Kurvendiskussion/Rationale Funktion/Aufgabe/Lösung

Nach der Quotientenregel ist

${}f'(x)={\frac {(x^{2}+1)-x(2x)}{(x^{2}+1)^{2}}}={\frac {-x^{2}+1}{(x^{2}+1)^{2}}}\,.$

Die Nullstellen der Zählerfunktion sind

${}x=\pm 1\,.$

Der Ableitung kann man ferner entnehmen, dass die Funktion ${}f$ für ${}x<-1$ streng fallend, für ${}-1<x<1$ streng wachsend und für ${}x>1$

wieder streng fallend ist. Deshalb liegt in ${}-1$ ein isoliertes lokales Minimum und in ${}1$ ein isoliertes lokales Maximum vor. Da ${}f$ unterhalb von ${}0$ negativ und oberhalb von ${}0$ positiv ist, sind beide Extrema global.

Zur gelösten Aufgabe