Kurve im R^n/Rektifizierbar/Komponentenfunktionen/Fakt/Beweis/Aufgabe/Kommentar

Eine Kurve ist rektifizierbar, wenn sie endliche Länge besitzt, was der Fall ist, wenn das Supremum der Länge gewisser Streckenzüge endlich ist. Keiner der Streckenzüge ist daher länger als die Kurve selbst. Die Komponentenfunktionen von ${}f$ sind die Abbildungen ${}f_{i}\colon [a,b]\to \mathbb {R}$, die auf die ${}i$-te Koordinate von ${}f(t)$ bezüglich einer Basis von ${}\mathbb {R} ^{n}$ abbilden. Wir können hier die Standardbasis wählen.

Um die geforderte Äquivalenz zu zeigen, schauen wir uns zunächst die Länge eines konkreten Streckenzugs an. Für eine Unterteilung ${}t_{0}\leq \cdots \leq t_{k}$ des Intervalls, ist diese gegeben durch

$L(f(t_{0}),\dots ,f(t_{k}))=\sum _{j=1}^{k}d(f(t_{j}),f(t_{j-1})).$

Das heißt, wir summieren über die Abstände aufeinanderfolgender Punkte. Für ein konkretes ${}j$ benennen wir die beiden Punkte (Vektoren im ${}\mathbb {R} ^{n}$) mit ${}v=f(t_{j}),w=f(t_{j-1})$ und stellen fest, dass wir den Abstand der Punkte durch deren Koordinaten abschätzen können. Bezüglich der euklidischen Metrik gilt

$d(v,w)=\|v-w\|={\sqrt {\sum _{l=1}^{n}(v_{l}-w_{l})^{2}}}\geq |v_{i}-w_{i}|$

für jede Koordinate ${}i$. Andererseits folgt mit der Dreiecksungleichung

$d(v,w)=\|v-w\|\leq \sum _{l=1}^{n}|v_{l}-w_{l}|.$

Daher gilt für den vorliegenden Streckenzug

$L(f_{i}(t_{0}),\dots ,f_{i}(t_{k}))\leq L(f(t_{0}),\dots ,f(t_{k}))\leq \sum _{l=1}^{n}L(f_{l}(t_{0}),\dots ,f_{l}(t_{k})),$

sodass wir die Länge des Streckenzugs nach oben und unten durch Ausdrücke abschätzen, die lediglich von den Koordinatenfunktionen abhängen. Dies ist ein sehr gängiges Vorgehen. Die Implikation daraus ist folgende. Falls der Streckenzug endliche Länge besitzt, ist der auf die einzelnen Koordinaten projizierte Streckenzug ebenso endlich lang, und umgekehrt, falls letztere endlich lang sind (und somit auch die Summe), so ist der Streckenzug zumindest nicht länger als diese Summe.

Durch Betrachtung des Supremums über alle erlaubten Streckenzüge können wir dann ${}L(f_{i})\leq L(f)\leq \sum _{l=1}^{n}L(f_{l})$ folgern.

Zur komentierten Aufgabe