die folgenden Realisationen:

-11 -14 -8 -6 -5 -12 -11 -4 -9.

(7) Stellen Sie für das Kon¼denzintervall bei einem Kon¼denzniveau von

0,9 auf ! (5)

7[[Image:]]Aufgabe 7

Bei einer Totalbefragung von 2000 Unternehmern einer bestimmten Branche nach ihrer Einschätzung der wirtschaftlichen Entwicklung im nächsten Jahr gaben 40% an, dass sie mit einem Aufschwung rechnen. Ein halbes Jahr nach der Totalerhebung wurde eine Zufallsstichprobe ohne Zurücklegen im Umfang n = 400 erhoben. Hier gaben 46% der Befragten an, dass sie im nächsten Jahr einen Aufschwung erwarten.

(a) Was versteht man unter dem -Fehler (Fehler 1. Art) und dem -Fehler

(Fehler 2. Art)?

(b) Testen Sie, ob das Stichprobenergebnis zu der Vermutung berechtigt,

dass sich in der Grundgesamtheit die Einschätzung bezüglich der wirt- schaftlichen Entwicklung signi¼kant geändert hat ! Der -Fehler soll

5% betragen ! Erläutern Sie den Testvorgang anhand einer Gra¼k !

(c) Zeigen Sie anhand einer Gra¼k den -Fehler für den unter (b) durch-

geführten Test, und berechnen Sie den -Fehler !

(6)

(8)

(6) 8