Kurvendiskussion/e^x-x^e/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}f'(x)=e^{x}-ex^{e-1}=e{\left(e^{x-1}-x^{e-1}\right)}\,$

   und

   ${}f^{\prime \prime }(x)={\left(e^{x}-ex^{e-1}\right)}'=e^{x}-e(e-1)x^{e-2}\,.$

2. Es ist

   ${}f(e)=0\,,$

   ${}f'(e)=e{\left(e^{e-1}-e^{e-1}\right)}=0\,$

   und

   ${}f^{\prime \prime }(e)=e^{e}-e(e-1)e^{e-2}=e^{e}-e^{2}e^{e-2}+ee^{e-2}=e^{e}-e^{e}+e^{e-1}=e^{e-1}\,.$

   Die Taylorentwicklung im Punkt ${}e$ vom Grad ${}2$ ist daher

   ${\frac {e^{e-1}}{2}}(x-e)^{2}.$

3. Es ist ${}e$ eine Nullstelle von ${}f$, wir behaupten, dass dies die einzige Nullstelle ist. Wegen ${}f(0)=1$ können wir ${}x>0$ annehmen. Die Gleichung

   ${}e^{x}-x^{e}=0\,$

   bzw. ${}e^{x}=x^{e}$ führt über den natürlichen Logarithmus auf ${}x=e\ln x$ und auf

   ${}g(x)=x-e\ln x=0\,.$

   Die Ableitung von ${}g(x)$ ist

   $1-{\frac {e}{x}}.$

   Für ${}x<e$ ist dies negativ und für ${}x>e$ ist dies positiv. Somit ist ${}g(x)$ unterhalb von ${}e$ streng fallend und oberhalb von ${}e$ streng wachsend und das Minimum liegt in ${}e$ mit dem Wert ${}0$ vor. Der Wert ${}0$ wird also von ${}g$ und damit auch von ${}f$ nur einmal angenommen.

4. Wegen

   ${}f'(x)=e{\left(e^{x-1}-x^{e-1}\right)}\,$

   liegen bei ${}x=1$ und bei ${}x=e$ Nullstellen der Ableitung vor. Wegen

   ${}f^{\prime \prime }(e)>0\,$

   liegt in ${}e$ ein lokales isoliertes Minimum mit dem Wert ${}0$ vor, das auch ein globales Minimum ist, da der Wert ${}0$ nirgendwo sonst angenommen wird. Wegen

   ${}f^{\prime \prime }(1)=e-e(e-1)<0\,$

   liegt au der Stelle ${}1$ ein lokales isoliertes Maximum vor. Wir behaupten, dass die Ableitung keine weitere Nullstelle besitzt. Die Bedingung

   ${}e^{x-1}=x^{e-1}\,$

   führt auf ${}x-1=(e-1)\ln x$ bzw. auf

   ${}h(x)=x-1-(e-1)\ln x=0\,$

   mit den beiden bekannten Lösungen ${}1$ und ${}e$. Die Ableitung von ${}h$ ist ${}1-(e-1){\frac {1}{x}}$. Dies ist negativ für ${}x<e-1$ und positiv für ${}x>e-1$. Deshalb ist ${}h$ unterhalb von ${}e-1$ streng fallend und oberhalb davon streng wachsend und ${}h$ besitzt nur die beiden angegebenen Nullstellen. Für ${}x=0$ gibt es noch ein isoliertes lokales Minimum mit dem Wert ${}1$. Dies folgt daraus, dass es zwischen ${}0$ und ${}1$ keine weitere Nullstelle der Ableitung gibt.

Zur gelösten Aufgabe