Kurvendiskussion/ln x +1 durch x/Aufgabe/Lösung

1. Es ist

   ${}f'(x)={\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}={\frac {1}{x}}{\left(1-{\frac {1}{x}}\right)}\,$

   und

   ${}f^{\prime \prime }(x)={\left({\frac {1}{x}}-{\frac {1}{x^{2}}}\right)}'=-{\frac {1}{x^{2}}}+{\frac {2}{x^{3}}}\,.$

2. Wir setzen

   ${}f'(x)={\frac {1}{x}}{\left(1-{\frac {1}{x}}\right)}=0\,.$

   Dies führt auf ${}1-{\frac {1}{x}}=0$ bzw. auf

   ${}{\frac {1}{x}}=1\,,$

   also ${}x=1$. Die einzige Nullstelle der Ableitung ist also in

   ${}x=1\,.$

   Wegen

   ${}f^{\prime \prime }(1)=-1+2=1\,$

   liegt an dieser Stelle ein lokales isoliertes Minimum mit dem Wert

   ${}f(1)=1\,$

   vor. Da die Ableitung keine weitere Nullstelle hat und da keine Randpunkte zu beachten sind, handelt es sich um ein globales Minimum.

3. Für ${}x<1$ ist ${}{\frac {1}{x}}>1$ und

   ${}f'(x)={\frac {1}{x}}{\left(1-{\frac {1}{x}}\right)}<0\,$

   und für ${}x>1$ ist ${}{\frac {1}{x}}<1$ und

   ${}f'(x)={\frac {1}{x}}{\left(1-{\frac {1}{x}}\right)}>0\,.$

   Somit ist ${}f$ auf ${}]0,1]$ streng fallend und auf ${}\mathbb {R} _{\geq 1}$ streng wachsend.

Zur gelösten Aufgabe