Kurs:Zahlentheorie (Osnabrück 2008)/Arbeitsblatt 13

Aufgabe (3 Punkte)

Finde einen Primfaktor der folgenden drei Zahlen

$2^{33}-1,\,2^{91}-1,\,2^{13}+1.$

Aufgabe (2 Punkte)

Eine natürliche Zahl ${}n$ ist genau dann vollkommen, wenn die Stammbruchsummenbedingung

$\sum _{d{|}n,\,d\neq 1}{\frac {1}{d}}=1$

gilt. Schreibe für einige vollkommene Zahlen die Stammbruchsumme hin.

In den folgenden Aufgaben werden einige Begriffe verwendet, die mit dem Begriff der vollkommenen Zahl in Verbindung stehen.

Eine natürliche Zahl ${}n$ heißt defizient, wenn die Summe der Teiler kleiner als ${}2n$ ist.

Eine natürliche Zahl ${}n$ heißt abundant, wenn die Summe der Teiler größer als ${}2n$ ist.

Eine natürliche abundante Zahl heißt sonderbar, wenn sie nicht als eine Teilsumme von ihren echten Teilern darstellbar ist.

Aufgabe (1 Punkt)

Zeige: eine Primzahlpotenz ${}p^{r}$ ist defizient.

Aufgabe (2 Punkte)

Es sei ${}n>6$ ein Produkt von zwei verschiedenen Primzahlen. Zeige, dass dann ${}n$ defizient ist.

Aufgabe (3 Punkte)

Es sei ${}n$ eine ungerade Zahl mit der Eigenschaft, dass in ihrer Primfaktorzerlegung nur zwei verschiedene Primfaktoren vorkommen. Zeige, dass dann ${}n$ defizient ist.

Aufgabe (4 Punkte)

Finde eine ungerade abundante Zahl ${}n$.

Aufgabe (3 Punkte)

Finde die kleinste sonderbare Zahl.

Aufgabe (3 Punkte)

Zeige, dass der Quotient

${\frac {\sigma (n)}{n}}$

unbeschränkt ist.

Aufgabe (2 Punkte)

Zeige ohne Verwendung der Regel von Thabit, dass die beiden Zahlen ${}220$ und ${}284$ befreundet sind.

Aufgabe (2 Punkte)

Ergänze die folgende Tabelle um weitere Zeilen.

${}k$	${}a=3\cdot 2^{k-1}-1$	${}b=3\cdot 2^{k}-1$	${}c=9\cdot 2^{2k-1}-1$	${}m=2^{k}ab$	${}n=2^{k}c$
${}2$	${}5$	${}11$	${}71$	${}220$	${}284$
${}3$	${}11$	${}23$	${}287=7\cdot 41{\text{ (nicht prim)}}$	${}\,$	${}\,$
${}4$	${}23$	${}47$	${}1151$	${}17296$	${}18416$
${}5$	${}47$	${}95$	${}4607=17\cdot 271{\text{ (nicht prim)}}$	${}\,$	${}\,$
${}6$	${}95=5\cdot 19{\text{ (nicht prim)}}$	${}191$	${}18431=7\cdot 2633{\text{ (nicht prim)}}$	${}\,$	${}\,$
${}7$	${}191$	${}383$	${}73727$	${}9363584$	${}9437056$