1. Tutorium

Aufgabe 1

1. a) Gegeben ist der Stichprobenraum Ω = {1; 2; 3; 4; 5; 6} der einmaligen Ausspielung eines W?ürfels.

Bestimmen Sie die Elemente der Potenzmenge PM(Ω)!

b) Geben Sie f?ur das Zufallsexperiment "Zweimaliges Werfen einer M?unze" den Stichprobenraum an! Wie viele Elemente enth?alt Ω und die Potenzmenge von Ω ? Definieren Sie die Ausg?ange jetzt so, dass der neue Stichprobenraum $\Omega ^{*}$ nur noch drei Elemente enth?alt! Wie viele Elemente umfasst nun PM( $\Omega ^{*}$ ) ?

Aufgabe 2

2. Ein Stichprobenraum sowie die Ereignisse A,B, und C sind wie folgt definiert:

Ω = {ω | ω

\in \mathbb {N}

; ω < 20 ,

{\frac {\omega }{2}}

\notin

\mathbb {N}

}

A = {1; 5; 7; 90

B = {1; 3; 7; 15; 17; 19}

C = {3; 11; 13}

Kennzeichnen Sie folgende Ereignisse durch Aufz?ählen ihrer Elemente sowie anhand eines Venn- Diagramms:

a) A

\cup

(B

\cap

C);

b) (A

\cup

C)

\cap

(B

\cup

C);

c) (A

\cap

C)

\cup

(B

\cap

C);

d) A

\cup

{\overline {A}}

;

e)

{\overline {(A\cap B)}}

;

f )

{\overline {C}}\cap {\overline {B}}

;

g) (A

\cap

B)

\cup

B;

h) (A

\cup {\overline {A}}

)

\cap

B:

Aufgabe 3

3. Als Stichprobenraum wird

= f!j! 2 R; 0 � ! � 1g de�niert. Geben Sie drei Ereignisse A1; A2; A3

an, die s?amtlich nicht paarweise disjunkt sind, f?ur die jedoch A1 \ A2 \ A3 = ; gilt.

Aufgabe 4

4. F?ur zwei zuf?allige Ereignisse A und B gilt P (A) = 0; 5; P (B) = 0; 3 und P (A [ B) = 0; 6. Berechnen Sie: P (A \ B), P ( �A \ �B), P ( �A [ B) und P (A [ �B)!

Aufgabe 5

5. Ai

i = 1; 2; 3, sind Ereignisse einer Potenzmenge. Zeigen Sie, dass gilt

P (A1 [ A2 [ A3) = P (A1) + P (A2) + P (A3)

P (A1 \ A2)  P (A1 \ A3)  P (A2 \ A3)

+ P (A1 \ A2 \ A3):

Aufgabe 6

6. Ein W?urfel wird zweimal ausgespielt. Zeigen Sie, dass die Ereignisse: A1: die erste Ausspielung ergibt eine F?unf, A2: die zweite Ausspielung ergibt eine Vier, A3: die Augensumme ist gerade paarweise unabh?angig, aber insgesamt abh?angig sind.

Aufgabe 7

7. Von 10 Losen gewinnen 2 Lose. Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit daf?ur, dass sich unter 5 gezogenen Losen (a) genau ein Gewinnlos be�ndet, (b) beide Gewinnlose be�nden, (c) mindestens ein Gewinnlos be�ndet?

Aufgabe 8

8. Auf einer Werbeveranstaltung wird folgendes Gl?ucksspiel durchgef?uhrt. Ein Kandidat zieht zuerst ein Los aus einer gr?unen Urne, um die Lotterietrommel zu bestimmen, aus der er anschlie�end ein Los ziehen darf, mit dem er zu seinem Gewinn kommen kann. In der gr?unen Urne sind 4 Lose f?ur die Trommel A, 3 Lose f?ur die Trommel B und 2 Lose f?ur die Trommel C. Die Gewinne sind wie folgt auf die 3 Trommeln verteilt: A enth?alt einen Gewinn, B zwei und C drei Gewinne. In den Trommeln be�nden sich insgesamt jeweils 10 Lose. Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kandidat (a) aus der Lostrommel B ziehen darf, (b) einen Gewinn erh?alt, wenn er aus Trommel B zieht, (c) aus der Lostrommel B zieht und einen Gewinn erh?alt, (d) bei dem Spiel ?uberhaupt keinen Gewinn bekommt, (e) wenn er einen Gewinn erhalten hat, diesen aus der Trommel B gezogen hat?

Aufgabe 9

9. Es ist aus langj?ahriger Erfahrung bekannt, dass 65% aller Studierenden der Wirtschaftswissenschaf- ten, die an einer Statistikklausur teilnehmen, regelm?a�ig ein Tutorium besucht haben. Von diesen Studierenden fallen 17% durch die Klausur. Die Gesamtdurchfallquote betr?agt 24%. Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit, dass (a) ein Studierender durch die Klausur f?allt, der nicht regelm?a�ig ein Tutorium besucht hat, (b) ein durchgefallener Studierender regelm?a�ig ein Tutorium besucht hat? (c) Stellen Sie die Wahrscheinlichkeiten der Ereignisse K \ T , K \ T , K \ T und K \ T in einer Wahrscheinlichkeitstabelle dar!

Aufgabe 10

10. Ein Test zur Diagnose von Darmkrebs gibt mit 99%iger Sicherheit die richtige Diagnose an. Zus?atzlich ist bekannt, dass in der Bev?olkerung der Anteil derjenigen Personen, die an Darmkrebs erkrankt sind, 3% betr?agt. (a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass der Test positiv ausf?allt! (b) Wie gro� ist f?ur einen Teilnehmer, bei dem der Test positiv ausgefallen ist, die Wahrscheinlichkeit, dass er tats?achlich an Darmkrebs erkrankt ist? (c) Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine negativ getestete Person an Krebs erkrankt ist? (d) Wie gro� ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person getestet wird, die an Krebs erkrankt ist und der Test dies anzeigt?

Aufgabe 11

11. Zeigen Sie, dass disjunkte Ereignisse A =6 ; und B =6 ; stochastisch abh?angig sind!