Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 10

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Aufgabe (2 Punkte)

Seien und ungerade. Zeige, dass keine Quadratzahl ist.


Aufgabe (1 Punkt)

Zeige, dass die quadratische Gleichung

keine ganzzahlige Lösung besitzt.


Aufgabe (4 Punkte)

Zeige: In , wobei eine Primzahl ist, lässt sich jedes Element als Summe von zwei Quadraten schreiben.


Aufgabe (3 Punkte)

Bestimme in alle Lösungen der Gleichung


Aufgabe (4p Punkte)

Bestimme in alle Lösungen der diophantischen quadratischen Gleichung


Aufgabe (2 Punkte)

Wie viele Lösungen hat die Gleichung

in für ein gegebenes ?


Aufgabe (2 Punkte)

Skizziere ein Dreieck derart, dass eine Höhe das Dreieck in zwei verschiedene rechtwinklige Dreiecke und unterteilt so, dass die Seitenlängen von und jeweils pythagoreische Tripel bilden. Man gebe die Seitenlängen an.


Aufgabe (bis 2 Punkte)

Ergänze die Tabelle

Pythagoreische Tripel/Parametrische Charakterisierung/z bis 100/Tabelle

um alle pythagoreischen Tripel mit . Dabei sollen und teilerfremd sein und nicht beide ungerade. Die Tabelle soll nach der Größe von geordnet sein.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige: Um den Satz von Wiles für alle Exponenten zu zeigen, genügt es, ihn für alle ungeraden Primzahlen als Exponenten zu beweisen.


Aufgabe (2 Punkte)

Zeige unter Verwendung des Satzes von Wiles, dass die diophantische Gleichung

für keine von verschiedene Lösung besitzt.