Lösungsraum/affine Basis/61/Aufgabe/Lösung

Eine spezielle Lösung der Gleichung ist durch

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}$

gegeben. Für die zugehörige homogene Gleichung sind

${\begin{pmatrix}1\\4\\0\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\2\\1\\0\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-4\end{pmatrix}}$

Lösungen, die offenbar linear unabhängig sind. Da der Rang des Gleichungssystems ${}1$ ist, handelt es sich um eine Basis des Lösungsraumes der homogenen Gleichung. Daher bilden die Vektoren

${\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}1\\4\\0\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\4\\0\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\2\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\2\\1\\2\end{pmatrix}},\,{\begin{pmatrix}0\\0\\0\\2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\\-2\end{pmatrix}}$

eine affine Basis der Lösungsmenge der inhomogenen Gleichung.

Zur gelösten Aufgabe